人教版九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定（1） 教案
文档属性
| 名称 | 人教版九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定（1） 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 144.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-08 17:50:28 | ||
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文档简介
27.2.1相似三角形的判定（1）
目标 1.经历猜想并证明相似三角形的判定定理AA和SAS的探究活动，理解这两个定理，发展空间观念、几何直观和抽象能力. 2.能应用相似三角形的判定定理“AA”、“SAS”进行简单推理与计算，发展推理能力. 3.会类比全等三角形的判定的学习经验学习相似三角形的判定学会学习.
重点 能运用“两角分别相等的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理证明三角形相似.
难点 构造中介三角形，利用转化思想证明两条判定定理.
教学过程设计
一、温习旧知，类比研究
问题1 我们已经得到哪些判定三角形相似的方法？
师生活动：学生回顾判定相似三角形的三种方法：（1）定义；（2）预备定理；并分别用图形语言、文字语言和符号语言进行表达.
追问: 这些判定三角形相似的方法各有什么优缺点？
师生活动：教师引导学生比较三种判定方法后得到：定义法需要六个条件太麻烦，预备定理虽然只需要一个条件（平行线）但三角形的相对位置太特殊，这些方法存在着不够简便或不够一般化的局限性.
设计意图：学生回顾并归纳判定相似三角形的三种方法，感知目前有的判定方法的局限性，为接下来探究一般位置下相似三角形的简便判定方法做铺垫.
问题2 对于一般位置的两个三角形，怎样减少判定它们相似的条件呢？
追问1：在全等三角形判定的研究时，我们将边角条件减少到了三个，得到了一系列简便判定方法. 本节课，我们从三个角的情况开始研究，三个角分别相等的两个三角形不一定全等，它们相似吗？
追问2：进一步减少条件，有两个角分别相等的两个三角形相似吗？由此，可以得到什么猜想？
师生活动：教师引导学生思考，类比全等判定的研究经验，直观发现，在三个角大小不变的情况下，边的缩放不改变三角形的形状.进一步得到，两个三角形中，如果它们的两个角分别相等，则可以推出三个角都分别相等. 因此，提出猜想（1）：两角分别相等的两个三角形相似.
设计意图：此环节运用类比思想，引导学生提出三角形相似的“角角”简单判定猜想，从而明确本节课的研究对象.
二、构造中介，类比证明
问题3 怎样证明猜想（1）“两角分别相等的两个三角形相似”呢？
追问：如何将一般情况转化为特殊的位置关系，利用预备定理证明猜想？
师生活动：教师引导学生画图并写出已知，求证.
已知：如图，∠A=∠A'，，∠B=∠B'，
求证：△ABC∽△A'B'C'.
接着，教师引导学生思考，将一般情况转化为特殊
的位置关系，分析证明思路：
构造中介三角形A′DE，利用预备定理证明猜想. 最后，写出证明过程.
证明：不妨假设 ABAC 与点 E,则△A′DE∽△A′B′C′.∠A′DE=∠B′.
∵∠B=∠B′,
∴∠B=∠A′DE.
∵∠A=∠A′,A′D=AB，
∴△A′DE≌△AB′C.
∴△ABC∽△A′B′C′.
当 AB>A′B′时，同理可证.
问题4 能用文字语言、图形语言和符号语言表达这个判定定理吗？
师生活动：教师引导学生表达如下：
相似三角形判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似.
符号语言：BC∽△A'B'C ' .
并引导学生总结：定理1说明，如果一个三角形的两个角的大小确定了，这个三角形的形状也就确定了. 定理证明过程的关键就是通过构造中介全等三角形，转化为利用预备定理加以证明两个三角形相似，体现了转化的数学思想方法，
设计意图：经历“猜想、画图观察、归纳猜想、推理证明”等活动，从而获得判定三角形相似的简便方法，发展空间观念、几何直观、抽象能力和推理能力.
问题5 在全等三角形的判定中，还研究了两边一角情况.类比全等的“边角边”，你能提出相似三角形判定的猜想吗？
师生活动：学生类比类比全等的判定“SAS”，提出猜想（2）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
设计意图：此环节运用类比思想，引导学生提出三角形相似的简单判定方法的猜想（2），发展空间观念、几何直观和抽象能力.
问题6 你能类比证明猜想（2）“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”吗？
师生活动：教师引导学生类比猜想（1）的证明过程，写出已知，求证.
已知：如图，在△ABC和△A'B'C' 中， ，∠A=∠A'，
求证：△ABC∽△A'B'C'.
并结合图形进行分析，独立思考后可以进行组内交流并书写证明过程，教师选取小组代表讲解证明思路，进而归纳得到相似三角形的判定定理2的文字语言、图形语言和符号语言表达.
相似三角形判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
符号语言： ，∠A=∠A' △ABC∽△A'B'C'.
教师引导学生总结：定理2说明，如果把一个三角形的两边放大或缩小相同的倍数，同时它们的夹角保持不变，得到的三角形与原三角形相似，即三角形的形状由两边的比及它们的夹角唯一确定.
