2024-2025学年广西柳州三十五中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西柳州三十五中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.二次函数中，的取值范围是( )
A. B. C. D. 一切实数
3.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是( )
A. B. C. D.
4.一元二次方程的解为( )
A. B. ，
C. ， D.
5.已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A. B. C. D.
7.如图，是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D. 或
8.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是( )
A. B. C. D.
9.年月日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制每两支球队之间都进行一场比赛，如果比赛共进行了场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有支球队参加比赛，根据题意可列方程是( )
A. B. C. D.
10.如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为下列结论：
；
；
方程有两个不相等的实数根；
抛物线与轴的另一个交点是；
当时，则，其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
11.方程的解是______．
12.抛物线的顶点坐标为 ．
13.关于的一元二次方程的两根之和为______．
14.已知点，在二次函数的图象上，若，则______填“”、“”或“”．
15.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
16.代数学中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”小唐按此方法解关于的方程时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分的面积为，则该方程的正数解为______．
三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解下列方程：
；
；
；
．
18.本小题分
有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．
19.本小题分
已知抛物线．
求抛物线的对称轴；
将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值．
20.本小题分
已知关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围．
21.本小题分
“杭州亚运三人制篮球”赛将于月月日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服月份平均每天售出件，每件盈利元为了扩大销售、增加盈利，月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
若降价元，求平均每天的销售数量；
当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
22.本小题分
阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
已知关于的方程是常数是“邻根方程”，求的值．
23.本小题分
如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，其顶点为．
求抛物线的解析式．
求的面积．
点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标．
答案解析
1.【答案】
【解析】解：、是一元二次方程；
B、是一元一次方程；
C、是二元一次方程；
D、不是一元二次方程．
故选：．
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程逐项进行排查即可．
本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：函数是二次函数，
，
；
故选：．
二次函数的二次项系数不能等于零．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，明确二次函数的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：把代入方程得：，
解得：．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，，
故选：．
利用因式分解法解一元二次方程即可．
本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：当时，随增大而减小，
抛物线开口向上，
，
．
故选：．
根据二次函数性质，当时，随增大而减小可得，即可求解．
本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是掌握掌握二次函数的性质．
6.【答案】
【解析】解：、，方程有两个不相等的实数解；
B、，方程有两个不相等的实数解；
C、，方程有两个不相等的实数解；
D、，方程没有实数解．
故选：．
分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
7.【答案】
【解析】解：抛物线经过点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，
对应抛物线在轴上方，即在与之间．
．
故选：．
将一元二次不等式转化为通过图象求解．
本题考查二次函数和不等式，将不等式的解转化为抛物线在轴的上方是求解本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是，
依题意得：，
整理得：，
解得：不合题意，舍去，．
故选C．
9.【答案】
【解析】解：设一共有支球队参加比赛，由题意，得：；
故选：．
根据比赛采用单循环制每两支球队之间都进行一场比赛，比赛共进行了场，列出方程即可．
本题考查一元二次方程的实际应用，正确找到等量关系列出方程是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：因为抛物线对称轴是直线，则，，故正确，符合题意；
抛物线开口向下，故，
对称轴在轴右侧，故，
抛物线与轴交于正半轴，故，
，
故错误，不符合题意；
从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，正确，符合题意；
因为抛物线对称轴是：，，
所以抛物线与轴的另一个交点是，
故错误，不符合题意；
由图象得：当时，有，故正确，符合题意；
故正确的有：；
故选：．
11.【答案】
【解析】解：，
移项得：，
两边直接开平方得：，
故答案为：．
首先移项可得，再两边直接开平方即可．
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．
12.【答案】
【解析】解：顶点坐标是．
直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．
本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．
13.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：．
根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
本题主要考查了根与系数的关系．
14.【答案】
【解析】解：，
抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，
点，在二次函数的图象上，且，
．
故答案为：．
先得到抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质求解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
15.【答案】且
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，即，
解得且．
的取值范围为且．
故答案为：且．
根据一元二次方程的定义和的意义得到且，即，然后解不等式即可得到的取值范围．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
16.【答案】
【解析】解：，
阴影部分的面积为，
，
设，
则，
同理：先构造一个面积为的正方形，
再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，
得到大正方形的面积为，
则该方程的正数解为，
故答案为：．
根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积阴影部分的面积个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】解：，
，
解得：，；
，
，
，
，
；
，
，，，
，
，
；
，
，
，
解得：，．
【解析】因式分解法解方程即可；
因式分解法解方程即可；
公式法解方程即可；
因式分解法解方程即可．
本题考查解一元二次方程，熟练掌握解法和步骤，并灵活运用是解答的关键．
18.【答案】解：设每轮传染中平均每人传染了人，
依题意得：，
即，
解得：不符合题意舍去，，
答：每轮传染中平均每人传染了人．
【解析】设每轮传染中平均每人传染了人，由题意：有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有人感染了该种病毒，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19.【答案】解：，
对称轴为直线；
将该抛物线向右平移个单位长度，
新的抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：负值舍去．
【解析】将一般式转化为顶点式，即可得出结果；
根据平移规则，求出新的抛物线的解析式，将原点坐标代入求解即可．
本题考查二次函数的性质，二次函数图象的平移，正确记忆相关知识点是解题关键．
20.【答案】解：方程有实数根，
，
解得：．
故的取值范围是；
，是方程的两个实数根，
，，
，
，
解得，
由可得，
的取值范围是．
【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
根据根与系数的关系可得出、，由结合结论可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；根据根与系数的关系结合及，求出的取值范围．
21.【答案】解：平均每天的销售数量为：件，
答：平均每天的销售数量件；
设每件商品降价元，
根据题意，得：，
解得：，，
答：当每件商品降价元或元时，该商店每天销售利润为元．
【解析】利用平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可得出结论；
设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，利用总利润每件盈利平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，求解即可．
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解：，
，
解得：，，
，
故方程是“邻根方程”；
，
，
解得：，，
方程是常数是“邻根方程”，
，或．
【解析】因式分解法求出方程的两个根，进行判断即可；
因式分解求出方程的两个根，根据新定义求出的值即可．
本题考查解一元二次方程，解题的关键正确进行计算．
23.【答案】解：当时，，
当时，，
，，
由题意得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
由抛物线的顶点式得：，
设的解析式为：，
则，
解得：，
的解析式为：，
当时，，
解得：，
的面积为：；
设的解析式为：，
则：，
解得：，
的解析式为：，
点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴，
设点，
则，
，
当时，有最大值，为，
此时．
【解析】先求出、的坐标，再根据待定系数法求解；
根据三角形的面积公式求解；
先求出的解析式，再根据二次函数的性质求出的最大值，此时的值就是的横坐标，进而求出其纵坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法、三角形的面积公式解二次函数的性质是解题的关键．
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