人教版九年级上册 23.1.1 旋转的概念及性质 教案

教学引导
目标 1．通过观察具体实例认识旋转，抽象出旋转的概念，分离出旋转的决定要素，发展抽象能力； 2．通过实验操作、观察、归纳猜想、演绎证明等活动探索旋转的性质，发展学生的空间观念，几何直观和推理能力； 3．能类比平移、轴对称的研究过程规划旋转的研究思路，学会学习．
重点 探索旋转的性质
难点 分离出旋转的决定要素，探索旋转的性质
23.1.1 旋转的概念及性质
教学过程设计
（一）创设情境，提出问题
问题1 这是方特主题公园的摩天轮，它能带着我们不停地转动体验不一样的美丽风景。事实上，生活中转动的物体还有很多，如时钟的指针，风车的叶片在风的吹动下转动到新的位置，为中国神舟载人飞船提供测控服务的天链一号同步地球卫星绕地球转动，同学们知道它们所做的这种运动叫什么吗？
师生活动：教师展示图片，学生观察，并回忆小学曾经知道的旋转．
设计意图：通过生活实例，引入本节课的研究对象．
问题2 我们该怎样来研究旋转呢？
追问1 我们已经学习过哪几类图形的运动？它们是怎么进行研究的？
师生活动：学生容易回忆起已经学移、轴对称这两种图形的运动，之后教师引导学生得到它们的研究思路是：定义→性质→作图→坐标表示→应用．而旋转也是一种图形的运动，因此可以类比平移和轴对称，按照相同的研究思路来研究旋转．
追问2 类比平移和轴对称定义的得出过程，你认为如何得到旋转的定义？
师生活动：教师引导学生回忆平移和轴对称定义的得出过程，想到旋转的定义也可通过观察一系列具体实例，归纳出它们的共同特征得到．
设计意图：通过类比构建旋转的研究思路，向学生渗透类比是发现解决问题方法的重要途径，另外一方面渗透获得定义的一种思想方法——从具体实例中归纳概括本质属性．
（二）探索思考，形成新知
问题3 回顾之前旋转的现象，这些现象有哪些共同特点？
师生活动：学生发言，教师引导学生归纳：物体都转动了一定的角度，并且物体上的每个点都在绕一个点转动，且各点到这个定点的距离相等．
追问1：如果将上面例子中的指针、叶片、卫星看作平面图形，现在你能给图形的旋转下个定义吗？
师生活动：师生共同得出旋转定义：像这样，把一个平面图形上的每个点都绕着平面内某一点O转动同一个角度，各点到O点的距离都保持不变，这叫做图形的旋转．之后教师结合定义给出“旋转中心”、“旋转角”、“对应点”等概念．
设计意图：让学生从具体实例中发现旋转现象，抽象出旋转的本质属性，即将“生活中的旋转”抽象为“数学中的旋转”；让学生借助实例，理解数学概念，同时发展抽象概括能力．
问题4 指针旋转后的位置是由什么要素决定的？
师生活动：教师引导学生得到旋转的决定要素是旋转中心、旋转角和旋转方向．
设计意图：让学生能分离出旋转的三要素，为旋转性质的得出作铺垫．
问题5 得到旋转的定义后，接下来我们要研究什么？如何研究旋转的性质？
师生活动：在得出旋转定义的基础上，学生联想到可类比平移、轴对称来研究旋转的性质．
追问1：平移、轴对称有何性质？
追问2：它们的性质是如何研究的？
追问3：由此你能想到旋转的性质应从哪些方面进行研究吗？
师生活动：学生回忆平移、轴对称的性质，教师引导学生发现图形变化的性质是从整体和局部两方面进行研究，整体上研究图形变化前后的形状、大小关系；局部是研究对应点与图形变化的决定要素之间的数量和位置关系．从而想到旋转的性质也可从这两方面进行研究．
追问4：如何研究旋转的性质？
师生活动：类比平移、轴对称性质的研究，通过旋转操作画出旋转前后的图形，通过观察归纳得到图形的性质，通过推理的方法进行证明．
设计意图：通过类比平移和轴对称性质的研究，使学生明确旋转的性质所要研究的内容和方法，为学生研究旋转的性质指明方向，提高学生发现问题、分析问题的能力．
问题6 请同学们拿出三角尺，先放在纸上描出里面的小三角形，之后以大三角形的一个顶点作为旋转中心，绕这个旋转中心转动三角板，画出旋转后的三角板中的小三角形．由此你能得到旋转的哪些性质？
师生活动：学生从旋转的决定要素出发观察旋转的过程，提出旋转性质的猜想：1．对应点到旋转中心的距离相等；2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3．旋转前、后的图形全等．
