人教版（2012）九年级数学上册21.2.2解一元二次方程公式法同步课堂分层练习【基础卷】（含解析）

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人教版（2012）九年级数学上册
21.2.2解一元二次方程公式法 同步课堂分层练习【基础卷】
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________
1．关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
2．有理数在数轴上的位置如图所示,则下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若＋(y＋1)2＝0，则x－y的值为(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．3
4．若方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
6．下列方程有实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．
8．若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值是（　　）
A． B． C． D．全体实数
9．下列方程，最适合用公式法求解的是（ ）
A． B．
C． D．
10．定义；如果一元二次方程(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“蜻蜓”方程．已知关于x的方程(a≠0)是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（ ）
A．a=c≠b B．a=b≠c C．b=c≠a D．a=b=c
11．方程的解是 ．
12．已知，，则的值 ．
13．若关于的一元二次方程的判别式的值为，则 ．
14．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
15．设、是方程的两个根，则 ．
16．已知方程至少有一个整数根，则整数a的值为 ．
17．一般地，形如 （是已知数）的分式方程有两个解，通常用， 表示．请你观察下列方程及其解的特征：
（1）的解为 ；
（2）的解为 ；
（3）的解为 ；
猜想：方程 的解为 ， ；
关于的方程 的解为 ； ．
18．已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程有两个相等的实数根，则a的值为 ；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为 ；
（3）若该方程没有实数根，则a的取值范围为 ；
（4）若该方程有实数根，则a的取值范围为 ．
19．已知关于的一元二次方程有解．
（1）当时，方程的解为 ；
（2）若m是该一元二次方程的一个根，令，则y的最大值和最小值的和为 ．
20．解方程：
(1) (2)．
21．已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根．
(1)当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
(2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
22．已知方程没有实数根，其中m是实数，试判断方程有无实数根．
23．2023年10月，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京召开，回顾了十年来共建“一带一路”取得的丰硕成果．为促进经济繁荣，某市大力推动贸易发展，2021年进出口贸易总额为60000亿元，2023年进出口贸易总额为86400亿元．若该市这两年进出口贸易总额的年平均增长率相同，求这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标与纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点都是和谐点．若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，求该二次函数表达式．
1．C
分析：先计算出一元二次方程根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．
详解：解：∵，
方程无实数根．
故选：C．
点睛：本题考查一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
2．D
分析：观察数轴可得-1详解：观察数轴可得-1∴，
即.
故选D.
点睛：本题考查了利用点在数轴上的位置确定式子的符号，根据点在数轴上的位置确定-13．C
分析：根据非负数的性质可求出x、y的值，将它们代入x-y中进行计算即可．
详解：解：由题意得，
x-1=0，y+1=0，
则x=1，y=-1，
则x-y=2．
故选C.
点睛：此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
4．C
分析：本题主要考查解一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．本题有两个相等的实数根，即，代入数值计算求解即可．
详解：解：∵该方程有两个相等实根，
∴，
解得；
故答案为：C．
5．C
分析：本题考查了一元二次方程的定义以及判别式的应用，根据关于的一元二次方程有实数根，得出，再解出的取值范围，即可作答．
详解：解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴
∴且
故选：C
6．B
分析：本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．根据判别式公式代入数据计算逐一判断即可．
详解：解：A、，方程无实数根，故不符合题意；
B、，方程有两个不相等的实数根，故符合题意；
C、，方程无实数根，故不符合题意；
D、，方程无实数根，故不符合题意；
故选：B．
7．A
分析：本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确当时，一元二次方程有两个相等的实数根．
详解：解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得，
故选：A．
8．A
分析：先把方程变形为，利用平方的意义得到，然后解不等式即可．
详解：解：∵，
∴，
∵方程有实数解，
∴，
解得，
即m的取值范围为．
故选：A．
点睛：此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1） 方程有两个不相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数根；（3） 方程没有实数根．
9．C
分析：本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．根据方程的特点分别判断即可．
