人教版九年级上学期数学课时进阶测试22.1二次函数的图像和性质分层次同步练习(含解析)

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人教版九年级上学期数学课时进阶测试
22.1二次函数的图像和性质分层次同步练习
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同学们：
练习开始了，希望你认真审题，细致做题，运用所学知识解决本练习。祝你收获满满，学习进步，榜上有名！
一、选择题
1．如图，在平行四边形中，对角线和交于点，下列命题是真命题的是（　　）
A．若，则平行四边形是菱形
B．若，则平行四边形是矩形
C．若，则平行四边形是矩形
D．若且，则平行四边形是正方形
2．已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集为1≤＜3，正确的结论个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，点O为对角线的中点，过点O，分别交，于点M，N，若，，连．则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，抛物线 与x轴交于点 ，顶点坐标为 ，与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（不包含端点）．下列结论中：① ；② ；③ ；④一元二次方程 的两个根分别为 ， ．正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于A、B两点，顶点.给出下列结论：
①；
②；
③若点，，在抛物线上，则；
④当时，以A，B，C为顶点的三角形是等边三角形.
其中正确结论的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中，x与y的部分对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0
y 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3
下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③﹣4是方程ax2+（b﹣4）x+c=0的一个根；
④当﹣1＜x＜0时，ax2+（b﹣1）x+c+3＞0．其中正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（ ，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为 ．
其中正确判断有 （　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③
8．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点为；直线AB的解析式为，下列结论：
①；②；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是．其中正确的是（　　）．
①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
9．如图是二次函数的图象，下列结论：
①二次三项式的最大值为4；
②4a＋2b＋c＜0；
③一元二次方程的两根之和为－1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的有　 　（填序号）．
10．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝　 　°.
11．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示）．当直线y＝m与图象G有4个交点时，则m的取值范围是　 　．
12．已知抛物线y＝x2+4x－8与直线l交（抛物线）于点A（－5，m），B（n，-3）（n＞0）．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标的取值范围为　 　．
13．如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　 　．
三、解答题
14．如图， 抛物线与x轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是线段上的一个动点（与， 不重合），过 点作轴的平行线交抛物线于点 ，求面积的最大值；
（3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由．
（4）若直线为抛物线的对称轴，抛物线与轴交于点 ，直线与轴交于点，点为直线上一动点，则在轴上是否存在一点，使四边形的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，连接BP，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
如图1，当点M在EF上时，根据以上操作，写出一个度数为30°的角为　 　；
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，则∠MBQ＝ ；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合）如图3，判断∠MBQ 与∠CBQ 的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm 时，请直接写出AP的长．
1．【答案】B
【解析】【解答】A ：对角线相等的平行四边形是菱形，原描述不正确，是假命题，不选；
B ：∠ABD=∠BDC(两直线平行内错角相等) ∴∠ABD=∠ACD=∠BDC ∴OC=OD ∴2OC=2OD 即AC=BD， ∴ 改平行四边形是矩形，描述正确，是真命题；
C ：对角线平分一组对角不能证明平行四边形是矩形，假命题；
D ：对角线互相垂直，且邻边相等的平行四边形是菱形不一定是正方形，假命题。
故答案为：B
【分析】准确记牢并灵活应用由平行四边形证明矩形、菱形、正方形的判定定理。
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵顶点坐标为（1，n），
∴其对称轴 ，即 ，
∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），
∴ ，即 ，
∴ ，
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（不包含端点），
∴ ，
∵顶点坐标为（1，n），即当 时，有 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①符合题意；
∵ ，
又∵ ，即 ，
∴ ，故②符合题意；
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③符合题意；
∵一元二次方程 可化为 ，
又∵ ，
∴可有 ，
解方程，得 ， ，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】由已知求出 ， ，由抛物线的对称性可求出抛物线与y轴的交点抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（不包含端点），可得出 ，由 ，得出n的范围，故①符合题意；由 ，即 ，可得出 ，故②符合题意；由 ，得出 ，故③符合题意；由一元二次方程 可化为 ， ，列方程得出x的值，故④符合题意；即可得解。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：由抛物线开口向上，则a＞0，由对称轴在y轴右侧，则x=＞0，
∴b＜0，
由抛物线与y轴交点在负半轴上，则c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象可知：当x=-3时，y＞0，即，故②错误；
∵抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值就越小，
∴，故③正确；
设A、B的横坐标为x1，x2，对称轴与x轴交点为H，
∵，
∴b2-4ac=12，CH=
∴x=，
∴AB==，
∴AB=CH，
∵BH=AH，
∴BH=CH，
∴∠CBH=60°，
∵BC=AC，
∴△ABC为等边三角形，故④正确.
