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2.3用公式法解一元二次方程
1．下列方程中，属于一元二次方程是（ ）
A. （为常数） B.
C. D.
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可.
【详解】解：A．若a＝0，则该方程不是一元二次方程，A选项错误，
B．有两个未知数，该方程不是一元二次方程，B选项错误，
C．属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，C选项错误，
D．符合一元二次方程的定义，D选项正确，
故选：D．
2．根据下列表格对应值：
x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
ax2+bx+c ﹣012 ﹣0.03 ﹣0.01 0.06 0.18
判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
A. 2.1＜x＜2.2 B. 2.2＜x＜2.3 C. 2.3＜x＜2.4 D. 2.4＜x＜2.5
【答案】C
【分析】由于x＝2.3时，ax2+bx+c＝﹣0.01；x＝2.4时，ax2+bx+c＝0.06，则在2.3和2.4之间有一个值能使ax2+bx+c的值为0，据此即可判断．
【详解】∵x＝2.3时，ax2+bx+c＝﹣0.01；x＝2.4时，ax2+bx+c＝0.06，
∴方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围为2.3＜x＜2.4．
故选：C．
3．下列命题是真命题的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】B
【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知，则BD等于( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】A
【分析】
根据矩形的对角线相等且相互平分即可解决问题．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∵OA=3，
∴BD=2OA=6，
故选：A．
5．方程x2+2x–2=0配方得到（x+m）2=3，则m=__________．
【答案】1
【分析】移项，配方即可得出的值.
【详解】
故答案为1.
6．关于x的一元二次方程的一个根是a，则代数式的值是____．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解的定义求解即可，一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
【详解】关于x的一元二次方程的一个根是a，
故答案为：
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是______________．
【答案】
【分析】根据题意，AM=EF，利用三个直角的四边形是矩形，得到EF=AP，得AM=AP，当AP最小时，AM有最小值，根据垂线段最短，计算AP的长即可．
【详解】∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC==5，
∴BC边上的高h=，
∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M为EF的中点，
∴AM=EF，
∴AM=AP，
∴当AP最小时，AM有最小值，
根据垂线段最短，当AP为BC上的高时即AP=h时最短，
∴AP的最小值为，
∴AM的最小值为，
故答案为：．
8．如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F，
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BFDE为矩形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；
（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．
【详解】解：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE+∠DEB=180°，
∵∠DEB=90°，
∴∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，
9．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000．
（1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台；当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台．若商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的售价应为多少元？
【答案】（1）10%；（2）每台售价为2750元
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是3000（1-x）元，第二次后的价格是3000（1-x）2元，据此即可列方程求解；
（2）假设下调a个50元，销售利润=一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利×销售的件数=5000元，即可列方程求解．
【详解】解：（1）设每次降价的百分率为x，
由题意可得：，
∴
∴
解得：（舍），
答：每次降价的百分率是10%；
（2）假设下调a个50元，依题意得：5000=（2900-2500-50a）（8+4a）．
解得a=3．
所以下调150元，因此定价为2750元．
一．公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程，当时，.
2.用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值；
④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根
二：一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.
2. 一元二次方程根的判别式的逆用
在方程中，
（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；
（2）方程有两个相等的实数根=0；
（3）方程没有实数根﹤0.
要点：
（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；
（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0.
