辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高三上学期9月开学联考试题 数学（PDF版，含解析）

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辽宁省沈阳市郊联体 2024 年 9 月高三联考 数学
参考答案及解析
1．【答案】A
【解析】由题可知 A ( , 2)， B (0,3)，因此 A B (0,2) .
2．【答案】B
【解法】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.
【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“ x (0, ), ln x 8x 5”的否定是“ x (0, ), ln x 8x 5 ”.
故选：B.
3．【答案】A
*
【解析】对任意的m,n N ，都有 am n am an ，令m 1，可以得到 an 1 an a1，因此{an}是公差为 a1的
等差数列；若 an 2n 1
*
，则a2 1 a1 a2，故“对任意的m,n N ，都有 am n am an ”是“{an}是等差数列”
的充分不必要条件.
4．【答案】A
【解法】由三角函数图象的平移与伸缩变换求解即可.
【解析】 f x sin2x π的图象向左平移 个单位长度，
4
得到 y π sin2 x sin

2x
π
cos2x的图象，
4 2
再把横坐标缩短为原来的一半，得到 g x cos4x的图象.
故选：A.
5．【答案】B
【解法】根据已知公式及对数运算可得结果.
T
R
【解析】由题意，W TR 10 3W ，即 e 0 10 3，等号两边同时取自然对数得
T
R
lne ln10 3 T，即 R 3ln10，所以TR 3ln10 3 ln2 ln5 6.9 ．
故选：B．
6．【答案】C
答案第 1
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【解法】法一：由 an 1 an 2n 5 当 n 2时，an an 1 2 n 1 5，两式相减可证明， an 中奇数项成等差数列，
偶数项成等差数列，公差均为 2，由等差数列的前 n项和公式求解即可；法二：由题意可得，数列 a2n 1 a2n 是
以 7为首项，4为公差的等差数列，由等差数列的前 n项和公式求解即可.
【解析】法一：
an 1 an 2n 5①， 当 n 2时， an an 1 2 n 1 5②，
① ②得当 n 2时， an 1 an 1 2，
an 中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为 2.
a 1 n a n 11 ， 当 为奇数时， n a1 2 n；2
当 n为偶数时， an 2n 5 an 1 n 4 .
4 1 7 4 6 12
S .8 a1 a3 a5 a7 a2 a4 a6 a8 522 2
法二：
a a a1 a2 7n n 1 2n 5， an 2 an 3 2 n 2 5， ，
a数列 2n 1 a2n 是以 7为首项，4为公差的等差数列，
S8 a1 a2 a3 a4 a7 a8 4 7
4 3
4 52 .
2
故选：C.
7．【答案】C
【解析】令 x y 0，得到 f (0) f (0) f (0)，因此 f (0) 0，所以选项 A正确；
令 y x x x，得到0 2 f ( x) 2 f (x) f ( x) f (x)，即 x x ，所以选项 B正确；2 2
f (x y) f (x) f (y) f (x)
条件可以化为 x y x y ，记 g(x) x ，因此 g(x y) g(x) g(y)， g(x) x符合条件，2 2 2 2
从而 f (x) x 2x ，不是R 上的增函数，所以选项 C不正确；
x n, y 1 f (n 1) 2n f (1) 2 f (n) f (n 1) f (n) f (1) f (1) 1 f (n)令 ，得 ，即 n 1

n 1 ，又 1 ，所以 n 是首项2 2 2 2 2
1页，共 6页
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f (n)
为 1，公差为 1的等差数列， n 1 (n 1) 1 n，所以 D选项正确.2
8．【答案】A
【解法】进行合理换元和同构，转化为 g t et t的图象与直线 y 2 a有两个交点，转化为交点问题，再利用
导数研究函数的单调性、最值，最后得到参数的取值范围即可.
【解析】令 f x xex x lnx a 2 0，
即 xex x lnx ex lnx x lnx 2 a．
令 F x ex lnx x lnx ，定义域为 0, , y 2 a，
令 t x lnx，易知 t x 在 0, 上单调递增，且 t R．
所以 F x g t et t，
则函数 f x 有两个零点转化为函数 g t et t的图象与直线 y 2 a有两个交点．
则 g t et 1，当 t 0时， g t 0；当 t 0时， g t 0，
即 g t et t在 ,0 上单调递减，在 0, 上单调递增，
所以 g t g 0 e0 0 1，当 t 时， g t ；当 t 时， g t ，
则 y 2 a 1，解得 a 1，即实数 a的取值范围是 ,1 ．
故选：A．
9．【答案】BD
【解法】由 log
1
ab 1，分类讨论 0 a 1和 a 1时的情况可判断选项 A，B；取特殊值可判断选项 C；根据 y x x
的单调性可判断选项 D.
【解析】因为 logab 1，所以 logab logaa，
当 0 a 1时，解得 0 b a 1；当 a 1时，解得1 a b，选项 A 错误；
所以 a 1 b 1 0，即 ab 1 a b，选项 B 正确；
1 1
当 a 2,b 3时， a b ，选项 C 错误；
a b
答案第 2页
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0,1
因为 y x 1 在 上单调递减，在 1, 上单调递增，所以 a 1 b 1 ，选项 D 正确.
x a b
故选：BD.
10．【答案】AB
【解法】根据三角函数的图象及性质逐一判断即可.
A 2,T 5π π π 2π【解析】由题图得
2π
，又 >0，所以 2，选项 A 正确；
2 12 12 2 2| | T
即 f x 2sin 2x ，
f π π π π由 12
2sin 2，得 2kπ，k Z，
6 6 2
解得
2π
2kπ，k Z，
3
又 π π
2π
，所以 ，故 f x 2sin 2π
3
2x
3
，

