云南省昆明市第八中学特色级部2024-2025学年高二上学期开学考数学试卷（PDF版，无答案）

昆八中特色级部 2026 届开学考数学
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设向量 a

(1, 0) 1 1， b ( , ) ，则下列结论正确的是
2 2

A. | a | b B. a b 2 C. a // b D. a b与b垂直
2
2.已知 m，n为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列命题正确的是
A. 若m // ， n ，则m // n B. 若m ， n ，且m n，则
C. 若 // ， n ，则 n // D. 若 ，m ，则m
3.若数据 x1 ， x2 ， ， x10 的平均数为 3，方差为 4，则下列说法错误的是
A. 数据 4x1 1， 4x2 1， ， 4x10 1的平均数为 13
B. 数据 3x1 ，3x2 ， ，3x10 的方差为 12
10
C. xi 30
i 1
10
D. x2i 130
i 1
sin 4 24.已知 ，则 cos
4
2


3 5 3
21 17 17 21
A. B. C. D.
25 25 25 25
5. ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，若 (sin B sin C)2 sin2 (B C) 3sin Bsin C，且 a 2，则
ABC 的面积的最大值是
A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 4
2
4
6.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，三棱锥 A1 BC1D内切球的体积为 ，则正方体外接球的表面积为3
A. 24 B. 36 C. 48 D. 96
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4 1
7.已知 a b 0 ，则 a 的最小值为
a b a b
A. 3 10 B. 4 C. 2 3 D. 3 2
2
8.设函数 f (x) 的定义域为 R， f (x 1) 为奇函数， f (x 2) 为偶函数，当 x [1, 2] 时， f (x) ax2 b.若
f (0) f (3) 6 ，则 f (
9 )
2
9
3
7 5
A. B. C. D.
4 2 4 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2
9.下面是关于复数 z (i为虚数单位 )的命题，其中真命题为
1 i2023
A. z的虚部为 i B. z在复平面内对应的点在第二象限
C. z的共轭复数为 1 i D. 若 z0 z 1，则 z0 的最大值是 2 1
10.下列命题正确的是
A. 对于事件 A，B，若 A B，则 P A B P A P B
B. 若三个事件 A，B，C两两互斥，则 P A B C P A P B P C
C. 若 P A 0 ， P B 0 ，则事件 A，B相互独立与互斥不会同时发生
1 3 1 9
D. 若事件 A，B满足 P A ， P B ， P A B ，则 P AB AB
2 5 2 10

11.已知函数 f (x) tan( x )( 0) ，则下列说法正确的是
6
1
A. 若 f (x) 的最小正周期是 2 ，则
2

B. 当 1时， f (x) 的对称中心为 (k , 0)(k Z )
6
2
C. 当 2 时， f ( ) f ( )
12 5
f (x) ( 2D. 若 在区间 , ) 上单调递增，则0 w
3 3
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12 .若向量 a， b满足 | a | | b | ， | a 2b | 3 | a | ，则向量 a，b的夹角为__________.
13.意大利画家达 芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是
什么 这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为
ex e x ex e x f (x) sinh xcosh x ，相应的双曲正弦函数的表达式为 sinh x .设函数 ，若实数 m
2 2 cosh x
满足不等式 f (2m 3) f ( m2 ) 0 ，则 m的取值范围为__________.
14.如图，四棱锥 S ABCD 中，底面是边长为 2 的正方形， SCD是等边三角形，平面 SCD 平面
ABCD,M ,N ,P分别为棱 BC，CD，DA的中点，Q为 SCD及其内部的动点，满足 PQ // 平面 AMS，给出下
列四个结论：
① 直线 SA与平面 ABCD所成角为 45 ；
② 二面角 S AB N 2 7的余弦值为 ；
7
③ 点 Q到平面 AMS的距离为定值；
1
④ 线段 NQ长度的取值范围是 ,1 2
其中所有正确结论的序号是____________
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (本小题 13 分 ) ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 2cos A(bcosC c cosB) 3a
(1)求角 A；
(2)若 a 1， ABC 的周长为 5 1，求 ABC 的面积．
16. (本小题 15 分 ) 2023 年 10 月 22 日，汉江生态城 2023 襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服
务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机
抽取了 100 名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 45,55 , 第二组 55,65 , 第三组 65,75 , 第四组
75,85 ,第五组 85,95 ，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为 0.3，第一组和
第五组的频率相同．
(1)估计这 100 名候选者面试成绩的平均数和第 25 百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取 20 人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者
的面试成绩的平均数和方差分别为 62 和 40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 80 和 70，据
此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
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17. (本小题 15 分 )如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为菱形，且 ABC 60 ，侧棱 PA 底面 ABCD，
PA AB 4 ，M为侧棱 PB上一点．
(1)当 M为 PB中点时，求 MPD的面积；
(2)试确定点 M 8 91的位置，使平面 MCD与平面 PCD夹角的余弦值为 .
91
18 ( 1 3. 本小题 17 分 )已知 f (x) sin (x )cos x sin (2x ) .
3 2 3 4
(1)求 f (x) 的单调递增区间；
(2) 3 若 g(x) f (1 x ) f (x ) cos x， x [ , ] ，求满足不等式 g(x) 1的 x的取值范围.
2 6 6 4 4
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19. (本小题 17 分 )已知数据 x1 ，x2 ， xn的平均数为 x ，方差为 s2 x ，数据 y1 ，y2 ， ，yn 的平均数为 y ，
2
方差为 sy .类似平面向量，定义 n维向量OP (x1 x , x2 x , , xn x ) ，OQ (y1 y , y2 y , , yn y ) 的模
n n n
|OP | (x 2 2i x ) ，|OQ | (y i y) ，数量积OP OQ (xi x )(yi y).若向量OP与OQ 所成角为 ，
i 1 i 1 i 1

有恒等式OP OQ |OP ||OQ | cos ，其中 n N * ， n 2

(1)当 n 2 时，若向量OP ( 3, 4) ，OQ (5, 12)，求OP与OQ所成角的余弦值;
(2)当 n 3时，证明：
① 3s2 x2 2 2x 1 x2 x3 3x
2;

②OP OQ x1y1 x2y2 x3y3 3xy ;
n n
(3) 当 n N * ， n 2 时，探究 (OP OQ)2 2 2与 ( xi nx )( y2i ny 2 )的大小关系，并证明.
i 1 i 1
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