三：一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
1.（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ．
【答案】
【分析】根据公式法的公式，可得方程的各项系数，即可解答．
【详解】解： ，
，，，
从而得到一元二次方程为，
故答案为：．
【总结】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．
2.（23-24九年级上·广东深圳·期中）用公式法解一元二次方程：．
解：方程化为．
，．
．
方程 实数根．
，
即 ，．
【答案】 有两个不相等的 2
【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．
【详解】解：方程化为．
，，．
．
方程有两个不相等的实数根．
，
即2，．
故答案为：；；有两个不相等的；；；2．
【总结】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．
3．若实数a在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解题的关键是根据数轴上a的值，来确定判别式的大；根据一元二次方程的根的判别式，并且结合数轴上a的大小，确定出判别式的大小，即可判断出方程的根的情况 ．
【详解】解：∵一元二次方程，
，
由数轴可得，
，
，
，
方程没有实数根．
故选：．
4.（2021春 台江区校级月考）若关于x的方程x2x+n＝0有两个相等的实根，则 ．
【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△＝0即可得到关于m、n的方程，进而即可求得的值．
【解答】解：∵关于x的方x2x+n＝0有两个相等的实根，
∴△＝（）2﹣4n
∴m＝4n，
∴4．
故答案为：4．
【总结】本题考查的是根的判别式，根据题意得出关于m、n的方程是解答此题的关键．
5.定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【分析】利用新运算把方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理得到x2﹣3kx+k2﹣2＝0，再计算判别式的值得到△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵x*k＝x2+k2﹣2xk﹣2，
∴关于x的方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，
整理为x2﹣3kx+k2﹣2＝0，
∵△＝（﹣3k）2﹣4（k2﹣2）＝k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【总结】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6.（23-24九年级上·广东深圳·期中）用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根，由题意得，可求出．
【详解】方程有两根，
且．
求根公式得到方程的根为，两根互为相反数，
所以，即 ，
解得．
故选：A．
【总结】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．
7.．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个实根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式：先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵，
∴，，
故选：D．
用公式法解方程：
x2﹣5x﹣1＝0．
3x2﹣x﹣1＝0
．
【分析】利用公式法求解即可．
【解答】（1）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴△＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29＞0，
则x，
即x1，x2．
（2）解：由题意可知：a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴△＝1﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13，
∴x，
∴x1，x2．
（3））解：整理，得：3x2﹣8x﹣2＝0，
∵a＝3，b＝﹣8，c＝﹣2，
∴△＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝88＞0，
则x，即x1，x2．
【总结】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
9.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；
（2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根．
（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
【分析】（1）把x＝1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值；然后根据根与系数的关系来求方程的另一根；
（2）根据根的判别式的符号进行论证；
（3）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答．
【解答】解：（1）把x＝1代入x2﹣（k+2）x+2k＝0，得
1﹣k﹣2+2k＝0，
解得k＝1．
设方程的另一根为t，则
t＝2k＝2．
即k的值为1，方程的另一根为2；
（2）∵△＝（k﹣2）2≥0，
∴对于任意实数k，原方程一定有实数根；
（3）由x2﹣（k+2）x+2k＝0得：（x﹣2）（x﹣k）＝0
此方程的两根为x1＝k，x2＝2
若x1≠x2，则x1＝5，此等腰三角形的三边分别为5，5，2，周长为12．
若x1＝x2＝2，等腰三角形的三边分别为2，2，5，不存在此三角形，
所以，这个等腰三角形的周长为12．
【总结】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．
1．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故选：．
3．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答．
【详解】解：由知：，，．
所以该一元二次方程为：．
故选：A．
4.若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b（ ）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
【分析】根据公式得出m，求出即可．
【解答】解：∵x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m，
∴m，
解得：b2m，
故选：D．
【总结】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．
5.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D．1
【分析】根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得答案．
【解答】解：根据一元二次方程的求根公式可得：x1，x2，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣b，x1 x21，
∴当b≠0时，a＝1，c＝﹣1，则ac＝﹣1，
故选：D．
6.对于实数a、b，定义运算“★”：a★b，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（ ）
A．t B．t C．t D．t
【分析】分两种情况：①当2x+1≤2x﹣3成立时；②当2x+1＞2x﹣3成立时；进行讨论即可求解．
【解答】解：①当2x+1≤2x﹣3成立时，即1≤﹣3，矛盾；所以a≤b时不成立；
②当2x+1＞2x﹣3成立时，即1＞﹣3，所以a＞b时成立；
则（2x﹣3）2﹣（2x+1）＝t，
化简得：4x2﹣14x+8﹣t＝0，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，
△＝142﹣4×4×（8﹣t）＞0；
解得：t．
故选：D．
【总结】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．同时考查了新定义的运算．
7.关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k且k≠1 B．k且k≠1 C．k D．k
【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，利用根的判别式求解可得．
【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．
∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，
解得k；
当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；
综上，k的取值范围是k，
故选：D．
【总结】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
8．对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个相等实数根，则k的值为 .