f 4π 因为 2sin
2 4π 2π
0 ， 3 3 3
f x 4π所以函数 的图象关于点 ,0

对称，选项 B 正确；
3
2kπ π 2π 3π π 5π令 2x 2kπ ，k Z，解得 kπ x kπ ,k Z，
2 3 2 12 12
f x π 5π 故函数 的单调递减区间为 kπ ,kπ ,k Z，
12 12
f x 5π 则函数 在区间 2π, 上先单调递减再单调递增，选项 C 错误； 2
因为 f x 2sin 2 x 2π , 0，
3
由0 x π，得 2π 2 x 2π 2 π 2π ，
3 3 3
若函数 f x 0 在区间 0, π 上有且仅有两个零点和两个极值点，
则 5π 2 π 2π 3π，解得 11 7< < < < ，选项 D 错误．
2 3 12 6
故选：AB．
11．【答案】ABC
【解法】利用赋值法结合抽象函数的奇偶性、对称性、周期性进行计算，逐一判断即可.
【解析】因为 f x g 1 x 2，所以 f 1 x g x 2．
页，共 6页
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又因为 f x 3 g x 2，所以 f x 3 f 1 x ．
又 f 1 x f 1 x 0，则 f 1 x f x 3 0 ，
即 f x 2 f x ，所以 f x 4 f x ，故 f x 是周期为 4的周期函数．
因为 f x 3 g x 2，所以 g x 也是周期为 4的周期函数，选项 B 正确；
因为 f 1 x f 1 x 0，则 f x 2 f x ，即 f x f x ，
所以 f x f x ，所以 f x 为偶函数，选项 A 正确；
因为 f x 2 f x ，令 x 1，得 f 3 f 1 ，即 f 1 f 3 0，
令 x 2，得 f 4 f 2 ，即 f 2 f 4 0，
故 f 1 f 2 f 3 f 4 0 ，选项 C 正确；
由 g x 2 f x 3 ，
得 g 1 g 2 g 3 g 4 2 f 4 2 f 5 2 f 6 2 f 7
8 f 4 f 1 f 2 f 3 8，
20
所以 g n 5 g 1 g 2 g 3 g 4 40，选项 D 错误．
n 1
故选：ABC．
12．【答案】 1 （5分）
24
【解法】利用基本不等式可求得 ab的最大值.
2
【解析】因为正实数 a，b满足 2a 3b 1，则 ab 1 2a 3b 1 2a 3b 1 ，
6 6 2 24

2a 3b, a
1
, 1
当且仅当 时，即当 4 时，等号成立，故
ab的最大值为 .
2a 3b 1 1 24b
6
故答案为： 1 .
24
13．【答案】2（5分）
答案第 3页
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【解法】先根据题目条件以及集合中元素的互异性证明a 2，再验证 a 2满足条件即可.

