初中数学人教版九年级上册 第二十二章 二次函数图象对称性 教学设计

感受对称 领悟方法
---用二次函数图象对称性解决问题
课前分析
二次函数是中考试题的热点，其图象是抛物线，这与一次函数的图象有很大的区别，主要在 于形状、增减性，对称性以及顶点、最值等．对于直线我们一般很少研究其对称性．同时二 次函数也有别于反比例函数，虽然双曲线也有轴对称性和中心对称性，但对于反比例函数我 们在大部分情况下是利用中心对称性解题．在这三种函数中， 抛物线的轴对称性最为特殊， 在对称轴的左右两侧图象是可以完全重合的，增减性是相反的，这些性质是我们研究的重 点．抛物线的对称性具有轴对称图形的一切特征，可以利用这种图形的性质解决坐标、函数值甚至函数变化范围等问题，还能解决“将军饮马”、折叠、圆等综合情境下的问题，可以给我们的解题带来“柳暗花明”的效果．通过学生平时学习的反馈发现学生往往会忽略二次 函数的轴对称性，导致无法成功快速地解决问题． 因此，有必要开展一节利用二次函数轴 对 称性解决问题的专题复习课，提升学生对于这一知识的认识和运用能力.
教学目标
再次感受二次函数对称性 ， 并能利用对称性解决问题；
通过问题和变式引导学生对比关注利用二次函数对称性解决问题的优势，增强学生类比学习、迁移的能力；
3.进一步感受抛物线的对称美，激发学生学习数学的兴趣，收获学习数学的乐趣 ．
三、过程设计
感受 “数”中有对称
问题 1 二次函数图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0），则该函数图象的对称轴是 .
变式 1 已知二次函数图象过 A（0，3），B（2，3），则该二次函数图象的对称轴是 .
变式 2 用“描点法” 画二次函数的图象时，列了如下表格：
x … -2 -1 0 1 2 …
y …
5 0 3 4 3 …
根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y= .
领悟方法：一般地，对于抛物线上两点A（x1,y1),B(x2,y2),若y1=y2，则这两点关于抛物线的对称轴对称，其对称轴为.
感受“形”中有对称
问题2 （2010 浙江金华）若二次函数 y=- x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 - x2+2x+k=0 的一个解 x1=3，另一个解x2= .
变式1 若二次函数 y=- x2+2x+k的部分图象如图所示，其对称轴为x=1,与x轴一交点为A（3,0），则由图象可知，当y＜0时x的取值范围是 .
变式2 若A（，y1）,B（，y2）C（，y3）是二次函数y=- x2+2x+3的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系为 .
变式3 已知二次函数y=a（x-1）2+4(a≠0）的图象在-1＜x＜0这一段位于x轴上方，在3＜x＜4这一段位于x轴下方，则a的值为 .
领悟方法：二次函数图象是抛物线，是轴对称图形，借助图象的对称性可以解决求解方程、取值范围、大小等问题.感受图形的对称之美和“以形助数”的数形结合思想在解题中的直观和优越性.
感受 “式”中有对称
问题3己知抛物线y=-x2+2x+k与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）， 线段AB的长为4，则对称轴为 ， 点A坐标为 ，点B坐标为 .
变式1 已知二次函数y=- x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且图象过点A（m,t），
B（m+4，t）两点，求t的值.
变式2 已知二次函数y=- x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且图象过点A（m,t），
B（m+k，t）两点，直接写出t关于k的函数表达式.
变式4 当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2-2022x+2023的值相等，求当x=m+n时，
代数式x2-2022x+2023的值.
变式5已知二次函数y=- x2+bx+c的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B左侧），
B（3，0）且经过（2，3）.
求此抛物线解析式及顶点坐标；
P是抛物线对称轴上一点，当PB+PC 值最小时点P的坐标.
变式6 某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件.市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45 元），那么每星期少卖 10 件. 设每件涨价x元（x 为非负整数），每星期的销量为y件 ．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润最大？每星期的最大利润是多少？
领悟方法：利用解析法求解抛物线的对称轴，并利用对称性解决点的求值、式的求值、线段和的最小值以及二次函数应用问题中的最值问题。感受“以数解形”的数学思想方法和抛物线对称性在解题中的桥梁作用.