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与系数有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【详解】解：由题可得：，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
9..关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝ ．
【分析】根据题意得到△＝b2﹣4c＝0，求得c，把原方程可表示为x2+bx0，根据x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值相等，得到m2+bm（m+2）2+b（m+2），解得b＝﹣2m﹣2，把x＝m代入x2+bx+c＝即可得到结论．
【解答】解：∵方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4c＝0，
∴c，
∴原方程可表示为：x2+bx0，
∵x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值相等，
∴m2+bm（m+2）2+b（m+2），
∴b＝﹣2m﹣2，
∴x2+bx+c＝x2+（﹣2m﹣2）x，
当x＝m时，x2+bx+c＝m2+（﹣2m﹣2）mm2﹣2m2﹣2m+m2+2m+1＝1，
故答案为：1．
【总结】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，代数式的求值，正确的理解题意是解题的关键．
10．已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若，且，，都是整数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可；
（2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可．
【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：∵，由（1）得，
∴，
∴整数的值有，，，
当时，方程为，
解得：，（都是整数，此情况符合题意）；
当时，方程为，
解得：（不是整数，此情况不符合题意）；
当时，方程为，
解得：（不是整数，此情况不符合题意）；
综上所述，的值为．
11.已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，由此即可证得结论；
（2）由等腰三角形的性质可知b＝c或b、c中有一个为5，①当b＝c时，根据根的判别式△＝0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x＝5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．
【解答】（1）证明：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）∵△ABC为等腰三角形，
∴b＝c或b、c中有一个为5．
①当b＝c时，△＝（m﹣5）2＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣8x+16＝0，
解得：b＝c＝4，
∵b+c＝4+4＝8＞5，
∴4、4、5能构成三角形．
该三角形的周长为4+4+5＝13．
②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，
解得：m＝6，
∴原方程为x2﹣9x+20＝0，
解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能组成三角形，
∴该三角形的周长为4+5+5＝14．
综上所述，该三角形的周长是13或14．
【总结】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）题需要分类讨论，以防漏解．
12.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AEc，这时我们把关于x的形如ax2cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0必有实数根；
（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积．
【分析】（1）只要证明△≥0即可解决问题．
（2）当x＝﹣1时，有ac+b＝0，即a+bc，由2a+2bc＝12，即2（a+b）c＝12，推出c＝2，推出a2+b2＝c2＝4，a+b＝4，由（a+b）2＝a2+2ab+b2，可得ab＝4，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：，
∵a2+b2＝c2，
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（2）解：当x＝﹣1时，有，即，
∵四边形ACDE的周长是12，
∴，即，
∴，
∴a2+b2＝c2＝8，
又∵a+b＝4，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，即16＝8+2ab，
∴ab＝4，
∴．
【总结】本题考查勾股定理的应用、一元二次方程的根的判别式、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
1．用求根公式解一元二次方程时，，的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】本题主要考查解一元二次方程的一般形式，认知一次项系数二次项系数常数项是解题的关键．按照未知数的降幂排列，据此可得答案．
【详解】解：，
，
则，，，
故选：C
2.（23-24九年级上·河南三门峡·期中）用公式法解方程，下列代入公式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．
【详解】解：方程可化为
由求根公式可得：
故选：B
【总结】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．
3．对于一元二次方程，下列说法不正确的是（ ）
A．若是方程的解，则
B．若，则方程必有两个不相等的实数根
C．若，则方程必有两个不相等的实根
D．若，则方程必有两个不相等的实数根
【答案】B
【分析】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根，方程没有实数根．
根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可．
【详解】解：、将代入方程可得：，
∴本选项说法正确，不符合题意；
、若，则方程为，
∴，
∴程必有两个的实数根，故原说法错误，符合题意；
、∵，
∴，
∴方程必有两个不相等的实数根，原说法正确，不符合题意；
、∵方程中，，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，故原说法正确，不符合题意；
故选：．
4．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是记住一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据此并结合平方的非负性判断即可．
【详解】解：∵，
∴
，
则方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5.关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a且a≠﹣2 B．a C．a且a≠﹣2 D．a
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（﹣3）2﹣4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a且a≠﹣2，
故选：A．
【总结】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故选：A．
7.下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1
C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0
【分析】利用根的判别式△＝b2﹣4ac逐一求出四个方程的△的值，取其为正值的选项即可得出结论．
【解答】解：A、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴一元二次方程x2﹣2x+2＝0没有实数根；
B、方程变形为x2﹣2x+1＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴一元二次方程x（x﹣2）＝﹣1有两个相等的实数根；
C、方程变形为x2﹣2x﹣k2﹣1＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8+4k2＞0，
∴一元二次方程（x﹣k）（x+k）＝2x+1有两个不相等的实数根；
D、∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴一元二次方程x2+1＝0没有实数根．
故选：C．
