高中数学选择性必修二 第四章 数列 单元测试（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学选择性必修二 第四章 数列 单元测试（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 32.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-08 21:58:39 | ||
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文档简介
高中数学选择性必修二数列
一、单选题
1．已知是等比数列，，则公比q=（ ）
A． B．－2 C．2 D．
2．已知各项均为正数的等比数列 的前3项和为14， ，则数列 的公比等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则.例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至. 已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为（ ）
A．3.4尺 B．4.36尺 C．5.32尺 D．21.64尺
4．在{}中，，，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
5．已知数列是公差为d的等差数列，且各项均为正整数，如果，那么的最小值为（ ）
A．13 B．14 C．17 D．18
6．在数列{an}中，已知对任意正整数n，有a1+a2十…十an=2n—1，则 等于（ ）
A．(2n—1)2 B． (2n一1)2 C．4"—1 D． (4n一1)
7．已知 是首项为 的正项等比数列， 是其前 项和，且 ，则数列 的前 项和为（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
8．已知数列 满足 (n∈N*)，且对任意n∈N*都有 ，则t的取值范围为（ ）
A．（ ，+∞） B．[ ，+∞）
C．（ ，+∞） D．[ ，+∞）
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若的最小正周期为，则
B．在中，角的对边分别为，则“”是“”的充要条件
C．三个不全相等的实数，，依次成等差数列，则，，可能成等差数列
D．的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则的面积为
10．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1， ，则下列说法中正确的有（ ）
A．a4＝2 B．{an}是周期数列
C．a2022＝2 D．S18＝21
11．等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A．若，则 B．若，则是中最大的项
C．若，则 D．若，则
12．设函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A．当 ， 时， 为奇函数
B．当 ， 时， 的一个对称中心为
C．若关于 的方程 的正实根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为
D．当 ， 时， 在区间 上恰有4个零点
三、填空题
13．已知公差不为 的等差数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，则 ．
14．设数列{an}的前n项和Sn=n2+n，则a10的值为 ．
15．设有穷数列 的前 项和为 ，令 ，称 为数列 ， ，…， 的“凯森和”，已知数列 ， ，…， 的“凯森和”为2022，那么数列-2， ， ，…， 的“凯森和”为 ．
16．韩信是我国汉代能征善战、智勇双全的一员大将．历史上流传着一个关于他点兵的奇特方法．有一天，韩信问有多少士兵在操练，部将回答：三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩四，韩信很快就知道了士兵的人数．设有m个士兵，若，符合条件的m共有 个．
四、解答题
17．已知数列 是一个等差数列，且 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）若 的前 项和为 ，求 和 的值.
18．已知数列 ， ；
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式；
19．在① 成等差数列；② 成等比数列；③ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
已知 的内角 所对的边分别是 ，面积为S．若_________，且 ，试判断 的形状．
20．已知各项均为正数的等比数列 满足： ， .
（1）设 ，求证：数列 是等差数列；
（2）设数列 的前n项和为 ，若 ，求n的最小值.
21．已知数列 是等差数列，数列 是各项均为正数的等比数列，且 ， ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和.
22．已知数列 ，如果存在常数p，使得对任意正整数n，总有 成立，那么我们称数列 为“p-摆动数列”．
（1）设 ， ， ，判断 、 是否为“p-摆动数列”，并说明理由；
（2）已知“p-摆动数列” 满足 ， ，求常数p的值；
（3）设 ，且数列 的前n项和为 ，求证：数列 是“p-摆动数列”，并求出常数p的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】A,B,D
10．【答案】B,C,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】A,D
13．【答案】4
14．【答案】20
15．【答案】2019
16．【答案】10
17．【答案】（1）设等差数列 的公差为 ，由 ， ，得 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）得， ，
所以 ， .
18．【答案】（1）证明：因为
所以 ，
所以数列 是等比数列.
（2）解：由（1）得：数列 的首项为 ，公比为3，
所以 .
19．【答案】解：若选①
由 可得： ，
所以 ，又 ，所以 ；
由余弦定理可得：
又 成等差数列，所以
即 ，
即 ，
可得
所以 为等边三角形．
若选②
由 可得： ，
所以 ，又 ，所以 ；
由余弦定理可得： ，
又 成等比数列，所以
即 ，
所以 ，所以
所以 为等边三角形．
若选③
由 可得： ，
所以 ，又 ，所以 ；
又 ，所以
即
可得： ，所以 ，
所以
所以 为直角三角形．
20．【答案】（1）证明：设等比数列 的公比为q，
由已知得 .
数列 是各项均为正数的等比数列，
， ， .
又 ，
，
数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
.
（2）
，
.
，即 ，
，即n的最小值为10.
21．【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，且 ，
依题意有 ，
由 ，又 ，
解得 ，
∴ ，
即 ，
；
（2）解：∵ ，
∴前 项和
.
∴前 项和 ， .
