第21章一元二次方程同步练习卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 第21章一元二次方程同步练习卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 329.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-09 14:28:17 | ||
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文档简介
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第21章一元二次方程同步练习卷-数学九年级上册人教版
一．选择题（共8小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0
C． D．（x﹣1）2+1＝x2
2．若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．
3．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝29 B．（x﹣6）2＝29 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2
4．关于一元二次方程（x﹣3）2＝﹣5根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不等的实数根 D．无法确定
5．某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已知降价后的单价为12.8元，且两次降价的百分比均为x，则可列方程为（ ）
A．12.8（1﹣x）2＝20 B．20（1﹣x）2＝12.8
C．20（1﹣x）2＝20﹣12.8 D．20（1﹣2x）＝12.8
6．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0的两根之积是（ ）
A．2p+q+4 B．2p﹣q+4 C．q﹣2p+4 D．q﹣2p﹣4
7．秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（ ）
A．1+x＝121 B．（1+x2）＝121
C．1+x+x2＝121 D．1+x+x（1+x）＝121
8．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（ ）秒后，△PCQ的面积等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
二．填空题（共6小题）
9．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1 x2＝ ．
10．一个矩形的两邻边长分别是方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的两根，则矩形的面积等于 ．
11．若方程（m﹣3）x2+3x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是 ．
13．如图，数轴上点A代表的数字为3x+1，点B代表的数字为x2+2x，已知AB＝5，且点A在数轴的负半轴上，则x的值为 ．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，若该方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，则m的值为 ．
三．解答题（共6小题）
15．解一元二次方程：
（1）x2+3x﹣1＝0；
（2）．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
17．已知关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值．
18．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
19．在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．
（1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
第21章一元二次方程同步练习卷-数学九年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0
C． D．（x﹣1）2+1＝x2
【分析】据此即可判定求解．
【解答】解：A、当a＝0时，方程为bx+c＝0是一元一次方程，该选项不合题意；
B、方程x2＝0是一元二次方程，该选项符合题意；
C、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；
D、方程（x﹣1）2+1＝x2整理为﹣2x+2＝0，是一元一次方程，该选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
解得：m＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
3．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝29 B．（x﹣6）2＝29 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方计算即可．
【解答】解：∵x2﹣6x+7＝0，
∴x2﹣6x＝﹣7
∴x2﹣6x+32＝﹣7+9，
∴（x﹣3）2＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
4．关于一元二次方程（x﹣3）2＝﹣5根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不等的实数根 D．无法确定
【分析】求出方程根的判别式，判断其值的正负即可得到结果．
【解答】解：（x﹣3）2＝﹣5，变形为x2﹣6x+14＝0，
Δ＝62﹣4×14＝﹣20＜0，
∴原方程无实数根．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
5．某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已知降价后的单价为12.8元，且两次降价的百分比均为x，则可列方程为（ ）
A．12.8（1﹣x）2＝20 B．20（1﹣x）2＝12.8
C．20（1﹣x）2＝20﹣12.8 D．20（1﹣2x）＝12.8
【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分比）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：20（1﹣x）2＝12.8，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0的两根之积是（ ）
A．2p+q+4 B．2p﹣q+4 C．q﹣2p+4 D．q﹣2p﹣4
【分析】根据关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，可以得到关于y的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0的根符合（y1﹣2）+（y2﹣2）＝p，（y1﹣2）（y2﹣2）＝q，然后整理化简，即可解答本题．
【解答】解：设关于y的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0的两根分别为y1，y2，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，
∴x1+x2＝p，x1x2＝q，
∴（y1﹣2）+（y2﹣2）＝p，（y1﹣2）（y2﹣2）＝q，
化简，得：y1+y2＝p+4，y1y2﹣2（y1+y2）+4＝q，
整理可得，y1y2＝2p+q+4，
故选：A．
【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
7．秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（ ）
A．1+x＝121 B．（1+x2）＝121
C．1+x+x2＝121 D．1+x+x（1+x）＝121
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，结合“有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染．
根据题意得：1+x+x（1+x）＝121．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（ ）秒后，△PCQ的面积等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
【分析】设t秒后，△PCQ的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设t秒后，△PCQ的面积等于4，
由题意得：BP＝t，CQ＝2t，则CP＝5﹣t，
∵S△PCQ＝CQ CP，
∴4＝×2t×（5﹣t），
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去），
即1秒后，△PCQ的面积等于4，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1 x2＝ 3 ．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1 x2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝，熟练掌握此知识点是关键．
