浙江省浙大附中玉泉校区2023-2024学年高二上学期期末数学试题

浙江省浙大附中玉泉校区2023-2024学年高二上学期期末数学试题
1．（2024高二上·西湖期末）直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】由已知得，
故直线斜率
由于倾斜的范围是，
则倾斜角为.
故答案为：B.
【分析】先将直线方程化为斜截式，可求斜率，再根据斜率与倾斜角的关系可得答案.
2．（2024高二上·西湖期末）已知数列为等差数列，，，则公差为（　　）
A．1 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为数列为等差数列，，，
所以，，
解得：，，
故答案为：C.
【分析】
利用等差数列的通项公式即可求解.
3．（2024高二上·西湖期末）几何体是平行六面体，底面为矩形，其中，且，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】因为底面是矩形，所以，
又因为，
所以，，
因为，
所以，
故答案为：D
【分析】
将用来表示，然后向量求模即可.
4．（2024高二上·西湖期末）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】设，
则，解得：.
故答案为：B
【分析】利用抛物线定义代入即可求解.
5．（2024高二上·西湖期末）已知上可导函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由图象知的解集为，的解集为，
或，
所以或，解集即为．
故答案为：C
【分析】
由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论．
6．（2024高二上·西湖期末）跑步是一项常见的有氧运动，能增强人体新陈代谢和基础代谢率，是治疗和预防“三高”的有效手段.赵老师最近给自己制定了一个180千米的跑步健身计划，计划前面5天中每天跑4千米，以后每天比前一天多跑0.4千米，则他要完成该计划至少需要（　　）
A．23天 B．24天 C．25天 D．26天
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设需要 天完成计划，由题意易知每天跑步的里程为 ，从第6项开始以 为首项，0.4为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ，化简可得： ，
因为 在 上单调递增，
当 时， ，当 时， ，
故满足条件的最小 .
故答案为：C.
【分析】 利用题中的条件，易知每天跑步的里程为等差数列，求其前n项和即可解出答案.
7．（2024高二上·西湖期末）已知数列满足，且对任意的都有，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】因为对任意的都有，
则数列单调递增；
又，
所以只需，即，解得.
故答案为：D.
【分析】
由数列的单调性列不等式组，解出参数，即可求解.
8．（2024高二上·西湖期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式；与直线有关的动点轨迹方程
【解析】【解答】由已知表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
所以，
过点作，垂足为，
因为直线的方程为，，
所以，
又直线与直线平行，，
所以，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以，
又，当且仅当三点共线时等号成立，
所以当点为线段与直线的交点时，
取最小值，最小值为，
因为过点与直线垂直的直线的方程为，
联立，可得，
所以点的坐标为，所以，
所以的最小值为，
故答案为：D.
【分析】
根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和求目标函数最小值.
9．（2024高二上·西湖期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（　　）
A．若空间向量，满足，则
B．若非零向量，满足，则有
C．若是空间的一组基底，且，则四点共面
D．若向量是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
【答案】C,D
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理；向量的数量积判断向量的共线与垂直；相等向量
【解析】【解答】对于A，模长相等方向可不同，显然A错误；
对于B，由于空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行，所以B错误；
对于C，由平面的向量示可知是空间的一组基底，则三点不共线.由，，可判断四点共面，故C正确；
对于D，若向量是空间一组基底，则对空间中的任何一个向量，存在唯一的实数组，使得，于是，所以也是空间的一组基底，故D正确.
故答案为：C、D
【分析】
结合空间向量定义可直接判断A错误；由空间的垂直关系可判断B错误；由四点共面的结论可判断C正确；由基底向量的定义化简可判断D正确.
10．（2024高二上·西湖期末）若方程 所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是（　　）
A．若 ，则C为椭圆
B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则
C．曲线C可能是圆
D．若C为双曲线，则
【答案】A,D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：对于A选项，当 时，曲线为C表示圆，故不正确；
对于B选项，当曲线C为焦点在 轴上的椭圆时，则 ，解得 ，故正确；
对于C选项，当 时，曲线为C表示圆的方程，故正确；
对于D选项，当曲线C为双曲线时，则 ，解得 或 ，故错误；
综上，错误的是AD.