追问1：如何验证上述猜想的正确性？
师生活动：教师利用几何画板中的度量功能，以及改变旋转中心、旋转角、三角形的形状和大小，让学生体验在变化过程中结论不发生改变．之后教师引导学生发现前两条性质可由旋转的定义直接得到，但第三条性质还需证明．然后让学生自己尝试证明、展示．
追问2：你能用符号语言表示这三条性质吗？
师生活动：教师给出图形，学生用符号语言表示性质．
追问3：旋转性质的得出与平移和轴对称性质的得出有哪些一致性？
师生活动：教师引导学生回顾旋转性质的得出过程，发现都是经历了实验操作、观察、归纳、推理证明的过程，从整体和局部两方面得到性质．
设计意图：让学生亲身经历性质的发现、概括、验证的过程，发展学生归纳概括能力、合情推理能力，利用几何画板让学生更直观地感受到在图形的变化过程中，对应点所蕴含的不变关系．此外通过对性质的多元表征，加深学生对性质的理解，为后续应用性质进行推理运算打下基础．
（三）辨别运用，巩固新知
1．如图，△AOB绕着点O旋转至△A′OB′，此时：
（1）点B的对应点是____；
（2）旋转中心是____，旋转角为________；
（3）∠A的对应角是____，线段OB的对应线段是线段____．
设计意图：巩固旋转的概念．
2．如图，把△ABC绕着点A顺时针旋转得到△AB′C′，点C的对应点C′落在BC边上，则下列结论不正确的是( )
A．AC′＝AC B．∠B′AB＝∠BAC′
C．△B′AC′≌△BAC D．∠B′AB＝∠C′AC
设计意图：巩固旋转的性质．
（四）综合运用，发展能力
例1 如图,△ABC是等边三角形,△APC逆时针旋转后与△AP'B重合．若连结PP',求证：
△APP'是三角形．
例2 如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F．
求证：△BCF≌△BA1D；
设计意图：综合运用旋转的性质，帮助学生进一步理解旋转的性质．
（五）回顾小结，概括提升
1．旋转的定义是什么？旋转有哪些性质？
2．对比平移、轴对称和旋转的性质，它们有哪些相同点和不同点？
3．本节课按照了怎样的思路，采用了怎样的方法探索旋转的性质？
设计意图：回顾旋转的性质，研究思路和方法．
目标检测
1．如图，它可以看作是由一个菱形绕某一点旋转一个角度后，顺次按这个角度同向旋转而得的．
（1）请你在图中用字母O标注出这一点；
（2）每次旋转了________度；
（3）一共旋转了________次．
2．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3 cm，BO＝4 cm．将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D＝________cm．
3． 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置．若∠AOB＝40°，则∠AOD＝（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D．
(1)求证：BE＝CF；
(2)当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
答案：1．（1） ；（2）60°；（3）5． 2． 1.5． 3．D．
4． 解：（1）证明：由旋转可知∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，AE＝AB．
∴∠EAF＋∠BAF＝∠BAC＋∠BAF，即∠BAE＝∠CAF．
又∵AB＝AC，∴AE＝AF．
∴△ABE≌△ACF(SAS)．
∴BE＝CF．
（2）∵四边形ACDE是菱形，AB＝AC＝1，
∴AC∥DE，DE＝AE＝AB＝1．
又∵∠BAC＝45°，
∴∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝45°．
∵∠AEB＋∠BAE＋∠ABE＝180°，
∴∠BAE＝90°．
∴BE＝＝＝．
∴BD＝BE－DE＝－1．
设计意图：第1题检测目标1，第2题、第3题、第4题检测目标2．