人教版九年级上册 22.3.2 建立适当的坐标系解决实际问题 教案

建立适当的坐标系解决实际问题
一、教学目标
(一)知识与技能：通过对抛物线型拱桥的探究，掌握如何建立适当的直角坐标系，待定系法求二次函数解析式，解决实际问题.
(二)过程与方法：体会数学知识在生活实际的广泛应用性，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题.
(三)情感态度与价值观：通过二次函数的有关知识灵活用于实际，体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学的兴趣.
二、教学重点、难点
重点：通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型.
难点：利用二次函数解决实际问题时应如何建立合适的坐标系从而使解题简便.
三、教学过程
知识预备
1. 函数y=ax2(a≠0)的图象是一条_______，它的顶点坐标是_______，对称轴是_____，当a____时，开口向上，当a____时，开口向下.
2.二次函数解析式的形式有：①一般式：____________，②顶点式：_____________，③交点式：________________.
(1)如图所示的抛物线，可以根据顶点所在的位置设为
_________，也可以根据抛物线与x轴的交点坐标设为
______________.
(2)由A，B两点的横坐标，可以求得线段AB的长为___.
探究3
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由抛物线经过点(2，-2)，可得
-2=a×22，解得，a=
∴ 这条抛物线表示的二次函数为：y=x2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3.
当y=-3时，x=.
∴ 当水面下降1m时，水面的宽度为2m.
∴ 水面的宽度增加了(2-4)m.
你有其它解法吗？
解：以离拱顶2m时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2+2.由抛物线经过点(2，0)，可得
0=a×22+2，解得，a=
∴ 这条抛物线表示的二次函数为：y=x2+2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为-1.
当y=-1时，x=.
∴ 当水面下降1m时，水面的宽度为2m.
∴ 水面的宽度增加了(2-4)m.
归纳总结
在“拱桥类”问题中，一般知道拱高和拱长，这时可根据抛物线的对称性建立以对称轴为y轴的坐标系，然后根据所建立的坐标系，确定抛物线上一些点的坐标.若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2；若顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2+k.
步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标求出关系式；(5)利用关系式求解问题.
练习
1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线形，水面宽为30米，水面离桥顶的高度是9米，建立如图所示的直角坐标系，你能求出桥拱所在抛物线的函数关系式吗？
解：设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由已知条件可知抛物线经过点(15，-9)，可得
-9=a×152，解得，a=
因此，桥拱所在抛物线的函数关系式为：y=-x2
2.如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m(水平距离)远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
解：如图，建立直角坐标系
则点B的坐标是(0，3.5)，点C的坐标是(1.5，3.05)
点A表示运动员投篮球的出手处
设y=ax2+3.5，把C(1.5，3.05)代入y=ax2+3.5得
3.05=2.25a+3.5，解得a=-0.2
∴ y=-0.2x2+3.5
当x=-2.5时，y=2.25
故运动员出手时的高度为2.25m
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.