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§2.2 函数的单调性与最大(小)值
要点梳理
1.函数的单调性
（1）单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
基础知识 自主学习
定义 当x1
，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1，那么就说函数f（x）在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是
___________
自左向右看图象是
__________
f（x1）f(x1)>f(x2)
上升的
下降的
(2)单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是________或________，则称
函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，
________叫做f（x）的单调区间.
增函数
减函数
区间D
2.函数的最值
前提 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数
M满足
条件 ①对于任意x∈I，都有___________； ②存在x0∈I,使得
_____________. ①对于任意x∈I，都有____________；
②存在x0∈I,使得
_______________.
结论 M为最大值 M为最小值
f（x）≤M
f（x0）=M
f（x）≥M
f（x0）=M
基础自测
1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是
( )
A.y=-x+1 B.y=
C.y=x2-4x+5 D.
解析 ∵y=-x+1,y=x2-4x+5, 分别为一次函
数、 二次函数、反比例函数，从它们的图象上可
以看出在（0，2）上都是减函数.
B
2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的
根 （ ）
A.有且只有一个 B.有2个
C.至多有一个 D.以上均不对
解析 ∵f（x）在R上是增函数，
∴对任意x1,x2∈R,若x1反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个.
若对任意x∈R都无f(x)=0,则f(x)=0无根.
C
3.已知f(x)为R上的减函数，则满足
的实数x的取值范围是 （ ）
A.(-1,1)
B.(0,1)
C.(-1,0)∪(0,1)
D.（-∞,-1)∪(1,+∞)
解析 由已知条件：
不等式等价于
解得-1C
4.函数y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数，则
( )
A. B.
C. D.
解析 使y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数,
则2k+1<0，即
D
5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以
下几个命题：
①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0；
②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0；
③
④
其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.
解析 依据增函数的定义可知，对于①③，当自变
量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推
出函数y=f（x）为增函数.
①③
题型一 函数单调性的判断
【例1】已知函数
证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
（1）用函数单调性的定义.
（2）用导数法.
证明 方法一 任取x1,x2∈(-1,+∞),
不妨设x10,
思维启迪
题型分类 深度剖析
又∵x1+1>0,x2+1>0,
于是f(x2)-f(x1)=
故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
方法二
求导数得
∵a>1,∴当x>-1时，axln a>0,
f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立，
则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
对于给出具体解析式的函数，判断或证明
其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步
骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函
数则可以利用导数解之.
探究提高
知能迁移1 试讨论函数 x∈(-1,1)的单
调性（其中a≠0）.
解 方法一 根据单调性的定义求解.
设-1∵-10,
即-10.
因此，当a>0时，f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),此时函数为减函数；
当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)方法二
当a>0时，∵-1即f′(x)<0,此时f（x)在（-1，1）上为减函数.
同理，当a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
综上可知，a>0时，f（x)在（-1，1）上为减函数；
a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
题型二 复合函数的单调性
【例2】已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减
函数的区间是 ( )
A.(3,6) B.(-1,0)
C.(1,2) D.（-3,-1）
先求得函数的定义域,然后再结合二次
函数、对数函数的单调性进行考虑.
解析 由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,结合二次函数的
对称轴直线x=1知,在对称轴左边函数y=x2-2x-3是
减函数，所以在区间（-∞，-1）上是减函数,由
此可得D项符合.故选D.
思维启迪
D
（1）复合函数是指由若干个函数复合而
成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)
的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”，
即f(u)与g(x)有相同的单调性，则f[g(x)]必为增函
数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数.
（2）讨论复合函数单调性的步骤是：
①求出复合函数的定义域；
②把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其
单调性；
③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；
④根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.
探究提高
知能迁移2 函数y= 的递减区间为
（ ）
A.(1,+∞) B.
C. D.
解析 作出t=2x2-3x+1的示意
图如图所示，
∵0< <1,∴ 递减.
要使 递减,
t应该大于0且递增,
故x∈(1,+∞).
A
题型三 函数的单调性与最值
【例3】已知函数 x∈[1,+∞).
(1)当a= 时,求f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实
数a的取值范围.
第(1)问可先证明函数f(x)在[1,+∞)
上的单调性,然后利用函数的单调性求解，对于第
(2)问可采用转化为求函数f(x)在[1,+∞)上的最小
值大于0的问题来解决.
思维启迪
解
设1≤x1则f(x2)-f(x1)=
∵1≤x10,2x1x2>2,
∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1)∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数，
∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=
(2)在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立
? x2+2x+a>0恒成立.
设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),
则函数y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在区间[1,+∞)上是
增函数.
∴当x=1时，ymin=3+a,
于是当且仅当ymin=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立，
故a>-3.
要注意函数思想在求函数值域中的运
用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函
数的最值解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分
离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立,
只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数
的性质得-(x+1)2+1≤-3,所以只要a>-3即可.
探究提高
知能迁移3 已知函数 (a>0,x>0),
(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数;
(2)若f(x)在 上的值域是 求a的值.
(1)证明 设x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0,
∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的.
题型四 函数单调性与不等式
【例4】(12分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)
=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1.
（1）求证：f(x)是R上的增函数；
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
问题(1)是抽象函数单调性的证明,所
以要用单调性的定义.
问题(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运
用单调性“去掉”,为此需将右边常数3看成某个
变量的函数值.
思维启迪
解 （1）设x1,x2∈R，且x1则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. 2分
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1>0. 5分
∴f（x2）>f(x1).
即f(x)是R上的增函数. 6分
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3， 8分
∴原不等式可化为f(3m2-m-2)∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2<2, 10分
解得-1f(x)在定义域上（或某一单调区间上）
具有单调性，则f(x1)增函数,则f(x1)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一
般不等式（或方程）求解，但无论如何都必须在定义
域内或给定的范围内进行.
