2024-2025学年湖南省衡阳八中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省衡阳八中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数( )
A. B. C. D.
3.如图，中，为边的中点，为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
4.下列方程中表示圆心在直线上，半径为，且过原点的圆的是( )
A. B.
C. D.
5.将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数，关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图，在平面四边形中，若，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
8.在中，，，，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线与平面所成角的正弦值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为两个随机事件，以下命题正确的是( )
A. 若，是对立事件，则
B. 若，是互斥事件，，，则
C. 若，，且，则，是独立事件
D. 若，是独立事件，，，则
10.以下四个命题叙述正确的是( )
A. 直线在轴上的截距是
B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是
C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是
D. 直线：，：，若，则或
11.已知正方体的棱长为，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是( )
A. B. 平面
C. 与所成角的余弦值为 D. 动点的轨迹长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.对任意的实数，直线所过的定点为______．
13.设正方形的边长为，动点在以为直径的圆上，则的取值范围为______．
14.函数的值域为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，：．
若坐标原点到直线的距离为，求的值；
当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，满足．
求角；
若，，是中线，求的长．
17.本小题分
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并求样本成绩的第百分位数；
已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面为正方形，底面设平面与平面的交线为．
证明：平面；
已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
19.本小题分
一般地，元有序实数对称为维向量对于两个维向量，定义：两点间距离，
利用维向量的运算可以解决许多统计学问题其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分值代表要求度，分最低，分最高并形成测试报告不同岗位的具体要求见下表：
岗位 业务能力分值 管理能力分值 计算机能力分值 沟通能力分值 合计分值
会计
业务员
后勤
管理员
对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标．
将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；
小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于的应聘者才能被招录．
小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业、、、的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；
小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业、、、的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值．
参考答案
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15.解：设原点到直线的距离为，则，解得或；
由解得，即与的交点为．
当直线过原点时，直线的方程为；
当直线不过原点时，设的方程为，将代入得，
所以直线的方程为．
故满足条件的直线的方程为或．
16.解：因为，由正弦定理可知：，
由，故，
所以，，，
所以，又，所以；
根据数量积的定义，由，
得，又，
在中，由余弦定理得：，
因为，
所以，
所以．
17.解：由每组小矩形的面积之和为，
，解得：，
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
故第百分位数在，设第百分位数为，
由，得，故第百分位数为；
由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故，
，
所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是．
18.解：证明：过在平面内作直线，
由，可得，即为平面和平面的交线，
平面，平面，，
又，，平面，
，平面；
如图，以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，，，，
设平面的法向量为，
则，，取，可得，
，，
与平面所成角的正弦值为
，当且仅当取等号，
与平面所成角的正弦值的最大值为．
19.解：将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据，，，，
又，所以这组数据的第三四分位数为．
由图表知，会计岗位的样本点为，则，
业务员岗位的样本点为，则，
后勤岗位的样本点为，则，
管理员岗位的样本点为，则，
所以，故小刚最适合业务员岗位；
四种职业、、、的推荐率分别为，，，，且，
所以，又均小于，
所以，且，故可得到，，，，
设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为，，，，且，，，，，，，，
依题有，
，
，
，
由得，，
整理得，故有三组正整数解，
对于第一组解，代入式有，不成立；
对于第二组解，代入式有，解得或，代入式均不成立；
对于第三组解，代入式有，解得，代入均成立，故，
故小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为，，，．
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