10.3.2 随机模拟 课件（共20张PPT）

随机模拟
用频率估计概率，需要做大量的重复试验. 有没有其他方法可以替代试验呢?
我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数. 实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.
随机模拟
由试验产生的随机数：
例如我们要产生0~9之间的整数随机数，像彩票摇奖那样，把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码称为随机数.
计算机产生的随机数：
利用计算机产生随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性，因此我们把利用计算机产生的随机数称为伪随机数.
例如，对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{0，1} 的随机数，用0 表示反面朝上，用1表示正面朝上 . 这样不断产生0、1两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验.
在电子表格软件中RANDBETWEEN（1，n）函数表示产生于1~n范围内的整数随机数.
随机模拟
又如，一个袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色
不同外没有其他差别 . 对于从袋中摸出一个球的试验，我们可
以让计算器或计算机产生取值于集合{1，2，3，4，5}的随机数，
用1，2表示红球，用3，4，5表示白球. 这样不断产生1～5之
间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验.
下表是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果，其中n为试验次数，nA为摸到红球的频数，fn(A)为摸到红球的频率.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}n
10
20
50
100
150
200
250
300
nA
6
7
20
45
66
77
104
116
fn(A)
0.6
0.35
0.4
0.45
0.44
0.385
0.416
0.39
画出频率折线图，
从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4.
随机模拟
我们利用随机模拟
解决问题的方法叫做
蒙特卡洛方法。
例1 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月，二月，…，十二
月是等可能的. 设事件A=“至少有两人出生月份相同”, 设计一种试验方法, 模拟20次, 估计
事件A发生的概率.
解：方法1 根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，
所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验.
可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号为1, 2, …, 12的12个球，
这些球除编号外没有什么差别. 有放回地随机从袋中摸6次球，得到
6个数代表 6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验 . 如果这6
个数中至少有2个相同，表示事件A发生了. 重复以上模拟试验20次，
就可以统计出事件A发生的频率.
随机模拟
例1 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月，二月，…，十二
月是等可能的. 设事件A=“至少有两人出生月份相同”, 设计一种试验方法, 模拟20次, 估计
事件A发生的概率.
随机模拟
方法2 利用电子表格软件模拟试验. 在A1、B1、C1、D1、E1、F1单元格分别输人
“=RANDBETWEEN (1 , 12)”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成
一次模拟试验 . 选中A1、B1、C1、D1、E1、F1单元格，将鼠标指向右下
角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行，相当于做20次重复试验 . 统计
其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值.
右表所示是20次模拟试验的结果. 事件A发生了16次，事件A的概率估计值为0.8，与事件A的概率(约0.78)相差不大.
2
4
7
5
12
11
8
1
3
5
12
6
8
10
11
9
7
2
3
12
10
7
3
10
6
12
6
12
11
8
10
12
6
12
3
11
9
7
4
7
10
10
1
10
4
9
3
10
8
2
9
12
8
11
4
6
1
11
1
10
10
7
3
2
12
3
9
8
10
7
6
7
9
3
2
10
11
6
6
7
7
1
10
9
9
8
6
8
10
11
1
6
9
12
4
7
6
9
8
11
4
8
10
8
3
5
10
11
6
7
3
9
4
4
10
12
12
4
1
3
随机模拟
至少有两人出生月份相同
例2 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛 . 假设每局比赛甲获胜的概
率为0.6，乙获胜的概率为0.4 . 利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.
分析: 奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制，甲获得冠军的结果可能是2:0或2:1 .
显然，甲连胜2局或在前两局中输一局，并赢得第三局的概率，与打满三局，甲胜2局或3局的概率相同. 每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛所有可能结果有8中，但是每个结果不是等可能的，因此不是古典概率，可以用计算机模拟比赛结果.
例如，甲连胜2局(相当于连胜3局)的概率为0.6×0.6×0.6，，甲胜第1局和第3局的概率为0.6×0.4×0.6. 这两个结果不是等可能的.
随机模拟
例2 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛 . 假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4 . 利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.
