选择必修 第二章 2.3.4 两条平行直线间的距离公式 课件(共19张PPT)

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选择必修
第二章 直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.3 两条平行直线间的距离公式
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解两平行线间距离的定义． 1.直观想象素养.
2.探索并掌握两平行直线间的距离公式. 2.数形结合素养和逻辑思维素养.
3.能利用两平行直线间的距离公式解决相关问题. 3.数形结合素养和数学运算素养.
温故知新
2.点到直线距离公式：
1. 两点间的距离公式：
平面内两点 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，
.
点P(x0，y0)到直线l:Ax＋By＋C=0的距离：
.
新知引入
前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式.关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的.
新知探究
两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.
两条平行直线间的距离
点到直线的距离
转化
知新探究
【例1】已知两条平行直线 l1：2x 7 8 = 0， l2：6x 21 1 = 0 ，求 l1与 l2 间的距离.
解：
先求l1与x轴的交点A的坐标.容易知道，点A的坐标为(4,0), .
点A到直线l2的距离为
.
∴l1与 l2 间的距离为.
分析：在l1上选取一点，如l1与坐标轴的交点，用点到直线的距离公式求这点到 的距离，即l1与l2间的距离.
如何取点，可使计算简单？
注意：取点时可取与坐标轴 (x轴/y轴) 相交的点，使横/纵坐标为0，简便计算.
初试身手
1.若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为 .
解：
由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，
而直线l1与x轴的交点P的坐标为(1,0),则
.
∴AB的长为直线l1与l2间的距离.
知新探究
【例2】求证：两条平行线Ax + By + C1 = 0与Ax + By + C2 = 0 间的距离为
.
证明：
在直线Ax + By + C1 = 0上任取一点P (x0，y0)，点P(x0，y0) 到直线Ax + By + C2 = 0 的距离就是这两条平行直线间的距离，即
,
因为点 P (x0，y0) 在直线 Ax + By + C1 = 0 上，所以 Ax0 + By0 + C1 = 0 ，即Ax0 + By0 = – C1，因此
.
分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离.
知新探究
两平行直线间的距离公式：已知两条平行线Ax + By + C1 = 0与Ax + By + C2 = 0 ，则它们间的距离为
应用此公式必须注意：
⑴把直线方程化为直线的一般式方程;
⑵两条直线方程中x,y的系数必须分别相等；
.
⑶两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.
知新探究
思考2：当两条直线为斜截式l1:y=kx+b1，l2:y=kx+b2,此时两直线的距离公式如何表达？
将两条直线分别化为l1:kx-y+b1=0，l2:kx-y+b2=0,
∴.
知新探究
【例1】已知两条平行直线 l1：2x 7 8 = 0， l2：6x 21 1 = 0 ，求 l1与 l2 间的距离.
另解：
直线l2的方程可化为2x 7 8 = 0，
∵l1：2x 7 8 = 0，
∴.
∴l1与 l2 间的距离为.
初试身手
解：
∵，∴这两条直线平行.
直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y-24=0,
．
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，,
2.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为 .
∴|PQ|的最小值为．
新知探究
【例3】已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，求l的方程．
方法1：由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，
于是有 ,
即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，
∴=1,
则设l的方程为2x－y＋c＝0，
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
解：
方法2:由题意知l必介于l1与l2中间，
故直线l的方程为2x－y＋1＝0.
初试身手
解：
由两条直线平行得 5m-12×10=0，
解得m=24,
又∵两条平行直线间的距离是1，
∴．
∴直线10x＋my＋c＝0为10x＋24y＋c＝0，即5x＋12y+=0,
3.已知两条平行直线5x＋12y－3＝0与10x＋my＋c＝0的距离是1，则m= ,
c= .
解得c=20或-32．
24
20或-32
课堂小结
求两条平行直线间距离的方法
方法1：在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.
方法2：已知两条平行线Ax + By + C1 = 0与Ax + By + C2 = 0 ，则它们间的距离为
.
当两条直线为斜截式l1:y=kx+b1，l2:y=kx+b2,则它们间的距离为
.
作业布置
作业： P79 练习 第2，3题
P79-80 习题2.3 第7,8，15题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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