概率—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（B卷）（含解析）

（7）概率—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（B卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行.若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( )
A. B. C. D.
2.若，，，则下列关于事件A与B关系的判断，正确的是( )
A.事件A与B互斥 B.事件A与B相互对立
C.事件A与B相互独立 D.事件A与B互斥且相互独立
3.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别为p，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为( )
A. B. C. D.
4.某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河流上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关.据统计，当时，；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.
该河流上游近20年六月份降雨量频率分布表如下：
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
假定每年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，则明年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为( )
A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1
5.口袋中装有编号为①，②的2个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同.现从中取出1个小球，记事件A为“取到的小球的编号为②”，事件B为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是( )
A.A与B互斥 B.A与B对立 C. D.
6.甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.则甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为( )
A. B. C. D.
7.参加乒乓球比赛的甲、乙两队各有（，）名队员，其中甲队与乙队分别有m，n名技术水平相当的强手，两队其余队员为技术水平相当的弱手.观众评议比赛的观赏性程度为“技术水平相当的选手对抗”为“精彩”，“不同技术水平的选手对抗”为“平常”，若两队在单打比赛时随机确定一名选手进行对抗，则观众评议比赛“精彩”的概率比“平常”的概率( )
A.大 B.小
C.相等 D.与m，n的大小有关
8.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为，，，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为( )
A.14 B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是( )
A.两件都是一等品的概率是
B.两件中有1件是次品的概率是
C.两件都是正品的概率是
D.两件中至少有1件是一等品的概率是
10.如图，一个正八面体，八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间.事件A表示“数字为偶数”，事件B表示“数字大于4”，事件C表示“数字为3，4，5，6中的一个”，则以下结论正确的有( )
A.事件A与事件B独立
B.事件A与事件C不独立
C.事件B与事件C独立
D.
11.已知事件A，B，且，，则下列结论正确的是( )
A.如果，那么，
B.如果A与B互斥，那么，
C.如果A与B相互独立，那么，
D.如果A与B相互独立，那么，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.为了解高中生上学带手机的情况，调查者进行了如下的随机调查：调查者向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）你上学时是否经常带手机？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答.结果被调查的800人（学号从1至800）中有260人回答了“是”，由此可以估计这800人中上学经常带手机的人数是_________.
13.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）.若，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是_________.
14.甲 乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲 乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）小明和小亮玩“掷骰子”的游戏，骰子的6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.每次由小明、小亮各掷一次骰子，得到点数分别为x，y，若为偶数，则算小明胜；否则算小亮胜.
（1）若以A表示的事件，求.
（2）现连玩三次“掷骰子”的游戏，以B表示“小明至多胜一次”的事件，C表示“小亮至少胜两次”的事件，试问B与C是否为互斥事件或对立事件？为什么？
（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由.
16.（15分）某医院派出医生下乡医疗，一天内派出医生人数及其概率如下：
医生人数 0 1 2 3 4 5名及以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
求：（1）派出医生至多2名的概率；
（2）派出医生至少2名的概率.
17.（15分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元：对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
18.（17分）某省从2021年开始，高考不分文理科，实行“”模式，其中“3”指的是语文、数学、外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门.已知某大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门.
（1）从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合该大学临床医学类招生选科要求的概率；
（2）假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合该大学临床医学类招生选科要求的概率.
19.（17分）双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛.之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A，B，C，D四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场比赛为决赛.
（1）假设四人实力旗鼓相当，即各场比赛每人的胜率均为，求：
①A和D在决赛中过招的概率；
②D共输了两场比赛且成为亚军的概率.
（2）若A的实力出类拔萃，即有A参加的比赛其胜率均为，其余三人实力旗鼓相当，求D进入决赛且先前与对手已有过招的概率.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由题意，样本点空间为
，所以共有12种不同排法，而卡片排成“1314”只有1种情况，故所求事件的概率.故选A.
2.答案：C
解析：因为，而，所以.又因为，所以，所以事件A与B相互独立.又因为，所以事件A与B不是互斥事件，
故选：C.
3.答案：A
解析：在甲、乙、丙处投篮投中分别记为事件A，B，C，则，，，可知恰好投中两次为事件，，，
故恰好投中两次的概率，解得.
4.答案：B
解析：在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
明年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率
或或
.
5.答案：C
解析：依题意得，若取到的小球为黑球且编号为②，则事件A与B同时发生，故A与B不互斥，也不对立，A，B都不正确；
由古典概型的概率计算公式得，，，于是得，C正确，D不正确.故选C.
6.答案：A
解析：由题意知，甲在4局以内（含4局）赢得比赛包含3种情况：
①甲胜第1，2局，概率为；
②乙胜第1局，甲胜第2，3局，概率为；
③甲胜第1局，乙胜第2局，甲胜第3，4局，概率为
所以甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为.故选A.
7.答案：B
解析：记观众评议比赛“精彩”为事件A，事件表示“两名强手对抗”，事件表示“两名弱手对抗”，则，为互斥事件，且，由互斥事件的概率公式，得.
记观众评议比赛“平常”为事件B，事件B表示“强手与弱手对抗”，则，又，，则由均值不等式知，故观众评议比赛“精彩”的概率比“平常”的概率小.故选B.
8.答案：D
解析：由题意，设甲、乙、丙三人获得一等奖的概率分别为，，，
则甲、乙、丙三人未获得一等奖的概率分别为，，，
则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为
，
这三人都获得一等奖的概率为，所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率.