故答案为：B.
【分析】由抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，可得a＞0，b＜0，由抛物线与y轴交点在负半轴上，可得c＜0，则abc＞0，据此判断①；由图象可知：当x=-3时，y＞0，据此判断②；由抛物线的开口向上，可知抛物线上的点离对称轴越近，函数值就越小，据此判断③；设A、B的横坐标为x1，x2，对称轴与x轴交点为H，由抛物线的最小值，可推出b2-4ac=12，CH=，利用求根公式可得x=，从而得出AB==，继而得出AB=CH，即得AH=BH=CH，利用锐角三角形函数可得∠CBH=60°，由AC=BC可证△ABC为等边三角形，据此判断④即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】∵x=-3时y=0，x=0时，y=-3，x=-1时，y=-4，
∴ ，
解得 ，
∴y=x2+2x-3，
对于①，ac=1×（-3）=-3＜0，故①正确；
对于②，对称轴为直线x=- =-1，
∴当x＞-1时，y随x的增大而增大，故②正确；
对于③，方程ax2+（b-4）x+c=0可化为x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，
∴-4是方程ax2+（b-4）x+c=0的一个根，错误，故③错误；
对于④，方程ax2+（b-1）x+c+3＞0可化为，结合方程根与函数图象易得，
∴-1＜x＜0时，ax2+（b-1）x+c+3<0正确，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②．
故答案为：C．
【分析】根据已知条件可代入三点求得二次函数解析式，观察点也可以得出顶点坐标，进而得出函数解析式，得出此时系数a、b、c的值，此时可直接判断①②；将系数代入③再求该一元二次方程的根可判断③；系数代入④得出该一元二次不等式，结合方程根与图象可判断该不等式解是否吻合.
7．【答案】C
【解析】【解答】解： 由题意得：﹣x2+2x+m+1=m+2
整理得：x2-2x+1=0
b2-4ac=4-4=0
∴ 抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交，故①正确；
∵y＝﹣x2+2x+m+1=-（x-1）2+m+1
抛物线的对称轴为直线x=1，开口向下
点P（2，y3）关于直线x=1的对称的点为（0，y3）
∵当x＜1时，y随x的增大而增大
∴-2＜0＜
∴y1＜y3＜y2，故②错误；
将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x-2+2）2+m+1-1
∴平移后的函数解析式为 y＝﹣（x+1）2+m ，故③正确；
当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝ x2＋2x＋2，
∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），
作点B关于y轴的对称点B′（ 1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2， 2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，
∴BE＋ED＋CD＋BC＝B′E＋ED＋C′D＋BC＝B′C′＋BC，根据两点之间线段最短，则B′C′最短，而BC的长度是一定的，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′＋BC最小，最小值为：
，故④正确
∴正确结论序号为：①③④
故答案为：C.
【分析】将两函数解析式建立关于x的方程，整理成一般形式，求出b2-4ac的值，根据其值可判断出两函数的交点情况，由此可对①作出判断；将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，由此可求出点P关于对称轴对称的点的坐标，再利用二次函数的增减性，比较三个点的横坐标的大小，就可得到y1，y2，y3的大小关系；可对 ②作出判断；利用二次函数平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的函数解析式，可对③作出判断；根据题意画出函数图象，求出m=1是函数解析式，即可得到点A，B，C的坐标，作点B关于y轴的对称点B′（ 1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2， 2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，利用两点之间线段最短，可知B′C′最短，而BC的长度是一定的，此时，四边形BCDE周长＝B′C′＋BC最小利用勾股定理可求出四边形BCDE的周长的最小值，可对④作出判断，综上所述可得答案。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：①∵，∴2a+b=0，①正确；
②∵开口向下，∴a<0；∵与y轴交点在正半轴，∴c>0；∵b=-aa，∴b>0，
∴abc<0，②错误；
③根据函数图象，抛物线与直AB有两个交点，∴ 方程有两个不相等的实数根； ③正确；
④∵抛物线的对称轴为：x=1，且与x轴的一个交点为B（4，0），则另外一个交点为（1-(4-1)，0），即（-2，0）.④正确.
