2023-2024学年上海市金山区华东师大三附中高二(下)期中数学试卷
一、单选题:本题共4小题,共18分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“的二项展开式中存在常数项”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.已知复数满足,则复数的个数为( )
A. B. C. D.
3.已知是圆内异于圆心的一点,则此直线与该圆( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
4.已知椭圆,作垂直于轴的直线交椭圆于,两点,作垂直于轴的直线交椭圆于,两点,且,两垂线相交于点,若点的轨迹是某种曲线或其一部分,则该曲线是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
二、填空题:本题共12小题,共54分。
5.在等差数列中,,公差,则 ______.
6.已知函数是幂函数,则实数 ______.
7.已知向量,且,则 ______.
8.抛物线的准线方程为________.
9.已知直线和互相平行,则它们之间的距离是______.
10.已知随机变量的分布为,则 ______
11.方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是______.
12.直线的斜率的取值范围为,则其倾斜角的取值范围是______.
13.已知椭圆的左、右焦点分别为、若为椭圆上一点,且,则的面积为______.
14.已知,动直线:过定点,动直线:过定点,若与交于点异于点,,则的最大值为______.
15.数学中有许多寓意美好的曲线,曲线:被称为“四叶玫瑰线”如图所示给出下列三个结论:
曲线关于直线对称;
曲线上任意一点到原点的距离都不超过;
存在一个以原点为中心、边长为的正方形,使得曲线在此正方形区域内含边界.
其中,正确结论的序号是 .
16.定义两个点集、之间的距离集为,,其中表示两点、之间的距离,已知、,,,,若,则的值为 .
三、解答题:本题共5小题,共78分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在长方体中如图,,,点是棱的中点.
在九章算术中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑试问四面体是否为鳖臑?并说明理由;
求直线与直线所成角的大小.
18.本小题分
已知向量,.
若,求的值;
若,求函数的最小正周期及当时的最大值.
19.本小题分
在平面直角坐标系中,已知的顶点坐标分别是,记外接圆为圆.
求圆的方程;
在圆上是否存在点,使得?若存在,求点的个数;若不存在,说明理由.
20.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为、,直线过右焦点且与双曲线交于、两点.
若双曲线的离心率为,虚轴长为,求双曲线的焦点坐标;
设,,若的斜率存在,且,求的斜率;
设的斜率为,,求双曲线的方程.
21.本小题分
已知椭圆:的离心率为,左、右顶点分别为、,过点的直线与椭圆相交于不同的两点、异于、,且.
求椭圆的方程;
若直线、的斜率分别为、,且,求的值;
设和的面积分别为、,求的最大值.
参考答案
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17.解:在长方体中,,,
点是棱的中点,
,,
,,
平面,平面,,
,平面,
平面,,
四面体为鳖臑.
以为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,
,,,,
,,
,,
直线与直线所成角的大小为.
18.解:向量,,
又,
,不为,否则也为,
,
.
,
,
,
函数的最小正周期,
,
,
即即时,函数取最大值,
故函数的周期为,当时的最大值.
19.解:设外接圆的方程为.
将代入,
得,解得.
圆的方程为;
设点,
,,
化简得:.
化圆:为,
圆心,半径为.
圆的圆心到直线的距离.
直线与圆相交,
故满足条件的点有两个.
20.解:由题意可得:,,
解得,,,
双曲线的焦点坐标为;
,,双曲线的方程为,.
设直线的方程为,,,
把代入双曲线的方程可得:,
则,,
,
,
,
,
,
化为:,解得.
由,
可得,,.
直线的方程为,,,
把直线的方程代入双曲线方程可得:,
,,,
,,,
化为,
,
化为,,
,,
,,
,
解得,,
双曲线的方程为.
21.解:因为,,所以,
由可得,解得,
因为离心率为,则,又,则,
所以椭圆的方程为:;
由题可知:点在椭圆内,直线与椭圆必相交,
且直线的斜率可以不存在,但不为,
设直线的方程为,设点,,
联立方程,消去可得,
则,
由根与系数的关系可得:,则,
所以
,
即,所以;
由可知:,
所以
,
因为,则,
因为函数在上单调递增,
故,
所以,当且仅当时,等号成立,
因此,的最大值为.
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