探究提高
知能迁移4 已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)
满足 =f(x1)-f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
（1）求f(1)的值；
（2）判断f(x）的单调性；
（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.
解 （1）令x1=x2>0,
代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.
（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1>x2,则
由于当x>1时，f(x)<0,
所以 即f(x1)-f(x2)<0,
因此f(x1)所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
（3）由 =f(x1)-f(x2)得
=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.
由于函数f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，
由f(|x|)9,∴x>9或x<-9.
因此不等式的解集为{x|x>9或x<-9}.
1.根据函数的单调性的定义，证明（判定）函数f(x)
在其区间上的单调性，其步骤是
（1）设x1、x2是该区间上的任意两个值，且x1＜x2；
（2）作差f（x1）-f（x2），然后变形；
（3）判定f（x1）-f（x2）的符号；
（4）根据定义作出结论.
方法与技巧
思想方法 感悟提高
2.求函数的单调区间
首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其
定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本
初等函数的单调区间.常用方法有：根据定义，利用
图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质.
3.复合函数的单调性
对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是
单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或者(g(b),
g(a))上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同
(同时为增或减),则y=f[g(x)]为增函数;若t=g(x)与
y=f(t)的单调性相反,则y=f[g(x)]为减函数.
简称为:同增异减.
1.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上
单调递增或单调递减.单调区间要分开写,即使在两
个区间上的单调性相同,也不能用并集表示.
2.两函数f(x)、g(x)在x∈(a,b)上都是增(减)函数,则
f(x)+g(x)也为增(减)函数,但f(x)·g(x), 等的
单调性与其正负有关，切不可盲目类比.
失误与防范
一、选择题
1.若函数y=ax与 在(0,+∞)上都是减函数，
则y=ax2+bx在（0，+∞）上是 （ ）
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.先减后增
解析 ∵y=ax与 在(0,+∞)上都是减函数,
∴a<0,b<0，∴y=ax2+bx的对称轴方程
∴y=ax2+bx在（0，+∞）上为减函数.
B
定时检测
2.函数 （a>0且a≠1）是R上
的减函数，则a的取值范围是 ( )
A.（0，1） B.
C. D.
解析 据单调性定义，f（x）为减函数应满足：
B
3.下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是 ( )
A.y=sin x B.y=-log2x
C. D.
解析 ∵y=sin x在 上是增函数，
∴y=sin x在（0，1）上是增函数.
A
4.(2009·天津)已知函数
若f(2-a2)>f(a)，则实数a 的取值范围是（ ）
A.（-∞,-1）∪(2,+∞) B.(-1,2)
C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
解析 由f(x)的图象
可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数,由f(2-a2)>
f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2C
5.若函数f(x)=x3 (x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域
上是 ( )
A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数
C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数
解析 f(x)=x3 (x∈R)，则函数y=f(-x)=-x3 (x∈R)
显然在其定义域内是单调递减的奇函数.
B
6.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是 ( )
A. B.
C. D.
解析 函数f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4
的减区间为
∵e>1,∴函数f(x)的单调减区间为
D
二、填空题
7.若函数f(x)=(m-1)x2+mx+3 (x∈R)是偶函数，则
f(x)的单调减区间是________.
解析 ∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
∴(m-1)x2-mx+3=(m-1)x2+mx+3，
∴m=0.这时f(x)=-x2+3，
∴单调减区间为[0，+∞).
[0,+∞)
8.若函数 在区间(m，2m+1)上是单调递
增函数，则m∈________.
解析 ∵
令f′(x)>0,得-1∴f(x)的增区间为（-1，1）.
又∵f(x)在（m，2m+1）上单调递增，
∵区间（m，2m+1）中2m+1>m,∴m>-1.
综上，-1(-1,0]
9.已知定义域为D 的函数f(x)，对任意x∈D,存在正
数K，都有|f(x)|≤K成立，则称函数f(x)是D上的
“有界函数”.已知下列函数:①f(x)=2sin x;
②f(x)= ③f(x)=1-2x;④ 其中
是“有界函数”的是______.（写出所有满足要求
的函数的序号）
解析 ①中|f（x）|=|2sin x|≤2,②中|f（x）|≤1;
④
当x=0时，f(x)=0，总之，|f(x)|≤
③f(x)<1,∴|f（x）|→+∞,故填①②④.
答案 ①②④
三、解答题
10.判断f(x)= 在(-∞,0)∪(0,+∞)上的单调性.
解 ∵-1<1,f（-1）=-1∴f（x）在（-∞，0）∪(0,+∞)上不是减函数.
∵-2<-1,f(-2)= >f(-1)=-1,
∴f(x)在（-∞，0）∪（0，+∞）上不是增函数.
∴f（x）在（-∞，0）∪(0,+∞)上不具有单调性.
11.已知
（1）若a=-2,试证f(x)在（-∞,-2）内单调递增；
（2）若a>0且f(x)在（1,+∞）内单调递减，求a的取
值范围.
（1）证明 任设x1则f(x1)-f(x2)=
∵(x1+2）(x2+2)>0,x1-x2<0,
∴f(x1)∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.
（2）解 任设1∵a>0,x2-x1>0,
∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立，
∴a≤1.
综上所述知012.f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数,且 =
f(x)-f(y).
（1）求f(1)的值；
（2）若f(6)=1,解不等式
解 （1）令x=y,得f(1)=0.
(2)由x+3>0及 得x>0,
由f(6)=1及
得f[x(x+3)]<2f(6),即f[x(x+3)]-f(6)亦即
因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以
解得
综上所述，不等式的解集是
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