设计意图：学生动手操作、与同学合作交流，学生在自主探究过程中，再次应用巩固了判定定理1的辅助线添加方法和证明思路，加深对转化思想的理解，进一步发展了学生的推理能力.
问题7 两边分别成比例且其中一边的对角相等的两个三角形相似吗？试着画一画.
师生活动：教师引导学生类比与全等三角形中的结论进行画图举反例并归纳得到，两边分别成比例且其中一边的对角相等的两个三角形不一定相似.
设计意图：问题的设置是的相似判定的探究过程更加完备，
利用画反例，让学生直观、深刻的理解“两边及一边对角”的不
一定成立，体会数学的严谨性，发展学生的几何直观与空间观念.
辨别应用，巩固新知
例3 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.
（1）∠A=50°，∠B=60°；∠B'=60°，∠C'=70°.
（2）∠A=120°，AB=7，AC=14；∠A'=120°，A'B'=3，A'C'=6.
解：（1）∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠C=180°-（∠A+∠B）=70°. ∴∠C=∠C'.
又∠B=∠B'=60°，
∴△ABC∽△A'B'C'.
（2）∵ =，=， ∴.
又∵∠A=∠A'， ∴△ABC∽△A'B'C'.
例4 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB,垂足为D. 求AD的长.
解：∵ED⊥AB，∴ ∠EDA=90°.
又∠C=90°，∠A=∠A, ∴△AED∽△ABC.
∴= , ∴AD===4.
练习
1.图中的两个三角形是否相似？为什么？
（第1题）
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，求证：
(1)△ACD∽△ABC；(2)△CBD∽△ABC.
3. 如图，△ABC的三个顶点都在小正方形组成的网格的格点上，画出一个顶点在网格格点上的△A'B'C'，使得△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'与△ABC的相似比为2. 画图的依据是什么？
设计意图：从例题到练习的三道题目的设置循序渐进，给各类学生都提供了思考的空间，旨在让学生应用相似三角形的判定定理1,2的同时，加深对判定定理的理解，发展学生的应用意识.
四、回顾小结，概括提升
回顾本节课的学习，回答下列问题：
你得到了哪些三角形相似的简单判定方法？
你认为证明两个三角形相似的思路是什么？
师生活动：学生相互补充回答，梳理本节课的知识及研究思路与方法.
设计意图：梳理三角形相似的简便判定方法的知识及研究方法、研究思路，将本节课的研究思路、方法与判定全等三角形的研究思路、方法进行比较，进一步体会类比思想，积累数学活动经验，发展应用意识.
目标 1.经历猜想并证明相似三角形的判定定理AA和SAS的探究活动，理解这两个定理，发展空间观念、几何直观和抽象能力. 2.能应用相似三角形的判定定理“AA”、“SAS”进行简单推理与计算，发展推理能力. 3.会类比全等三角形的判定的学习经验学习相似三角形的判定学会学习.
重点 能运用“两角分别相等的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理证明三角形相似.
难点 构造中介三角形，利用转化思想证明两条判定定理.
教学过程设计
一、温习旧知，类比研究
问题1 我们已经得到哪些判定三角形相似的方法？
师生活动：学生回顾判定相似三角形的三种方法：（1）定义；（2）预备定理；并分别用图形语言、文字语言和符号语言进行表达.
追问: 这些判定三角形相似的方法各有什么优缺点？
师生活动：教师引导学生比较三种判定方法后得到：定义法需要六个条件太麻烦，预备定理虽然只需要一个条件（平行线）但三角形的相对位置太特殊，这些方法存在着不够简便或不够一般化的局限性.
设计意图：学生回顾并归纳判定相似三角形的三种方法，感知目前有的判定方法的局限性，为接下来探究一般位置下相似三角形的简便判定方法做铺垫.
问题2 对于一般位置的两个三角形，怎样减少判定它们相似的条件呢？
追问1：在全等三角形判定的研究时，我们将边角条件减少到了三个，得到了一系列简便判定方法. 本节课，我们从三个角的情况开始研究，三个角分别相等的两个三角形不一定全等，它们相似吗？
追问2：进一步减少条件，有两个角分别相等的两个三角形相似吗？由此，可以得到什么猜想？
师生活动：教师引导学生思考，类比全等判定的研究经验，直观发现，在三个角大小不变的情况下，边的缩放不改变三角形的形状.进一步得到，两个三角形中，如果它们的两个角分别相等，则可以推出三个角都分别相等. 因此，提出猜想（1）：两角分别相等的两个三角形相似.
设计意图：此环节运用类比思想，引导学生提出三角形相似的“角角”简单判定猜想，从而明确本节课的研究对象.
二、构造中介，类比证明
问题3 怎样证明猜想（1）“两角分别相等的两个三角形相似”呢？
追问：如何将一般情况转化为特殊的位置关系，利用预备定理证明猜想？
师生活动：教师引导学生画图并写出已知，求证.