【解析】因为 A B x N x 6 1, 2,3, 4,5 ，B A B，
所以 1,a 2,2a 1 1,2,3,4,5 ，
所以 a 2是整数，且1 2a 1 5，再由集合中元素的互异性知 2a 1 1， a 2 1,a 2 2a 1.
所以 a是整数，且 0 a 2，a 0， a 1，得 a 2 .
a 2 A 2,3,4,5 B 1,4,5 A B 1, 2,3, 4,5 x N x 6 当 时， ， ，故 ，满足条件.
故答案为： 2 .
14．【答案】 (0,e] （5分）
2x 1
【解析】设 g(a) ae ln(x m) (a 0)，
4a
则 g(a) ae2x ln(x m) 1 1 1 2 ae2x ln(x m) ex ln(x m)，当且仅当 ae2x 时取等号，
4a 4a 4a
故当 x 0 ex时， ln(x m) 0 恒成立.
设 h(x) ex ln(x m)(x 0) 1 1 1，则 h (x) ex ， h (x) 0单调递增，且 h (0) e 1 ，
x m m m
1
①若1 0，即m 1时，则 h (x)>h (0)，所以 h(x)在 (0, )上单调递增，
m
故只需 h(0) 0，即1 lnm 0，解得1 m e；
1
②若1 0，即 0 m 1时，
m
h(x) ex ln(x m) (x 1) (x m 1) 2 m 0 ，
即0 m 1时， h(x) 0恒成立.
综上，m的取值范围是 (0,e] .
15．【答案】（1） (0,1)（5分） （2） ( ,0)（8分）
3 2
【解析】解：（1）当a 1时， f (x) 2x 3x 1， （1分）
f (x) 6x2 6x 6x(x 1)， （2分）
页，共 6页
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由 f (x) 0解得 0 x 1， （4分）
所以函数 f (x)的单调递减区间为 (0,1) . （5分）
（2） f (x) 6x(x a)， f (x) 0时， x=0或 x=a . （6分）
①若 a 0，
当 x a或 x 0时， f (x) 0，
当 a x 0时， f (x) 0 ,
因此 x 0时，函数 f (x)取极小值； （8分）
②若 a 0，
当 x 0或 x 0时， f (x) 0 ,
因此 x 0不是函数 f (x)的极值点； （10分）
③若 a 0，
当 x 0或 x a时， f (x) 0，
当0 x a时， f (x) 0 ,
因此 x 0时，函数 f (x)取极大值. （12分）
综上，a的取值范围是 ( ,0) . （13分）
5 k
16．【答案】（1） x (k Z) （7分） （2） 7 24 3 （8分）
12 2 50
2 025π
【解析】解：（1） f x 2 3cos2 x
+2sin x 2 024π cosx 3，
2
2 3 sin2 x 2sin x cos x 3 2sin x cos x 3 1 2sin2 x ， （2分）
sin 2x 3 cos 2x 2sin 2x
π
， （5分）
3
2x π π由 kπ(k 5 k Z)，得曲线 y f x 的对称轴为 x (k Z) . （7分）3 2 12 2
f m π 14（2）由题意可得 ，即 sin

2m
2π 7 ， （8分）
6 25 3 25
答案第 4页
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m 2 , 5 2m 2π 2 2π又 ，则 , ，则 cos 2m
0， （10分）
3 6 3 3 3
cos 2m 2π 1 sin 2 2m 2π 24所以 ， （12分）
3 3 25
故
sin2m sin 2m 2π 2π 2π 2π 2π 2π 3
sin 2m cos cos 2m sin
3 3 3 3 3
7 1 24 3 7 24 3 25 2
25
. （15分）
2 50
17 19
17．【答案】（1）证明见解析 （6分） （2） （9分）
76
【解析】（1）证明：因为点 E ,F,G分别为棱 AA1， A1C，BB1的中点，
连接 EF，EG，则 EF∥AC，EG∥AB， （1分）
又因为 EF 平面 ABC AC 平面 ABC
， ，
所以 EF∥平面 ABC，
同理可得 EG∥平面 ABC， （3分）
因为 EF∩EG=E，EF 平面 EFG EG 平面 EFG
， ，
所以平面 EFG∥平面 ABC， （5分）
因为 FG 平面 EFG
，
所以 FG∥平面 ABC. （6分）
（2）解：侧面 BB1C1C 是矩形，所以 BC BB1，
又因为平面 BB1C1C 平面 AA1B1B，平面 BB1C1C 平面 AA1B1B BB1，
所以 BC 平面 AA1B1B， （7分）
又 BE 平面 AA1B1B，因此 BC BE .
在菱形 AA1B1B中， BAA1 60 ，因此△AA1B是等边三角形，又 E是 AA1的中点，所以 BE AA1，从而得
页，共 6页
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BE BB1 . （8分）
如图，以 B为坐标原点， BE,BB1,BC 所在直线分别为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系.
因为 AB 2BC 2，所以 BE AB sin 60 3，
因此 B1(0, 2,0), A1( 3,1,0),E( 3,0,0),C(0,0,1)，

所以 B1C (0, 2,1),B1E ( 3, 2,0) , B1A1 ( 3, 1,0)， （10分）
设平面 EB1C 的法向量为m (x1, y1, z1)，

由m B1C，得 2y1 z1 0，
2 3
由m B1E，得 3x1 2y1 0，令 y1 1，得m ,1, 2 ， （11分）
3
设平面 A1B1C的法向量为n (x2 , y2 , z2 )，

