概率—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（A卷）（含解析）

（7）概率—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（A卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在1，2，4，5，8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有一位乘客等候4路或8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性都相等，则首先到站正好是这位乘客所要乘的汽车的概率为( )
A. B. C. D.
2.甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则乙最终获胜的概率为( )
A.0.36 B.0.352 C.0.288 D.0.648
3.甲、乙两人下象棋并约定谁先赢满5局，谁就获得全部奖金700法郎，下了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再继续.假设每局两人输赢的概率各占，每局输赢相互独立，那么这700法郎如何分配比较合理( )
A.甲400法郎，乙300法郎 B.甲500法郎，乙200法郎
C.甲525法郎，乙175法郎 D.甲350法郎，乙350法郎
4.关于频率和概率，下列说法正确的是( )
①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率约为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；
④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000.
A.②④ B.①④ C.①② D.②③
5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
6.按先后顺序抛掷两枚质地均匀的硬币，观察正反面出现的情况，记事件A：第一次出现正面，事件B：第二次出现反面，事件C：两次都出现正面，事件D：至少出现一次反面，则下列说法错误的是( )
A.C与D对立 B.A与B不互斥 C. D.
7.一次射击比赛中，若连续2次未击中目标，那么中止射击，甲击中目标的概率是，假设甲各次射击是否击中目标相互之间没有影响，甲恰好射击5次后中止的概率为( )
A. B. C. D.
8.抛掷红、蓝两个除颜色外其他完全相同的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为2，：红骰子的点数为3，：两个骰子的点数之和为7，：两个骰子的点数之和为9，则( )
A.事件与对立 B.事件与不互斥
C.事件与相互独立 D.事件与相互独立
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）.现要从甲、乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.则下列说法正确的有( )
A.甲参赛的概率大 B.乙参赛的概率大
C.这种选取规则公平 D.这种选取规则不公平
10.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，下列结论正确的是( )
A.第一次摸到红球的概率为 B.第二次摸到红球的概率为
C.两次都摸到红球的概率为 D.两次都摸到黄球的概率为
11.小明参加文学社、话剧社、辩论社的社团招新面试，已知三个社团面试成功与否互不影响，文学社面试成功的概率为，话剧社面试成功的概率为，辩论社面试成功的概率为，则下列结论中正确的有( )
A.文学社和话剧社均面试成功的概率为
B.话剧社与辩论社均面试成功的概率为
C.有且只有辩论社面试成功的概率为
D.三个社团至少一个面试成功的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的1200人（学号从1至1200）中有366人回答了“是”.由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是__________.
13.若随机事件A、B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，，则实数a的取值范围是______.
14.甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，若甲在某十场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1，则甲以取得胜利的概率为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数.写出：
（1）这个试验的样本空间；
（2）这个试验的结果的个数；
（3）指出事件的含义.
16.（15分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
（1）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；
（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.
17.（15分）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
（1）分别求盒中红球、黄球、蓝球的个数.
（2）随机试验：从盒中有放回地取球两次，每次任取一球记下颜色.
（ⅰ）写出该试验的样本空间；
（ⅱ）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度，判断这个游戏是否公平？请说明理由.
18.（17分）某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计，甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩合格的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测.
（1）求三人都合格的概率；
（2）求三人都不合格的概率；
（3）求出现几人合格的概率最大.
19.（17分）象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学、竞技、文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力、判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋、国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，将参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙、丙、丁4名同学所在小组的赛程如表：
第一轮 甲—乙 丙—丁
第二轮 甲—丙 乙—丁
第三轮 甲—丁 乙—丙
规定：每场比赛获胜的同学得3分，输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，丁同学的水平较弱，面对其他任意一名同学时自己胜，负、平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立.
（1）求丁同学的总分为5分的概率：
（2）已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率.
答案以及解析
1.答案：D
解析：根据题意，样本点分别是1，3，4，5，8路公共汽车首先到站，显然共有5个，
而这位乘客所要乘的汽车有4路和8路两路，
故所求概率.
故选：D.
2.答案：B
解析：由题意可得，乙最终获胜有两种情况：
一是前两局乙获胜，则获胜的概率为；
二是前两局中乙胜一局，第三局乙获胜，则获胜的概率为.
因为这两种情况是互斥的，所以乙最终获胜的概率为.故选B.
3.答案：C
解析：设甲、乙赢得700法郎的概率分别为，，
由题意得甲赢得700法郎的概率，乙赢得700法郎的概率，因此应分配给甲（法郎），分配给乙（法郎）.故选C.
4.答案：A
解析：①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学投篮命中的频率为，错误；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016，抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005，如果他抛掷36000次硬币，从频率角度来说，正面向上的频率可能大于0.5005，正确；
③概率只是预测事件发生的可能性，某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，不一定会有1806粒种子发芽，错误；
④将一个均匀的骰子抛掷一次，出现点数大于2的概率为，则抛掷6000次，出现点数大于2的次数大约为4000，正确.故选A.