已知：如图，∠A=∠A'，，∠B=∠B'，
求证：△ABC∽△A'B'C'.
接着，教师引导学生思考，将一般情况转化为特殊
的位置关系，分析证明思路：
构造中介三角形A′DE，利用预备定理证明猜想. 最后，写出证明过程.
证明：不妨假设 AB
∵∠B=∠B′,
∴∠B=∠A′DE.
∵∠A=∠A′,A′D=AB，
∴△A′DE≌△AB′C.
∴△ABC∽△A′B′C′.
当 AB>A′B′时，同理可证.
问题4 能用文字语言、图形语言和符号语言表达这个判定定理吗？
师生活动：教师引导学生表达如下：
相似三角形判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似.
符号语言：BC∽△A'B'C ' .
并引导学生总结：定理1说明，如果一个三角形的两个角的大小确定了，这个三角形的形状也就确定了. 定理证明过程的关键就是通过构造中介全等三角形，转化为利用预备定理加以证明两个三角形相似，体现了转化的数学思想方法，
设计意图：经历“猜想、画图观察、归纳猜想、推理证明”等活动，从而获得判定三角形相似的简便方法，发展空间观念、几何直观、抽象能力和推理能力.
问题5 在全等三角形的判定中，还研究了两边一角情况.类比全等的“边角边”，你能提出相似三角形判定的猜想吗？
师生活动：学生类比类比全等的判定“SAS”，提出猜想（2）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
设计意图：此环节运用类比思想，引导学生提出三角形相似的简单判定方法的猜想（2），发展空间观念、几何直观和抽象能力.
问题6 你能类比证明猜想（2）“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”吗？
师生活动：教师引导学生类比猜想（1）的证明过程，写出已知，求证.
已知：如图，在△ABC和△A'B'C' 中， ，∠A=∠A'，
求证：△ABC∽△A'B'C'.
并结合图形进行分析，独立思考后可以进行组内交流并书写证明过程，教师选取小组代表讲解证明思路，进而归纳得到相似三角形的判定定理2的文字语言、图形语言和符号语言表达.
相似三角形判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
符号语言： ，∠A=∠A' △ABC∽△A'B'C'.
教师引导学生总结：定理2说明，如果把一个三角形的两边放大或缩小相同的倍数，同时它们的夹角保持不变，得到的三角形与原三角形相似，即三角形的形状由两边的比及它们的夹角唯一确定.
设计意图：学生动手操作、与同学合作交流，学生在自主探究过程中，再次应用巩固了判定定理1的辅助线添加方法和证明思路，加深对转化思想的理解，进一步发展了学生的推理能力.
问题7 两边分别成比例且其中一边的对角相等的两个三角形相似吗？试着画一画.
师生活动：教师引导学生类比与全等三角形中的结论进行画图举反例并归纳得到，两边分别成比例且其中一边的对角相等的两个三角形不一定相似.
设计意图：问题的设置是的相似判定的探究过程更加完备，
利用画反例，让学生直观、深刻的理解“两边及一边对角”的不
一定成立，体会数学的严谨性，发展学生的几何直观与空间观念.
辨别应用，巩固新知
例3 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.
（1）∠A=50°，∠B=60°；∠B'=60°，∠C'=70°.
（2）∠A=120°，AB=7，AC=14；∠A'=120°，A'B'=3，A'C'=6.
解：（1）∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠C=180°-（∠A+∠B）=70°. ∴∠C=∠C'.
又∠B=∠B'=60°，
∴△ABC∽△A'B'C'.
（2）∵ =，=， ∴.
又∵∠A=∠A'， ∴△ABC∽△A'B'C'.
例4 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB,垂足为D. 求AD的长.
解：∵ED⊥AB，∴ ∠EDA=90°.
又∠C=90°，∠A=∠A, ∴△AED∽△ABC.
∴= , ∴AD===4.
练习
1.图中的两个三角形是否相似？为什么？
（第1题）
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，求证：
(1)△ACD∽△ABC；(2)△CBD∽△ABC.
3. 如图，△ABC的三个顶点都在小正方形组成的网格的格点上，画出一个顶点在网格格点上的△A'B'C'，使得△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'与△ABC的相似比为2. 画图的依据是什么？
设计意图：从例题到练习的三道题目的设置循序渐进，给各类学生都提供了思考的空间，旨在让学生应用相似三角形的判定定理1,2的同时，加深对判定定理的理解，发展学生的应用意识.
四、回顾小结，概括提升
回顾本节课的学习，回答下列问题：
你得到了哪些三角形相似的简单判定方法？
你认为证明两个三角形相似的思路是什么？
师生活动：学生相互补充回答，梳理本节课的知识及研究思路与方法.
设计意图：梳理三角形相似的简便判定方法的知识及研究方法、研究思路，将本节课的研究思路、方法与判定全等三角形的研究思路、方法进行比较，进一步体会类比思想，积累数学活动经验，发展应用意识.