石室成飞中学高2025届2024-2025学年上期8月考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D A B C B C C A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
ACD AB ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. / 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
解：（1）∵，∴①
∵，，成等比数列，∴，∴化简得，
∵，∴②，由①②可得，，
所以数列的通项公式是 ………………………………6分
（2）由（1）得
∴………13分
16.（15分）
解：（1）在正四棱柱中，，，两两垂直，且，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.
因为，分别为的中点，所以，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则有，，即，
因为，所以，
又平面，所以平面； ………………………………7分
（2）由（1）可知，，
，
所以与平面所成角的正弦值为. ………………………………15分
17.（15分）
解：（1）零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联.
由列联表中的数据，可得，
.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.
所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异. ………………………………6分
（2）抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，不少于4小时的有人，
所以所有可能的取值为，
所以，，，
所以随机变量的分布列为：
1 2 3
随机变量数学期望.…………………………15分
18.（17分）
解：（1）因为，所以，
又连接四个顶点所得菱形的面积为，可得，
解得，所以椭圆方程为. ………………………………4分
（2）如图所示：
设直线的方程为：
联立，可得：，则，
由韦达定理可得：，
由弦长公式可得：
当时，取得最大值. ………………………………10分
（3）如图所示：
设直线的方程为：
联立，可得：，则
由韦达定理可得：，
又由，可得，
代入可得，即.所以，所以
故为定值. ………………………………17分
19.（17分）
解：（1）由题意得，，则，
由，解得．
当时，单调递增，当时，单调递减；
综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减； ………………………………4分
（2）（i）由，得，
设，由(1)得在区间内单调递增，在区间内单调递减，
又，当时，，且当时，，
所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故的取值范围是． ………………………………10分
（ii）不妨设，则，且．
解法一：
当时，，即；
当时，．
设
则
所以在区间内单调递增，
则，即，
所以
又在区间内单调递减，
所以，即，
又，所以，
故，所以，得证．
解法二：
设，，
则，
所以在区间内单调递增，
又，
所以，即．
又，所以，
又在区间内单调递减．
所以，即，
又，所以，得证． ………………………………17分石室成飞中学高2025届2024-2025学年上期8月考试
数 学
本试卷满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡上规定的位置。
2. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5. 考试结束后，只将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．的展开式中的常数项为（ ）
A. 15 B. 20 C. 30 D. 40
3．已知命题，命题，则（ ）
A．和均为真命题 B．和均为真命题
C．和均为真命题 D．和均为真命题
4．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ）
A．66 B．14 C．12 D．3
5．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有（ ）
A. 72种 B. 144种 C. 288种 D. 576种
7．已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两球，每次
取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是．若事件“为偶数”，
事件“，中有偶数”，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．2 B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数与所用时间（单位：）的5组数据
为：，根据以上数据可得经验回归方程为：，则下列
选项正确的有（ ）
A.
B. 回归直线必过点
C. 加工6个零件的时间大约为
D. 若去掉，剩下4组数据的经验回归方程不会有变化
10. 已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最大值是
11. 已知等比数列的前n项和为，公比为q，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．若，则当最小时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量服从标准正态分布，若，则 ．
13. 若在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
14. 甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人
中1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的
球都能被接住.记第次传球之后球在乙手中的概率为，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （本小题满分13分）
已知公差不为0等差数列，若，且，，成等比数列．
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
16. （本小题满分15分）
如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点.
（1）证明：平面.
（2）求与平面所成角的正弦值.
17. （本小题满分15分）
2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：
年龄 周平均锻炼时长 合计
周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下 40 60 100
50岁以上（含50） 25 75 100
合计 65 135 200
（1）试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；
（2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式及数据：，其中.
18. （本小题满分17分）
已知椭圆的离心率，连接四个顶点所得菱形的面积为4.斜率为的直线交椭圆于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的最大值；
（3）设为坐标原点，若三点不共线，且的斜率满足，求证：为定值.
19. （本小题满分17分）
已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若方程有两个不同的根．
(i)求的取值范围；
(ii)证明：．