【总结】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
8.关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】根据根的判别式△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）＝＝k2﹣8k+20＝（k﹣4）2+4＞0即可作出判断．
【解答】解：∵△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）
＝k2﹣4k+4+16﹣4k
＝k2﹣8k+20
＝k2﹣8k+16+4
＝（k﹣4）2+4＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【总结】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
9.函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【分析】先利用一次函数的性质得k＜0，b＜0，再计算判别式的值得到△＝b2﹣4（k﹣1），于是可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：根据图象可得k＜0，b＜0，
所以b2＞0，﹣4k＞0，
因为△＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4＞0，
所以△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【总结】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．
10．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，若此方程的两根均为正整数，则正整数m的值为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了根的判别式以及求根公式．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到和3， 利用求根公式解方程得到，，然后利用（1）的范围可确定m的值．
【详解】解∶由题意得：且，
∴当和3时，原方程有两个不相等的实数根．
∵此方程的两根均为正整数，即，
解方程得，．
∴可取的正整数m的值为1．
故答案为：1．
11．解方程：．
【答案】，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，是解题的关键．
原方程化为，得根的判别式，得到，即得，．
【详解】解：方程化为，
，，．
，
方程有两个不等的实数根，
，
即，．
12.关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
【分析】（1）计算判别式的值，利用配方法得到△＝（m﹣4）2，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义得到结论．
（2）利用求根公式得到x1＝m﹣2，x2＝2．根据题意得到m﹣2＜1．即可求得m＜3．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4，
∴△＝b2﹣4ac
＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
（2）解：∵△＝（m﹣4）2≥0，
∴x．
∴x1＝m﹣2，x2＝2．
∵此方程有一个根小于1．
∴m﹣2＜1．
∴m＜3．
【总结】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．
13.已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0
（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；
（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△＝（2k﹣3）2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论；
（2）把x＝﹣1代入方程求解即可；
（3）求出方程的根，方程的两个实根均为正整数，求出k的值．
【解答】（1）证明：当k≠0时，
∵方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，
∴△＝（4k﹣3）2﹣4k（3k﹣3）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，
∴△＝（2k﹣3）2≥0，
当k＝0时，3x﹣3＝0，
解得x＝1．
∴无论k取何值，方程都有实根；
（2）把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0，
解得k．
故k的值；
（3）解：kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，
∴a＝k，b＝﹣（4k﹣3），c＝3k﹣3，
∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x，
∴此方程的两个根分别为x1＝1，x2＝3，
∵方程的两个实根均为正整数，
∴k＝﹣3，k＝﹣1，k＝3．
【总结】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键，此题难度不大．
14.对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．
（1）求﹣2△得值；
（2）如果关于x的方程x△（a△x）有两个相等的实数根，求实数a的值．
【分析】（1）利用新定义得到﹣2△2，然后进行二次根式的混合运算；
（2）先利用新定义把方程化为（a+1）x2+（a+1）x0，再根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+1≠0且△＝（a+1）2﹣4（a+1）0，然后解不等式和方程可得到a的值．
【解答】解：（1）﹣2△22×444；
（2）∵a△x＝ax+x，
∴x△（a△x）＝x（ax+x）+ax+x，
∴关于x的方程x△（a△x）化为x（ax+x）+ax+x，
整理得（a+1）x2+（a+1）x0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴a+1≠0且△＝（a+1）2﹣4（a+1）0，解得a＝0，
即a的值为0．
【总结】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
15.已知a是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根中较小的根，
（1）求a2﹣4a+2013的值；
（2）化简求值：．
【分析】（1）将a代入方程确定出a2﹣4a的值，代入原式计算即可得到结果；
（2）根据a的范围化简原式即可得到结果．
【解答】解：（1）将x＝a代入方程得：a2﹣4a＝﹣2，
则原式＝﹣2+2013＝2011；
（2）方程解得：a2，
∴a﹣1＜0，
则原式（a﹣1）＝﹣1﹣a+1＝﹣a2．
【总结】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
16.先阅读下列材料，然后回答问题：
在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若各项的系数之和为零，即a+b+c＝0，则有一根为1，另一根为．
证明：设方程的两根为x1，x2，由a+b+c＝0，
知b＝﹣（a+c），
∵x
∴x1＝1，x2．
（1）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的各项系数满足a﹣b+c＝0，则两根的情况怎样，试说明你的结论；
（2）已知方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有两个相等的实数根，运用上述结论证明：．
【分析】（1）由a﹣b+c＝0，可得出b＝a+c，结合给定材料可猜测方程的两根中有一根为﹣1，另一根为．利用求根公式结合给定材料中的证明过程即可证明猜测成立；
（2）将方程系数相加即可得知“ac﹣bc+bc﹣ab+ab﹣ac＝0”，满足给定材料的条件，由此得出方程的两根分别为1和，由题意可知1，整理变形后即可得出结论．
【解答】解：（1）有一根为﹣1，另一根为．
证明：设方程的两根为x1，x2，由a﹣b+c＝0，
知b＝a+c，
∵x，
∴x1＝﹣1，x2．
（2）证明：∵ac﹣bc+bc﹣ab+ab﹣ac＝0，
∴方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）的两根分别为1和．
∵方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有两个相等的实数根，
∴1，即ab﹣ac＝ac﹣bc，
∴ab+bc＝2ac．
∵abc≠0，
∴．
【总结】本题考查了根与系数的关系以及求根公式，解题的关键：（1）利用求根公式表示出x；（2）将方程系数相加得出方程的两个分别为1和．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据求根公式表示出方程的解是关键．