5.答案：C
解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，，，，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.故选C.
6.答案：D
解析：设出现正面为1，出现反面为2.
由题意可知，，，，
由，，知A正确；
由，知B正确；
由，得，知C正确；
由，知D错误.
7.答案：A
解析：甲击中目标的概率是，所以甲没有击中目标的概率是，甲恰好射击5次后中止的情况是第一、二次至少击中其中一次，第三次击中，第四、五次没有击中，且相互之间是独立的，所以甲恰好射击5次后中止的概率为.故选A.
8.答案：C
解析：对于A，事件：红骰子的点数为2，：红骰子的点数为3，与互斥但不对立，因为红骰子的点数还有其他情况，比如4，故A错误；
对于B，：两个骰子的点数之和为7，：两个骰子的点数之和为9，与不可能同时发生，所以与互斥，故B错误；
对于C，，两个骰子的点数之和为7的情况有，，，，，，共6个样本点，总的样本点为36，所以，，所以，所以与相互独立，故C正确；
对于D，，两个骰子的点数之和为9的情况有，，，，共4个样本点，总的样本点为36，所以，，所以，D错误.故选C.
9.答案：BD
解析：由题意，知由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”有123，124，125，134，135，145，234，235，245，345，共10个.
记“甲参加数学竞赛”为事件A，事件A包含的情况有124，134，234，共3个，所以.
记“乙参加数学竞赛”为事件B，则事件B包含的情况有123，125，135，145，235，245，345，共7个，所以.
因为，即乙参赛的概率大，所以该选取规则不公平.故选BD.
10.答案：AB
解析：因为袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，所以第一次摸到红球的概率为，故A正确；
两次都摸到红球的概率为，故C不正确；
第一次摸到黄球，第二次摸到红球的概率为，所以第二次摸到红球的概率为，故B正确；
两次都摸到黄球的概率为，故D不正确.故选AB.
11.答案：BCD
解析：对于A，根据题意，文学社和话剧社均面试成功的概率为，所以A不正确；
对于B，根据题意，话剧社与辩论社均面试成功的概率为，所以B正确；
对于C，根据题意，有且只有辩论社面试成功的概率为，所以C正确；
对于D，三个社团都不成功的概率为，所以三个社团至少一个面试成功的概率为，所以D正确.故选BCD.
12.答案：132
解析：被调查的1200人中，在准备回答的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，所以第一个问题可能被问600次，因为被问的600人中有300人学号是奇数，而有366人回答了“是”，所以估计有66人闯过红灯，在600人中有66人闯过红灯，频率为0.11，用样本频率估计总体，从而估计这1200人中闯过红灯的人数为（人）.故答案为132.
13.答案：
解析：由题意，，即，解得.
故答案为：.
14.答案：0.174
解析：设甲在第一、二、三、四场比赛中获胜分别为事件，，，，由题意，得甲要以取胜的可能是，，，
.
15.答案：（1）见解析
（2）36
（3）见解析
解析：（1）样本空间.
（2）由（1）知，这个试验的结果共有36个.
（3）由可知，事件A表示抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7.
16.答案：（1）
（2）
解析：（1）所有的可能结果共有（种），而满足的有，，共3个.故“抽取的卡片上的数字满足”的概率为.
（2）所有的可能结果共有（种），满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的有，，共3个，故“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率为，所以“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
17.答案：（1）盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1
（2）（ⅰ）见解析
（ⅱ）不公平，理由见解析
解析：（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件A，B，C，
因为事件A，B，C两两互斥，
所以由已知得
解得
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1.
（2）（ⅰ）由（1）知红球、黄球、蓝球的个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球，m表示第一次取出的球的颜色，n表示第二次取出的球的颜色，表示试验的样本点，
则样本空间.
（ⅱ）由（ⅰ）得，记“取到两个球颜色相同”为事件M，“取到两个球颜色不相同”为事件N，则，
所以，所以.
因为，所以此游戏不公平.
18.答案：（1）
（2）
（3）恰有一人合格的概率最大
解析：记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，
显然事件A，B，C相互独立，，，.
设恰有k人合格的概率为.
（1）三人都合格的概率.
（2）三人都不合格的概率.
（3）恰有两人合格的概率
.
恰有一人合格的概率.
综合（1）（2）可知最大.
所以恰有一人合格的概率最大.
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，
记第轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，，丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为M，则，
即丁同学的总分为5分的概率为.
（2）由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分、0分、1分，若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名.
①若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率.
②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局，第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率.
③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率；
第三轮比赛中当乙、丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分，需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励，此时的概率.
综上，甲同学能获得奖励的概率.