故答案为：AD.
【分析】根据题意依次讨论各选项即可得答案.
11．（2024高二上·西湖期末）已知直线，下列命题中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则或
C．原点到直线的最大距离为
D．若的倾斜角分别为，且，则
【答案】A,C
【知识点】二倍角的正切公式；直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】对A，若，则，解得，故A正确；
对B，若，则且，解得，故B错误；
对C，因为，则过定点，
所以原点到直线的距离，所以的最大值为，故C正确；
对D，的倾斜角为，若时，与轴垂直，所以，
而，所以，此时直线的斜率为，
所以，所以，与假设矛盾，所以，所以直线的斜率存在，
即，由得，
所以，得到，解得，
当，直线斜率均为负数，倾斜角都为钝角，不满足，故D错误.
故答案为：A、C.
【分析】
根据直线垂直和平行得到关于的方程，解出即可判断A正确、B错误，求出所过定点即可求出最大值，从而判断C正确；首先排除斜率不存在的情况，再利用二倍角的正切公式得到关于的方程，解出即可判断D错误.
12．（2024高二上·西湖期末）如图，正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是（　　）
A．当在表面上运动时，三棱锥的体积为定值
B．当在线段中点时，平面截正方体所得截面的面积为
C．当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D．使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为
【答案】B,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】选项A：当在表面上运动时，由于的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长，
所以三棱锥的体积不变，且，所以A错误；
选项B：由平面在两平行平面上的交线互相平行，取的中点，的中点，的中点，
连接，，，，延长，一定与交于一点，
所以，，，四点共面，同理可证，，，四点共面，
则过点，，作正方体的截面，截面为正六边形，边长为，
设正六边形对角线交点为，则正六边形的面积为，故B正确；
选项C：当在底面上运动，以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，
可得，，，，，，设，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，，所以，
因为平面，所以，可得，
所以，当时，等号成立，所以C正确；
选项D：因为直线与平面所成的角为45°，由平面，得直线与所成的角为45°，
若点在平面和平面内，因为，，故不成立；
若点在平面内，此时点的轨迹是；
若点在平面内，此时点的轨迹是；
若点在平面时，作平面，如图所示，
因为，所以，又因为，所以，所以，
所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点的轨迹的长度为，
综上，点的轨迹的总长度为，所以D正确；
故答案为：B、C、D．
【分析】
求出三棱锥的底面积和高即可判断A错误；作出截面图形即可判断B项正确；
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用向量关系即可确定点坐标满足的关系，从而可求长度的表达式，进而判断C项正确；分在各个面内讨论，可判断D项正确.
13．（2024高二上·西湖期末）双曲线的右焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】根据题意，双曲线的方程为，
则其标准方程为：，
其右焦点坐标为，即，
则有，解可得，
故双曲线的方程为，
其渐近线方程为，
故答案为：.
【分析】
先将双曲线方程化为标准方程，再根据得到关于的方程，解出值，再利用渐近线方程即可得到答案.
14．（2024高二上·西湖期末）已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为　 　.
【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】取直线的方向向量为，
因为，，
所以，，，，
所以点到直线的距离为.
故答案为：.
【分析】
利用向量的坐标运算及向量的单位化公式，结合点到直线的距离公式即可求解.
15．（2024高二上·西湖期末）已知数列满足，，则　 　.
【答案】1023
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】数列中，，
则，，，
，，
，，
，。
故答案为：1023。
【分析】利用已知条件结合递推关系，再利用代入法得出数列第十项的值。
16．（2024高二上·西湖期末）若对任意的、，且当时，都有，则的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题意可知，、均为正数，则，所以，，
因为，由可得，
所以，，
令，，则，
所以，函数在上为增函数，
由，可得，
所以，函数的单调递增区间为，
所以，，则，即实数的最小值为.