9.答案：BD
解析：由题意设一等品编号为a，b，二等品编号为c，次品编号为d，从中任取2件的基本情况有，，，，，，共6种.
对于A，两件都是一等品的基本情况有，共1种，故两件都是一等品的概率，故A错误；
对于B，两件中有1件是次品的基本情况有，，，共3种，故两件中有1件是次品的概率，故B正确；
对于C，两件都是正品的基本情况有，，，共3种，故两件都是正品的概率，故C错误；
对于D，两件中至少有1件是一等品的基本情况有，，，，，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率，故D正确.故选BD.
10.答案：ACD
解析：由题意得，事件A包含，则，事件B包含，则，事件C包含，则，事件包含，则，事件包含，则，事件包含，则，事件包含，则.
显然，，事件A与事件B独立，故A正确；，事件A与事件C独立，故B错误；，事件B与事件C独立，故C正确；，故D正确.故选ACD.
11.答案：ABD
解析：已知，，如果，那么，，故A正确；如果A与B互斥，那么，，故B正确；如果A与B相互独立，，那么，故C错误；
如果A与B相互独立，那么，，故D正确.故选ABD.
12.答案：120
解析：因为掷硬币时，出现正面朝上和反面朝上的概率都是，所以被调查者中大概有400人回答了问题（2），有400人回答了问题（1）.又因为学号为奇数或偶数的概率也是，所以在回答问题（1）的400人中大约有200人回答了“是”，在回答问题（2）的400人中大约有（人）回答了“是”.
所以被调查的800人中上学经常带手机的人数约为120.
13.答案：
解析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共有24个三位自然数.由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个.所以这个三位数为“有缘数”的概率.
14.答案：
解析：设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立事件的性质，可得
，，
，，
设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，
所以，
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.
故答案为：.
15.答案：（1）
（2）B与C不是互斥事件，也不是对立事件
（3）这种游戏规则不公平
解析：（1）基本事件总数有（个），而的事件有，，，，共4个，所以.
（2）“小明至多胜一次”的事件包括“小明胜一次”“小明一次都不胜”，相对应的是“小亮胜两次”“小亮胜三次”，也即是“小亮至少胜两次”的事件，所以事件B与C可以同时发生，B与C不是互斥事件，也不是对立事件.
（3）这种游戏规则不公平，理由如下：
为奇数的情况有，，，，，，，，，共9种，
所以小亮获胜的概率为，小明获胜的概率为，且，所以这种游戏规则不公平.
16.答案：（1）0.56
（2）0.74
解析：记事件A为“不派出医生”，事件B为“派出1名医生”，事件C为“派出2名医生”，事件D为“派出3名医生”，事件E为“派出4名医生”，事件F为“派出不少于5名医生”.
事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且，，，，，.
（1）“派出医生至多2名”的概率为
.
（2）方法一：“派出医生至少2名”的概率为
.
方法二：“派出医生至少2名”与“派出医生至多1名”是对立事件，
“派出医生至多1名”的概率，
“派出医生至少2名”的概率.
17.答案：（1）0.28
（2）甲分厂
解析：（1）由题表可知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率为，乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率为.
（2）甲分厂加工100件产品的总利润为（元），
所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元/件；
乙分厂加工100件产品的总利润为（元），所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元/件.因为甲分厂加工产品的平均利润大于乙分厂，故厂家应选择甲分厂承接加工业务.
18.答案：（1）
（2）
解析：（1）用a，b分别表示“选择物理”“选择历史”，用c，d，e，f分别表示“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，
则所有选科组合的样本空间，.
设M：“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合该大学临床医学类招生选科要求”，
则，，
.
（2）设甲、乙、丙三人每人的选科组合符合该大学临床医学类招生选科要求的事件分别是，，，
由题意知事件，，相互独立，由（1）知.
记N：“甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合该大学临床医学类招生选科要求”，
则.
易知事件，，两两互斥，
则根据互斥事件概率加法公式得
.
19.答案：（1）①
②
（2）
解析：（1）假设四人实力旗鼓相当，即各场比赛每人的胜率均为，即概率为.
①由题意，第一轮A和D对阵，则获胜者需要赢得比赛3的胜利，失败者需要赢得比赛4和比赛5的胜利，他们才能在决赛中对阵，
所以A和D在决赛中过招的概率为.
②设表示D在比赛i中胜利，表示D在比赛i中失败，
则事件E：D获得亚军，事件F：D所参加的所有比赛中失败了两场，
事件F：包括，，，，五种情况.
这五种情况彼此互斥，可得
.
其中积事件EF包括，两种情况，
可得，
所以所求概率为.
（2）由题意，A获胜的概率为，B，C，D之间获胜的概率均为，
要使得D进入决赛且先前与对手已有过招，可分为三种情况：
若A与D在决赛中相遇，则分A1胜3胜，D1负4胜5胜，或A1负4胜5胜，D1胜3胜，共两种情况，
可得概率；
若B与D在决赛中相遇，则分D1胜3胜，B2胜3负5胜，或D1胜3负5胜，B2胜3胜，共两种情况，
可得概率；
若C与D在决赛中相遇，同B与D在决赛中相遇，可得概率.
所以D进入决赛且先前与对手已有过招的概率.