22．【答案】解：（1）假设数列 是“p-摆动数列”，
即存在常数p，总有 对任意 成立，
不妨取 时，则 ；取 时，则 ，显然常数p不存在，
所以数列 不是“p-摆动数列”
由 ，于是 对任意 成立，其中 ．
所以数列 是“p-摆动数列”．
（2）由数列 为“p-摆动数列”，又 ，
所以 ，即存在常数 ，使对任意 ，总有 成立，及 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
同理因为 ，所以 ．所以 ，即 ，
解得 ，即 ．
同理 ，解得 ，即 ．
综上 ．
（3）证明：由 ， ．
当n为偶数时， ；
当n为奇数时， ．
所以， ．
显然存在 ，使对任意正整数n，总有 成立，
所以数列 是“p-摆动数列”．
当n为奇数时，因为 ， 单调递减，所以 ，只要 即可．
当n为偶数时， 单调递增， ，只要 即可．
综上， ，所以p的取值范围是 ．
1 / 1
一、单选题
1．已知是等比数列，，则公比q=（ ）
A． B．－2 C．2 D．
2．已知各项均为正数的等比数列 的前3项和为14， ，则数列 的公比等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则.例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至. 已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为（ ）
A．3.4尺 B．4.36尺 C．5.32尺 D．21.64尺
4．在{}中，，，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
5．已知数列是公差为d的等差数列，且各项均为正整数，如果，那么的最小值为（ ）
A．13 B．14 C．17 D．18
6．在数列{an}中，已知对任意正整数n，有a1+a2十…十an=2n—1，则 等于（ ）
A．(2n—1)2 B． (2n一1)2 C．4"—1 D． (4n一1)
7．已知 是首项为 的正项等比数列， 是其前 项和，且 ，则数列 的前 项和为（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
8．已知数列 满足 (n∈N*)，且对任意n∈N*都有 ，则t的取值范围为（ ）
A．（ ，+∞） B．[ ，+∞）
C．（ ，+∞） D．[ ，+∞）
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若的最小正周期为，则
B．在中，角的对边分别为，则“”是“”的充要条件
C．三个不全相等的实数，，依次成等差数列，则，，可能成等差数列
D．的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则的面积为
10．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1， ，则下列说法中正确的有（ ）
A．a4＝2 B．{an}是周期数列
C．a2022＝2 D．S18＝21
11．等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A．若，则 B．若，则是中最大的项
C．若，则 D．若，则
12．设函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A．当 ， 时， 为奇函数
B．当 ， 时， 的一个对称中心为
C．若关于 的方程 的正实根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为
D．当 ， 时， 在区间 上恰有4个零点
三、填空题
13．已知公差不为 的等差数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，则 ．
14．设数列{an}的前n项和Sn=n2+n，则a10的值为 ．
15．设有穷数列 的前 项和为 ，令 ，称 为数列 ， ，…， 的“凯森和”，已知数列 ， ，…， 的“凯森和”为2022，那么数列-2， ， ，…， 的“凯森和”为 ．
16．韩信是我国汉代能征善战、智勇双全的一员大将．历史上流传着一个关于他点兵的奇特方法．有一天，韩信问有多少士兵在操练，部将回答：三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩四，韩信很快就知道了士兵的人数．设有m个士兵，若，符合条件的m共有 个．
四、解答题
17．已知数列 是一个等差数列，且 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）若 的前 项和为 ，求 和 的值.
18．已知数列 ， ；
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式；
19．在① 成等差数列；② 成等比数列；③ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
已知 的内角 所对的边分别是 ，面积为S．若_________，且 ，试判断 的形状．
20．已知各项均为正数的等比数列 满足： ， .
（1）设 ，求证：数列 是等差数列；
（2）设数列 的前n项和为 ，若 ，求n的最小值.
21．已知数列 是等差数列，数列 是各项均为正数的等比数列，且 ， ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和.
22．已知数列 ，如果存在常数p，使得对任意正整数n，总有 成立，那么我们称数列 为“p-摆动数列”．
（1）设 ， ， ，判断 、 是否为“p-摆动数列”，并说明理由；
（2）已知“p-摆动数列” 满足 ， ，求常数p的值；
（3）设 ，且数列 的前n项和为 ，求证：数列 是“p-摆动数列”，并求出常数p的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】A,B,D
10．【答案】B,C,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】A,D
13．【答案】4
14．【答案】20
15．【答案】2019
16．【答案】10
17．【答案】（1）设等差数列 的公差为 ，由 ， ，得 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）得， ，
所以 ， .
18．【答案】（1）证明：因为
所以 ，
所以数列 是等比数列.
（2）解：由（1）得：数列 的首项为 ，公比为3，
所以 .
19．【答案】解：若选①
由 可得： ，
所以 ，又 ，所以 ；
由余弦定理可得：
又 成等差数列，所以
即 ，
即 ，
可得
所以 为等边三角形．
若选②
由 可得： ，
所以 ，又 ，所以 ；
由余弦定理可得： ，
又 成等比数列，所以
即 ，
所以 ，所以
所以 为等边三角形．
若选③
由 可得： ，
所以 ，又 ，所以 ；
又 ，所以
即
可得： ，所以 ，
所以
所以 为直角三角形．
20．【答案】（1）证明：设等比数列 的公比为q，
由已知得 .
数列 是各项均为正数的等比数列，
， ， .
又 ，
，
数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
.
（2）
，
.
，即 ，
，即n的最小值为10.
21．【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，且 ，
依题意有 ，
由 ，又 ，
解得 ，
∴ ，
即 ，
；
（2）解：∵ ，
∴前 项和
.
∴前 项和 ， .
22．【答案】解：（1）假设数列 是“p-摆动数列”，
即存在常数p，总有 对任意 成立，
不妨取 时，则 ；取 时，则 ，显然常数p不存在，
所以数列 不是“p-摆动数列”
由 ，于是 对任意 成立，其中 ．
所以数列 是“p-摆动数列”．
（2）由数列 为“p-摆动数列”，又 ，
所以 ，即存在常数 ，使对任意 ，总有 成立，及 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
同理因为 ，所以 ．所以 ，即 ，
解得 ，即 ．
同理 ，解得 ，即 ．
综上 ．
（3）证明：由 ， ．
当n为偶数时， ；
当n为奇数时， ．
所以， ．
显然存在 ，使对任意正整数n，总有 成立，
所以数列 是“p-摆动数列”．
当n为奇数时，因为 ， 单调递减，所以 ，只要 即可．
当n为偶数时， 单调递增， ，只要 即可．
综上， ，所以p的取值范围是 ．
1 / 1