故答案为：.
【分析】
由已知不等式变形得出，令，可知函数在上为增函数，利用导数求出函数的增区间，即可得出实数的取值范围，即可得解.
17．（2024高二上·西湖期末）已知O为坐标原点，动点P到两个定点的距离的比，记动点P的轨迹为曲线C，
（1）求由线C的方程；
（2）若直线l过点，曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程．
【答案】（1）解：由题知，设点，
则，所以，
即，整理得，
所以曲线是圆心为，半径等于的圆，
故曲线的方程为：.
（2）解：若直线的斜率不存在，则直线的方程为：，
与的交点坐标为，此时弦长等于，满足题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为：，
曲线截所得弦长等于，所以，解得：，
圆心到直线的距离，
所以，解得，
则直线的方程为：，即
综上，直线的方程为：或.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）直接根据条件列式，化简整理可得曲线的方程，进而判断曲线类型；
（2）分为两种情况讨论：若直线的斜率不存在，直接验证；若直线的斜率存在，设直线的方程为，由弦长可得圆心到直线的距离，列出方程可求得.
（1）由题知，设点，
则，所以，
即，整理得，
所以曲线是圆心为，半径等于的圆，
故曲线的方程为：.
（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为：，
与的交点坐标为，此时弦长等于，满足题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为：，
曲线截所得弦长等于，所以，解得：，
圆心到直线的距离，
所以，解得，
则直线的方程为：，即
综上，直线的方程为：或.
18．（2024高二上·西湖期末）已知函数
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的值域.
【答案】解：（Ⅰ）由题意，函数 ，则 ，
则 ，即切点为 ，切线斜率为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（Ⅱ）由 ，令 ，解得 或
当 变化时， 与 的变化情况如下表：
0
0 0 　
0 减 极小值 增
所以函数在区间 上的最小值为 ，最大值为 ，
即函数 在区间 上的值域为 ．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据题意首先得出函数的导函数，利用导数得出切线斜率为 ，从而得出曲线 在点 处的切线方程 。
（2）根据题意令 ，得 或 ，利用导数得出函数在区间 上的最值，从而得出函数 在区间 上的值域。
19．（2024高二上·西湖期末）已知数列的前项和为，且，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】解：（1）因为，所以，
两式相减得，
又，
所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
故数列的通项公式为.
（2）据（1）可得，
所以
，
，
两式相减得
，
化简得.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用化简已知条件，证得数列是等比数列，进而求得数列的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求得.
20．（2024高二上·西湖期末）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为平行四边形，，在等腰直角中，，M为PD的中点，．
（1）求证：平面BCP；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：四边形的对角线互相平分，，为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面.
（2）解：因为，又为的中点，，
又，，平面，所以平面.
以点为坐标原点，以、分别为轴、轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，，
，，，，
，，，，
所以，，，，
，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
由，得，令，可得，
由，得，令，可得，
，则，
所以二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）分析可知为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可得出结论；
（2）证明出平面，然后以点为坐标原点，以、分别为轴、轴，过且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果.
（1）四边形的对角线互相平分，，为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面.
（2）因为，又为的中点，，
又，，平面，所以平面.
以点为坐标原点，以、分别为轴、轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，，
，，，，
，，，，
所以，，，，
，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
由，得，令，可得，
由，得，令，可得，
，则，
所以二面角的正弦值为.
21．（2024高二上·西湖期末）已知函数．
（1）求函数的极值点和零点；
（2）若恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时单调递增，
当时单调递减，
所以函数在时取得极大值，函数没有极小值，
所以函数的极值点只有1个，即极大值点，无极小值点.
因为， 当时，，
当时，
所以只有一个零点1.
（2）解：要使恒成立，即恒成立，
令，则.