10．一个矩形的两邻边长分别是方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的两根，则矩形的面积等于 6 ．
【分析】把方程化为（x﹣2）（x﹣3）＝0，再得到两个一次方程，再解一次方程结合矩形面积公式可得答案．
【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝2，x2＝3，
∴矩形相邻的两边分别为：2和3，
∴矩形的面积为：2×3＝6；
故答案为：6．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，矩形的性质，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．
11．若方程（m﹣3）x2+3x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 m≠3 ．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这个式子是一元二次方程的条件是m﹣3≠0，即可求得m的范围．
【解答】解：由一元二次方程的定义可知m﹣3≠0，即m≠3．
故答案为：m≠3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是 ﹣1 ．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣a）＝0，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣a）＝0，解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13．如图，数轴上点A代表的数字为3x+1，点B代表的数字为x2+2x，已知AB＝5，且点A在数轴的负半轴上，则x的值为 ﹣2 ．
【分析】先利用数轴上两点之间的距离的求法得到x2+2x﹣（3x+1）＝5，再把方程化为一般式为x2﹣x﹣6＝0，接着利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+2＝0，然后解两个一次方程，从而可得到满足条件的x的值．
【解答】解：根据题意得x2+2x﹣（3x+1）＝5，
整理得x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
x﹣3＝0或x+2＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣2．
当x＝3时，3x+1＝10＞0，舍去，
所以x的值为﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了数轴．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，若该方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，则m的值为 3 ．
【分析】先利用根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣m，再根据α+2β＝5，求出α，β的值即可得到答案．
【解答】解：由根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣m，
∵α+2β＝5，
∴α＝﹣1，β＝3，
∴﹣m＝3×（﹣1）＝﹣3，
∴m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
15．解一元二次方程：
（1）x2+3x﹣1＝0；
（2）．
【分析】（1）根据公式法可以解答此方程；
（2）根据公式法可以解答此方程．
【解答】解：（1）x2+3x﹣1＝0，
a＝1，b＝3，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
该方程有两个不相等的实数根，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）
化简，得：x2﹣8x+4＝0，
a＝1，b＝﹣8，c＝4，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×4＝48＞0，
该方程有两个不相等的实数根，
∴x＝＝＝4±2，
∴x1＝4+2，x2＝4﹣2．
【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是会用公式法解方程．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
【分析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m，代入（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求得m的值．
【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×（m﹣1）≥0，
解得m≤2；
p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m，
则（p2﹣2p+3）（m+4）＝7即（4﹣m）（4+m）＝7，
解得：m＝3（舍去）或﹣3．
故m的值为﹣3．
【点评】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．
17．已知关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值．
【分析】（1）计算根的判别式Δ可解答；
（2）先利用因式分解法求方程的根，根据一个根是另一个根的3倍列式可解答．
【解答】（1）证明：∵Δ＝a2﹣4（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2+ax+a﹣1＝0，
∴（x+1）（x﹣1）+a（x+1）＝0，
∴（x+1）[x+（a﹣1）]＝0，
∴x+1＝0或 x+（a﹣1）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣a+1，
∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，
∴a为整数，﹣a+1＝3×（﹣1）或 3（﹣a+1）＝﹣1，
解得：a1＝4或a2＝（舍去），
∴a的值为4．
【点评】本题主要考查了根的判别式，解一元二次方程和一元一次方程，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
18．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
【分析】（1）根据Δ＝b2﹣4ac进行判断；
（2）把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0即可求得k，然后解这个方程即可；
【解答】（1）证明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4，
无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，
整理，得 2﹣k＝0．
解得 k＝2，
此时方程可化为 x2﹣4x+3＝0．
解此方程，得 x1＝1，x2＝3．
所以方程的另一根为x＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；还有方程根的意义等；
19．在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．
（1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，该汽车企业2020年新能源汽车销售总量为a辆，则该汽车企业2022年新能源汽车销售总量为（1+96%）a辆，利用该汽车企业2022年新能源汽车销售总量＝该汽车企业2020年新能源汽车销售总量×（1+该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论；
（2）设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为（y﹣15）万元，平均每周可售出（58﹣2y）辆，利用该店销售该款汽车平均每周的销售利润＝每辆的销售利润×每周的销售量，可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，该汽车企业2020年新能源汽车销售总量为a辆，则该汽车企业2022年新能源汽车销售总量为（1+96%）a辆，
根据题意得：a（1+x）2＝（1+96%）a，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不符合题意，舍去）．
答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%；
（2）设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为（y﹣15）万元，平均每周可售出8+×1＝（58﹣2y）辆，
根据题意得：（y﹣15）（58﹣2y）＝96，
整理得：y2﹣44y+483＝0，
解得：y1＝21，y2＝23，
又∵要尽量让利于顾客，
∴y＝21．
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据方程解的定义把x＝﹣1代入方程得到（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，整理得a﹣b＝0，即a＝b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）根据判别式的意义得到Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，整理得a2＝b2+c2，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x＝﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，
∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．
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第21章一元二次方程同步练习卷-数学九年级上册人教版
一．选择题（共8小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0
C． D．（x﹣1）2+1＝x2
2．若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．
3．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝29 B．（x﹣6）2＝29 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2
4．关于一元二次方程（x﹣3）2＝﹣5根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不等的实数根 D．无法确定
5．某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已知降价后的单价为12.8元，且两次降价的百分比均为x，则可列方程为（ ）
A．12.8（1﹣x）2＝20 B．20（1﹣x）2＝12.8
C．20（1﹣x）2＝20﹣12.8 D．20（1﹣2x）＝12.8
6．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0的两根之积是（ ）
A．2p+q+4 B．2p﹣q+4 C．q﹣2p+4 D．q﹣2p﹣4
7．秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（ ）
A．1+x＝121 B．（1+x2）＝121
C．1+x+x2＝121 D．1+x+x（1+x）＝121
8．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（ ）秒后，△PCQ的面积等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
二．填空题（共6小题）
9．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1 x2＝ ．
10．一个矩形的两邻边长分别是方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的两根，则矩形的面积等于 ．
11．若方程（m﹣3）x2+3x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是 ．
13．如图，数轴上点A代表的数字为3x+1，点B代表的数字为x2+2x，已知AB＝5，且点A在数轴的负半轴上，则x的值为 ．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，若该方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，则m的值为 ．
三．解答题（共6小题）
15．解一元二次方程：
（1）x2+3x﹣1＝0；
（2）．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
17．已知关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值．
18．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
19．在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．
（1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
第21章一元二次方程同步练习卷-数学九年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0
C． D．（x﹣1）2+1＝x2
【分析】据此即可判定求解．
【解答】解：A、当a＝0时，方程为bx+c＝0是一元一次方程，该选项不合题意；
B、方程x2＝0是一元二次方程，该选项符合题意；
C、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；
D、方程（x﹣1）2+1＝x2整理为﹣2x+2＝0，是一元一次方程，该选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
解得：m＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
3．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝29 B．（x﹣6）2＝29 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方计算即可．
【解答】解：∵x2﹣6x+7＝0，
∴x2﹣6x＝﹣7
∴x2﹣6x+32＝﹣7+9，
∴（x﹣3）2＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
4．关于一元二次方程（x﹣3）2＝﹣5根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不等的实数根 D．无法确定
【分析】求出方程根的判别式，判断其值的正负即可得到结果．
【解答】解：（x﹣3）2＝﹣5，变形为x2﹣6x+14＝0，
Δ＝62﹣4×14＝﹣20＜0，
∴原方程无实数根．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
5．某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已知降价后的单价为12.8元，且两次降价的百分比均为x，则可列方程为（ ）
A．12.8（1﹣x）2＝20 B．20（1﹣x）2＝12.8
C．20（1﹣x）2＝20﹣12.8 D．20（1﹣2x）＝12.8
【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分比）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：20（1﹣x）2＝12.8，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0的两根之积是（ ）
A．2p+q+4 B．2p﹣q+4 C．q﹣2p+4 D．q﹣2p﹣4
【分析】根据关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，可以得到关于y的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0的根符合（y1﹣2）+（y2﹣2）＝p，（y1﹣2）（y2﹣2）＝q，然后整理化简，即可解答本题．
【解答】解：设关于y的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0的两根分别为y1，y2，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，
∴x1+x2＝p，x1x2＝q，
∴（y1﹣2）+（y2﹣2）＝p，（y1﹣2）（y2﹣2）＝q，
化简，得：y1+y2＝p+4，y1y2﹣2（y1+y2）+4＝q，
整理可得，y1y2＝2p+q+4，
故选：A．
【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
7．秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（ ）
A．1+x＝121 B．（1+x2）＝121
C．1+x+x2＝121 D．1+x+x（1+x）＝121
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，结合“有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染．
根据题意得：1+x+x（1+x）＝121．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（ ）秒后，△PCQ的面积等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
【分析】设t秒后，△PCQ的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设t秒后，△PCQ的面积等于4，
由题意得：BP＝t，CQ＝2t，则CP＝5﹣t，
∵S△PCQ＝CQ CP，
∴4＝×2t×（5﹣t），
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去），
即1秒后，△PCQ的面积等于4，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1 x2＝ 3 ．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1 x2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝，熟练掌握此知识点是关键．
10．一个矩形的两邻边长分别是方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的两根，则矩形的面积等于 6 ．
【分析】把方程化为（x﹣2）（x﹣3）＝0，再得到两个一次方程，再解一次方程结合矩形面积公式可得答案．
【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝2，x2＝3，