由n B1C，得 2y2 z2 0，
3
由n B1A1 ，得 3x2 y2 0，令 y2 1，得n ,1, 2 ， （12分）
3


2
m n 1 4cos m,n 3 17 19 . （15分）
|m | | n | 19 16 76

3 3
17 19
所以二面角 A1 B1C E 的余弦值为 .76
答案第 5页
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18．【答案】（1） an n（5分） （2）证明见解析 （4分） （3）证明见解析（8分）
【解析】（1）解：由题意，计算得 a3 3， （1分）
a 2 2由 nan 2 an 1 1，可得 an 1an 3 an 2 1，
2 2
相减可知 anan 2 an 2 an 1an 3 an 1，
a a a a
整理可得 n n 2 n 1 n 3 ， （3分）
an 1 an 2
a a a
所以 n n 2 n 1
an 3 a1 a3 1 3 为定值，定值为 2 {an}为等差数列，故 an n . （5分）an 1 an 2 a2 2
1
（2）证明：由（1）得 an n，所以bn n2
（6分）
，
T b 1 1n 1 b2 bn 1 2 2 ，2 n

n n n n
故Tn 1 1 1 1 1 2 1 5i2 1 2 1 1 1 . （9分）i 1 i 2 i i 2 i 1 i 1 i 2 i
1 i 1 1 3 n 3
2 2 2 2 2
（3）证明：
n 1 1 nS 1 1 1
n 1
n a a
, （11分）
k 0 3k 1 3k 2 k 0 (3k 1)(3k 2) 1 2 4 5

k 2 (3k 1)(3k 2)
因为3k(3k 3) (3k 1)(3k 2) , （13分）
1 1 n 1 1 1 nS 1 1 1所以 n 1 2 4 5 k 2 3k(3k 3) 2 20 k 2 9 k k 1
1 1 1 1 1 1 1 1 109 110 11 . （17分）2 20 9 2 n 1 2 20 18 180 180 18
另解：
n n
S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 11n 1 2 k 1 3k(3k 3) 2 k 1 9 k k 1 2 9 n 1 2 9 n 1 18 .
19．【答案】（1）证明见解析（3分） （2）数列 bn 是“ B(n)控制数列”，理由见解析 （5分）
页，共 6页
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（3）证明见解析（9分）
【解析】（1）证明：不妨设等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d ，前 n项和为 Sn，
n
S na n 1 d d 2 d 则 n 1 n 2 2 a1 n ， （1分） 2
p d取 ， q d a1 ， r 0，则 Sn A n ，即存在 A x ，使得等差数列 an 是“ A(n)控制数列”得证.2 2
（3分）
（2）解：数列 bn 是“B(n)控制数列”，理由如下： （4分）
令 g(x) ln x 1 x 1， g ' x 1， 0 x 1时， g ' x 0； x 1时， g ' x 0，故 g(x)在 0,1 上单
x
调递增，在 1, 上单调递减. g x ≤ g 1 0，即 ln x≤ x 1， x 1时取等号. （5分）
记数列 bn 的前 n项和为Wn (n> 2)，
n n
n 2 n 1则Wn ln1 ln 2

ln k ln1 ln 2 k 1 ln 2 B n ，即数列 b2 n 是“ B(n)控制k 3 k 3
数列”. （8分）
a2 1 a2 1
（3 2 n）证明：要证数列 cn 是“ 2 特控数列”，即证 a 1 a 1 a 1 2 ，a a 1 a a 1
2
因为0 a 5 1 2 a 1，所以 a a 1 0， 2 0，2 a a 1
2 n 2
对 a 1 a2 a 1 a 1 1 an 1 k2 两边取对数，有 ln a 1 ln ， （9分）a a 1 2k 1 a a 1
n 2 n 2
即证 ln ak 1 ln a 1 k2 ，即证 ln a 1 ln a 1 ln
a 1
， （11分）
k 1 a a 1 k 2 a2 a 1
0 5 1由（2）知当 x 时， ln x x 1，
2
n a2 1 an 1 2
则当 n 2时，有 ln ak 1 a 2 a3 … an a ， （13分）
k 2 1 a 1 a
答案第 6页
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2 2
ln a 1 a ln a 1 a
2 a 1
则只需证 2 ，即证 ln ，1 a a a 1 1 a a2 a 1
x2m x x 1 5 1 x
3 2 x
令 ln 2 ，0< x< ，则m ' x 0 ， （16分）1 x x x 1 2 x2 x 1 x 1 2
2 2
m x m 0 a a 1 0 ln a 1 a2 a 1则 ，即 2 得证，故 1 1 a a a 1 a
n 1 ，
a2 a 1
a2 1
即数列 cn 是“ 2 特控数列”得证. （17分）a a 1
页，共 6页
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