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在时取得极大值也是最大值，，
要使恒成立，则，
即实数k的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导，利用导数性质，结合函数极值点的定义和零点的定义进行求解即可；
（2）运用常变量分离法，构造函数，利用导数研究函数单调性、极值，进行求解即可.
（1）函数定义域为，，
当时单调递增，
当时单调递减，
所以函数在时取得极大值，函数没有极小值，
所以函数的极值点只有1个，即极大值点，无极小值点.
因为， 当时，，
当时，
所以只有一个零点1.
（2）要使恒成立，即恒成立，
令，则.
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在时取得极大值也是最大值，，
要使恒成立，则，
即实数k的取值范围是.
22．（2024高二上·西湖期末）已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，A为C的上顶点，且的周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．
【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为．因为的周长为，
所以，①
因为椭圆的离心率为，所以，②
由①②解得，．
则．
所以椭圆的方程为
（2）解：设，，
联立，消元得，
当，即时，
则，，
则
，
当为定值时，即与无关，故，得，
此时
，
又点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时成立，
所以面积的最大值为1．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的定义可知的周长为，结合离心率，即可求解；
（2）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得，若恒为定值，则与无关，即可求得值；将代回可得，设点到直线的距离，则，利用均值不等式即可求解.
（1）设椭圆的半焦距为．因为的周长为，
所以，①
因为椭圆的离心率为，所以，②
由①②解得，．
则．
所以椭圆的方程为．
（2）设，，
联立，消元得，
当，即时，
则，，
则
，
当为定值时，即与无关，故，得，
此时
，
又点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时成立，
所以面积的最大值为1．
1 / 1浙江省浙大附中玉泉校区2023-2024学年高二上学期期末数学试题
1．（2024高二上·西湖期末）直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·西湖期末）已知数列为等差数列，，，则公差为（　　）
A．1 B．3 C．2 D．4
3．（2024高二上·西湖期末）几何体是平行六面体，底面为矩形，其中，且，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·西湖期末）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·西湖期末）已知上可导函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024高二上·西湖期末）跑步是一项常见的有氧运动，能增强人体新陈代谢和基础代谢率，是治疗和预防“三高”的有效手段.赵老师最近给自己制定了一个180千米的跑步健身计划，计划前面5天中每天跑4千米，以后每天比前一天多跑0.4千米，则他要完成该计划至少需要（　　）
A．23天 B．24天 C．25天 D．26天
7．（2024高二上·西湖期末）已知数列满足，且对任意的都有，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·西湖期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（　　）
A． B． C． D．5
9．（2024高二上·西湖期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（　　）
A．若空间向量，满足，则
B．若非零向量，满足，则有
C．若是空间的一组基底，且，则四点共面
D．若向量是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
10．（2024高二上·西湖期末）若方程 所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是（　　）
A．若 ，则C为椭圆
B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则
C．曲线C可能是圆
D．若C为双曲线，则
11．（2024高二上·西湖期末）已知直线，下列命题中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则或
C．原点到直线的最大距离为
D．若的倾斜角分别为，且，则
12．（2024高二上·西湖期末）如图，正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是（　　）
A．当在表面上运动时，三棱锥的体积为定值
B．当在线段中点时，平面截正方体所得截面的面积为
C．当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D．使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为
13．（2024高二上·西湖期末）双曲线的右焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为　 　．
14．（2024高二上·西湖期末）已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为　 　.
15．（2024高二上·西湖期末）已知数列满足，，则　 　.
16．（2024高二上·西湖期末）若对任意的、，且当时，都有，则的最小值是　 　.
17．（2024高二上·西湖期末）已知O为坐标原点，动点P到两个定点的距离的比，记动点P的轨迹为曲线C，
（1）求由线C的方程；
（2）若直线l过点，曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程．
18．（2024高二上·西湖期末）已知函数
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的值域.