故正确的选项为：①③④.
故答案为：C.
【分析】根据对称轴的计算公式可判断选项①；根据开口方向，与y轴的交点坐标，以及对称轴可判断a，b，c的正负，即可判断②；根据抛物线与直线的交点个数可判断选项③；根据对称轴及与x轴的一个交点坐标可判断另外一个交点坐标.
9．【答案】①②
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（ 1，4），∴二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4，故①正确；
∵x＝2时，y＜0，∴4a＋2b＋c＜0，故②正确；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和为 2，故③错误；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤ 2，故④错误．
故答案为：①，②．
【分析】①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2＋bx＋c的最大值；②根据x＝2时，y＜0确定4a＋2b＋c的符号；③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和；④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．
10．【答案】105
【解析】【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90° 60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，
∴当F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°，
故答案为105°.
【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°.
11．【答案】﹣ ＜m＜0
【解析】【解答】解：y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣ ）2+ ．
因为 新函数的图象G是由二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方得到的，
所以 新函数的图象G的顶点坐标D（ ，﹣ ），
当直线y＝m与图象G有4个交点时，则m的取值范围是﹣ ＜m＜0．
故答案是：﹣ ＜m＜0．
【分析】如图，通过y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣ ）2+ 和对称的性质得到D（ ，﹣ ），结合函数图象得到答案．
12．【答案】-12＜ｙ<-3
【解析】【解答】解：y=x2+4x－8=（x+2） 2-12，
当x=-2时，y的最小值为-12；
当x=-5时，y=25-20-8=-3，
当x=n，y=-3时n2+4n－8=-3，
解之：n1=1，n2=-5
∵n＞0，
∴n=1；
∵点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），
∴点P的纵坐标的取值范围为-12＜ｙ<-3.
故答案为：-12＜ｙ<-3.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标，此抛物线的开口向上，可得到y的最小值为-12；再分别将点A，B的坐标代入函数解析式，可求出m，n的值，可得到点A，B的坐标；然后根据点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），可得到点P的纵坐标的取值范围.
13．【答案】100°
【解析】【解答】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。作DA延长线AH，
∵∠BAD=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A''=2(∠AA′M+∠A'')=2×50°=100°。
故答案为：100°.
【分析】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″，此时△AMN的周长最小.作DA延长线AH，根据三角形外角的性质及轴对称的性质可得∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A''=2(∠AA′M+∠A'')，由于∠AA′M+∠A″=∠HAA′=50°，从而求出∠AMN+∠ANM的度数.
14．【答案】（1）
（2）
（3）存在个这样的点，坐标分别是，，，，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形
（4）
15．【答案】（1）∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC
（2）解：①15°；
②∠MBQ＝∠CBQ，理由如下：
∵BM＝BC，BQ＝BQ，
∴Rt△BQM≌Rt△BQC（HL），
∴∠MBQ＝∠CBQ；
（3）解：当点Q在点F的下方时，如图，
∵FQ＝1cm，DF＝FC＝4cm，AB＝8cm，
∴QC＝CD-DF-FQ＝8-4-1＝3（cm），DQ＝DF+FQ＝4+1＝5（cm），
由（2）可得，QM＝QC＝3（cm），
设AP＝PM＝xcm，PD＝（8-x）cm，
∵PD2+DQ2＝PQ2，
即（8-x）2+52＝（x+3）2，
解得：x＝，
∴AP＝（cm）；
当点Q在点F的上方时，如图，
∵FQ＝1cm，DF＝FC＝4cm，AB＝8cm，
∴QC＝5cm，DQ＝3cm，
由（2）可知，QM＝QC＝5cm，
设AP＝PM＝xcm，PD＝（8-x）cm，
∴PD2+DQ2＝PQ2，
即（8-x）2+32＝（x+5）2，
解得：x＝，
∴AP＝cm．
综上所述：AP为cm或cm．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
∵
∵
故答案为：∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC
（2）①∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°
∴BM=BC
∵BQ=BQ
∴
故答案为：15°
【分析】（1）根据折叠性质可得，再根据矩形的性质可得，即可求出答案.
（2）①根据折叠性质可得，再根据全等三角形性质即可求出答案.
②根据折叠性质可得Rt△BQM≌Rt△BQC，再根据全等三角形性质即可求出答案.
（3）由（2）可得QM＝QC＝3，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设AP＝PM=x，PD＝（8-x），根据勾股定理即可求出答案.
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