详解：解：A、适合直接开平方法求解，故本选项不符合题意；
B、即适合直接开平方法求解，故本选项不符合题意；
C、适合用公式法求解，故本选项符合题意；
D、即，适合直接开平方法求解，故本选项不符合题意．
故选：C．
10．A
分析：由条件可知a+b+c=0，再根据方程根的判别式得到到b2-4ac=0，整理可得出结论．
详解：解：由条件可知a+b+c=0，
所以-b=a+c，
又因为方程有两个相等的实数根，
所以△=0，即b2-4ac=0，
所以（a+c）2-4ac=0，
整理可得（a-c）2=0，
所以a=c，
所以，a=c≠b
故选：A．
点睛：本题主要考查一元二次方程判别式与根的情况的判定，由条件到到知a+b+c=0和b2-4ac=0是解题的关键．
11．，
分析：系数化为1后，利用直接开平方法求解即可．
详解：解：，
∴，
解得：，，
故答案为：，．
点睛：本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是本题的关键．
12．或
分析：本题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握求根公式，并注意进行分类讨论．
详解：解：依题意得a，b是方程的解，
解得：，，
当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：或．
13．3
分析：本题考查了一元二次方程的判别式，熟练掌握判别式公式解题的关键．根据题意可知，，，，代入，即可解得值．
详解：解：根据题意可知，，，，
，
．
14．且
分析：本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知“一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键．
详解：解：∵方程有两个实数根，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
15．
分析：本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．首先根据根与系数关系得到，之后将代入方程中得到，变形为，两式相加即可得到答案．
详解：解：、是方程的两个根，
，
．
故答案为：．
16．1或9
分析：本题主要考查了解一元二次方程，先判断出，再解方程得到 ，根据 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．把它的两个根解出来，判断a的值即可．
详解：解：当时，则，等式不成立；
∴，
∴方程是一元二次方程，
∴，
∵方程至少有一个整数根，
∴必须是整数，
∴必须是整数，
∴或，
∴或
故答案为：1或9．
17．
分析：本题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键．仿照方程解方程，归纳总结得到结果，方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．
详解：解：猜想方程，即方程的解是，，
把方程变形得：，
或
，，
故答案为：，，
18． 4 且 且
分析：本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义进行求解作答即可．
详解：（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：4．
（2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，，
解得且，
∴a的取值范围为且，
故答案为：且．
（3）解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
（4）∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，，
解得且．
∴a的取值范围为且，
故答案为：且．
19． ， 2
分析：本题考查了直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）当时，则，再利用直接开平方法求解即可；
（2）根据原方程有解得出，将代入方程得出，从而得到，求出的最大值与最小值即可得解．
详解：解：（1）当时，则，
解得，，
故答案为：，；
（2）关于的一元二次方程有解，
，
得．
若是该一元二次方程的一个根，则，
得，
，
的最大值为4，
∴当取最大值时，取最大值，的最大值为．
∵的最小值为，
∴的最大值和最小值的和为，
故答案为：．
20．(1)
(2)
分析：本题考查的是用因式分解法和公式法解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和公式法是解答此题的关键
（1）直接利用公式法求出的值即可；
（2）先把原方程移项后进行因式分解，再求出的值即可；
详解：（1）解：
∴，
∴
∴
∴；
（2）解：，
，
，
∴
21．(1)
(2)5
分析：本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式以及根据系数的关系，解一元二次方程，综合运用各知识点是解答本题的关键．
（1）根据菱形的性质可知方程有两个相等的实数根，由根的判别式求出m，进而可求出方程的根；
（2）由的长为2，可知2是方程的一个根，代入方程求出m，根据根与系数的关系可求出平行四边形的周长．
详解：（1）解：∵平行四边形是菱形，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
当时，方程为，
解得，
即菱形的边长为；
（2）解：∵，的长是方程的两个实数根，的长为2，
∴，2是方程的一个根，
∴，
∴解得，
∴，
∴，
∴平行四边形的周长为5．
22．有两个不相等的实数根，见解析
分析：本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
详解：解：∵没有实数根，
∴，
即．
对于方程，
，
∴方程有两个不相等的实数根．
23．
分析：本题考查一元二次方程实际问题．根据题意设这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为，再根据题干信息列出方程并正确计算即为本题答案．
详解：解：设这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为，
∵2021年进出口贸易总额为60000亿元，2023年进出口贸易总额为86400亿元，
∴，解得：或（舍），
∴这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为，
24．
分析：设和谐点为，把代入得，则，所以，再把代入得，然后解关于、的方程组即可．
详解：解：设和谐点为，
把代入得，
整理得，
有且只有一个值，
，即，
把代入得，即，
把代入得，
解得，
，
此二次函数的解析式为．
点睛：本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式．把和谐点代入得到关于的方程有两相等的实数根是解题的关键．
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