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2.3用公式法解一元二次方程
1．下列方程中，属于一元二次方程是（ ）
A. （为常数） B.
C. D.
2．根据下列表格对应值：
x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
ax2+bx+c ﹣012 ﹣0.03 ﹣0.01 0.06 0.18
判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
A. 2.1＜x＜2.2 B. 2.2＜x＜2.3 C. 2.3＜x＜2.4 D. 2.4＜x＜2.5
3．下列命题是真命题的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知，则BD等于( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
5．方程x2+2x–2=0配方得到（x+m）2=3，则m=__________．
6．关于x的一元二次方程的一个根是a，则代数式的值是____．
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是______________．
8．如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F，
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BFDE为矩形．
9．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000．
（1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台；当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台．若商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的售价应为多少元？
一．公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程，当时，.
2.用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值；
④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根
二：一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.
2. 一元二次方程根的判别式的逆用
在方程中，
（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；
（2）方程有两个相等的实数根=0；
（3）方程没有实数根﹤0.
要点：
（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；
（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0.
三：一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
1.（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ．
2.（23-24九年级上·广东深圳·期中）用公式法解一元二次方程：．
解：方程化为．
，．
．
方程 实数根．
，
即 ，．
3．若实数a在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
4.（2021春 台江区校级月考）若关于x的方程x2x+n＝0有两个相等的实根，则 ．
5.定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
6.（23-24九年级上·广东深圳·期中）用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
7.．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个实根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
用公式法解方程：
x2﹣5x﹣1＝0．
3x2﹣x﹣1＝0
．
9.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；
（2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根．
（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
1．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
3．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
4.若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b（ ）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
5.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D．1
6.对于实数a、b，定义运算“★”：a★b，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（ ）
A．t B．t C．t D．t
7.关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k且k≠1 B．k且k≠1 C．k D．k
8．对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个相等实数根，则k的值为 .
9.关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝ ．
10．已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若，且，，都是整数，求的值．
11.已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
12.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AEc，这时我们把关于x的形如ax2cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0必有实数根；
（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积．
1．用求根公式解一元二次方程时，，的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2.（23-24九年级上·河南三门峡·期中）用公式法解方程，下列代入公式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．对于一元二次方程，下列说法不正确的是（ ）
A．若是方程的解，则
B．若，则方程必有两个不相等的实数根
C．若，则方程必有两个不相等的实根
D．若，则方程必有两个不相等的实数根
4．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5.关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a且a≠﹣2 B．a C．a且a≠﹣2 D．a
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
7.下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1
C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0
8.关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
9.函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
10．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，若此方程的两根均为正整数，则正整数m的值为 ．
11．解方程：．
12.关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
13.已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0
（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；
（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
14.对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．
（1）求﹣2△得值；
（2）如果关于x的方程x△（a△x）有两个相等的实数根，求实数a的值．
15.已知a是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根中较小的根，
（1）求a2﹣4a+2013的值；
（2）化简求值：．
16.先阅读下列材料，然后回答问题：
在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若各项的系数之和为零，即a+b+c＝0，则有一根为1，另一根为．
证明：设方程的两根为x1，x2，由a+b+c＝0，
知b＝﹣（a+c），
∵x
∴x1＝1，x2．
（1）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的各项系数满足a﹣b+c＝0，则两根的情况怎样，试说明你的结论；
（2）已知方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有两个相等的实数根，运用上述结论证明：．
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