随机模拟
解: 设事件A=“甲获得冠军”，事件B=“单局比赛甲胜”，则P(B)=0.6.
用计算器或计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1、2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6 . 由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组 . 例如，产生20组随机数:
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
相当于做了20次重复试验 . 其中事件A发生了13次，用频率估计事件A的概率的近似为????????????????=0.65.
?
用随机模拟估计概率
例3 一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，
若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.
解　用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数，
因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如下，产生30组随机数：
666　743　671　464　571　561　156　567　732　375
716　116　614　445　117　573　552　274　114　662
237　456　732　353　156　632　171　243　547　721
就相当于做了30次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二
次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567,117,237和547，共4组，
用随机数模拟法求事件概率的方法
用随机模拟估计概率
在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果.
(1)试验的基本结果是等可能的时，样本空间即为产生随机数的范围，每个随机数代
表一个样本点.
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及
总个数.
【练1】某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率.
解 利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0
表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，
用随机模拟估计概率
因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组，例如5727,7895,0123，…，4560,4581,4698，
共100组这样的随机数，若所有数组中没有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一个数的数组的
个数为n，
1.用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于 ( )
A.产生的随机数的大小
B.产生的随机数的个数
C.随机数对应的结果
D.产生随机数的方法
解　随机数容量越大，所估计的概率越接近实际数.
课堂检测
B
2．掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数
值随机数中，每几个数字为一组 (　　)
A．1　　　　 B．2　　　 　C．9　　　　 D．12
3.下列不能产生随机数的是 (　　)
A．抛掷骰子试验
B．抛硬币
C．计算器
D．正方体的六个面上分别写有1, 2, 2, 3, 4, 5，抛掷该正方体
B
D
课堂检测
4．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%. 现采用随机模拟的方法估计该运
动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机
数，指定1, 2, 3, 4表示命中，5, 6, 7, 8, 9, 0表示未命中；再以每三个随机数为一
组代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907　966　191　925　271　932　812　458　569　683
431　257　393　027　556　488　730　113　537　989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(　　)
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
B
课堂检测
5.(多选)下列说法中正确的有 ( )
A.做9次抛掷一枚质地均匀的硬币的试验，结果有5次出现正面，所以出现正面的概率是
B.盒子中装有大小和形状相同的3个红球，3个黑球，2个白球，每种颜色的球被摸到的可能性相同
C.从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取得的数小于0和不小于0的可能性不相同
D.设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，次品的件数可能不是10件
课堂检测
在B中，摸到白球的概率要小于摸到红球或黑球的概率，B错误；
在C中，取得的数小于0的概率大于不小于0的概率，C正确；
在D中，任取100件产品，次品的件数是随机的，D正确. 故选C，D.
C D
5. 种植某种树苗，成活率为0.9，请采用随机模拟的方法估计该树苗种植5棵恰好
4棵成活的概率 . 写出模拟试验的过程 , 并求出所求概率．
解：先由计算机随机函数RANDBETWEEN(0, 9) 产生0到9之间整数值的随机数，指定1至9的数字代表成活,0代表不成活,再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果.例如:如下30组随机数：
69801　66097　77124　22961　74235　31516 29747　24945　57558　65258　74130　23224 37445　 44344　33315　27120　21782　58555 61017　45241　44134　 92201　70362　83005 94976　56173　34783　16624　30344　01117
这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为0.3.
课堂检测
6．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举
行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算机生成
0到9之间整数值的随机数，用0, 1, 2, 3, 4, 5表示甲获胜；6, 7, 8, 9表示乙获胜，
这样能体现甲获胜的概率为0.6 . 因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为
一组．例如，产生30组随机数：
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162
332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
据此估计乙获胜的概率约为 ．
0. 367
课堂检测
1．随机模拟试验的步骤：
2．计算器和计算机产生随机数的方法：
课堂小结和作业
(1)设计概率模型；
(2)进行模拟试验；
(3)统计试验结果．
(1)构建模拟试验产生随机数
(2)用计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)，
可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．
课本P257 练习 1,2,3
作业：