∴矩形相邻的两边分别为：2和3，
∴矩形的面积为：2×3＝6；
故答案为：6．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，矩形的性质，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．
11．若方程（m﹣3）x2+3x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 m≠3 ．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这个式子是一元二次方程的条件是m﹣3≠0，即可求得m的范围．
【解答】解：由一元二次方程的定义可知m﹣3≠0，即m≠3．
故答案为：m≠3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是 ﹣1 ．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣a）＝0，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣a）＝0，解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13．如图，数轴上点A代表的数字为3x+1，点B代表的数字为x2+2x，已知AB＝5，且点A在数轴的负半轴上，则x的值为 ﹣2 ．
【分析】先利用数轴上两点之间的距离的求法得到x2+2x﹣（3x+1）＝5，再把方程化为一般式为x2﹣x﹣6＝0，接着利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+2＝0，然后解两个一次方程，从而可得到满足条件的x的值．
【解答】解：根据题意得x2+2x﹣（3x+1）＝5，
整理得x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
x﹣3＝0或x+2＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣2．
当x＝3时，3x+1＝10＞0，舍去，
所以x的值为﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了数轴．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，若该方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，则m的值为 3 ．
【分析】先利用根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣m，再根据α+2β＝5，求出α，β的值即可得到答案．
【解答】解：由根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣m，
∵α+2β＝5，
∴α＝﹣1，β＝3，
∴﹣m＝3×（﹣1）＝﹣3，
∴m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
15．解一元二次方程：
（1）x2+3x﹣1＝0；
（2）．
【分析】（1）根据公式法可以解答此方程；
（2）根据公式法可以解答此方程．
【解答】解：（1）x2+3x﹣1＝0，
a＝1，b＝3，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
该方程有两个不相等的实数根，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）
化简，得：x2﹣8x+4＝0，
a＝1，b＝﹣8，c＝4，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×4＝48＞0，
该方程有两个不相等的实数根，
∴x＝＝＝4±2，
∴x1＝4+2，x2＝4﹣2．
【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是会用公式法解方程．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
【分析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m，代入（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求得m的值．
【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×（m﹣1）≥0，
解得m≤2；
p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m，
则（p2﹣2p+3）（m+4）＝7即（4﹣m）（4+m）＝7，
解得：m＝3（舍去）或﹣3．
故m的值为﹣3．
【点评】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．
17．已知关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值．
【分析】（1）计算根的判别式Δ可解答；
（2）先利用因式分解法求方程的根，根据一个根是另一个根的3倍列式可解答．
【解答】（1）证明：∵Δ＝a2﹣4（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2+ax+a﹣1＝0，
∴（x+1）（x﹣1）+a（x+1）＝0，
∴（x+1）[x+（a﹣1）]＝0，
∴x+1＝0或 x+（a﹣1）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣a+1，
∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，
∴a为整数，﹣a+1＝3×（﹣1）或 3（﹣a+1）＝﹣1，
解得：a1＝4或a2＝（舍去），
∴a的值为4．
【点评】本题主要考查了根的判别式，解一元二次方程和一元一次方程，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
18．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
【分析】（1）根据Δ＝b2﹣4ac进行判断；
（2）把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0即可求得k，然后解这个方程即可；
【解答】（1）证明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4，
无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，
整理，得 2﹣k＝0．
解得 k＝2，
此时方程可化为 x2﹣4x+3＝0．
解此方程，得 x1＝1，x2＝3．
所以方程的另一根为x＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；还有方程根的意义等；
19．在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．
（1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，该汽车企业2020年新能源汽车销售总量为a辆，则该汽车企业2022年新能源汽车销售总量为（1+96%）a辆，利用该汽车企业2022年新能源汽车销售总量＝该汽车企业2020年新能源汽车销售总量×（1+该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论；
（2）设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为（y﹣15）万元，平均每周可售出（58﹣2y）辆，利用该店销售该款汽车平均每周的销售利润＝每辆的销售利润×每周的销售量，可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，该汽车企业2020年新能源汽车销售总量为a辆，则该汽车企业2022年新能源汽车销售总量为（1+96%）a辆，
根据题意得：a（1+x）2＝（1+96%）a，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不符合题意，舍去）．
答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%；
（2）设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为（y﹣15）万元，平均每周可售出8+×1＝（58﹣2y）辆，
根据题意得：（y﹣15）（58﹣2y）＝96，
整理得：y2﹣44y+483＝0，
解得：y1＝21，y2＝23，
又∵要尽量让利于顾客，
∴y＝21．
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据方程解的定义把x＝﹣1代入方程得到（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，整理得a﹣b＝0，即a＝b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）根据判别式的意义得到Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，整理得a2＝b2+c2，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x＝﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，
∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．
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