19．（2024高二上·西湖期末）已知数列的前项和为，且，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20．（2024高二上·西湖期末）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为平行四边形，，在等腰直角中，，M为PD的中点，．
（1）求证：平面BCP；
（2）求二面角的正弦值．
21．（2024高二上·西湖期末）已知函数．
（1）求函数的极值点和零点；
（2）若恒成立，求实数k的取值范围．
22．（2024高二上·西湖期末）已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，A为C的上顶点，且的周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】由已知得，
故直线斜率
由于倾斜的范围是，
则倾斜角为.
故答案为：B.
【分析】先将直线方程化为斜截式，可求斜率，再根据斜率与倾斜角的关系可得答案.
2．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为数列为等差数列，，，
所以，，
解得：，，
故答案为：C.
【分析】
利用等差数列的通项公式即可求解.
3．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】因为底面是矩形，所以，
又因为，
所以，，
因为，
所以，
故答案为：D
【分析】
将用来表示，然后向量求模即可.
4．【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】设，
则，解得：.
故答案为：B
【分析】利用抛物线定义代入即可求解.
5．【答案】C
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由图象知的解集为，的解集为，
或，
所以或，解集即为．
故答案为：C
【分析】
由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论．
6．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设需要 天完成计划，由题意易知每天跑步的里程为 ，从第6项开始以 为首项，0.4为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ，化简可得： ，
因为 在 上单调递增，
当 时， ，当 时， ，
故满足条件的最小 .
故答案为：C.
【分析】 利用题中的条件，易知每天跑步的里程为等差数列，求其前n项和即可解出答案.
7．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】因为对任意的都有，
则数列单调递增；
又，
所以只需，即，解得.
故答案为：D.
【分析】
由数列的单调性列不等式组，解出参数，即可求解.
8．【答案】D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式；与直线有关的动点轨迹方程
【解析】【解答】由已知表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
所以，
过点作，垂足为，
因为直线的方程为，，
所以，
又直线与直线平行，，
所以，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以，
又，当且仅当三点共线时等号成立，
所以当点为线段与直线的交点时，
取最小值，最小值为，
因为过点与直线垂直的直线的方程为，
联立，可得，
所以点的坐标为，所以，
所以的最小值为，
故答案为：D.
【分析】
根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和求目标函数最小值.
9．【答案】C,D
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理；向量的数量积判断向量的共线与垂直；相等向量
【解析】【解答】对于A，模长相等方向可不同，显然A错误；
对于B，由于空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行，所以B错误；
对于C，由平面的向量示可知是空间的一组基底，则三点不共线.由，，可判断四点共面，故C正确；
对于D，若向量是空间一组基底，则对空间中的任何一个向量，存在唯一的实数组，使得，于是，所以也是空间的一组基底，故D正确.
故答案为：C、D
【分析】
结合空间向量定义可直接判断A错误；由空间的垂直关系可判断B错误；由四点共面的结论可判断C正确；由基底向量的定义化简可判断D正确.
10．【答案】A,D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：对于A选项，当 时，曲线为C表示圆，故不正确；
对于B选项，当曲线C为焦点在 轴上的椭圆时，则 ，解得 ，故正确；
对于C选项，当 时，曲线为C表示圆的方程，故正确；
对于D选项，当曲线C为双曲线时，则 ，解得 或 ，故错误；
综上，错误的是AD.
故答案为：AD.
【分析】根据题意依次讨论各选项即可得答案.
11．【答案】A,C
【知识点】二倍角的正切公式；直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】对A，若，则，解得，故A正确；
对B，若，则且，解得，故B错误；
对C，因为，则过定点，
所以原点到直线的距离，所以的最大值为，故C正确；
对D，的倾斜角为，若时，与轴垂直，所以，
而，所以，此时直线的斜率为，
所以，所以，与假设矛盾，所以，所以直线的斜率存在，
即，由得，
所以，得到，解得，
当，直线斜率均为负数，倾斜角都为钝角，不满足，故D错误.
故答案为：A、C.
【分析】
根据直线垂直和平行得到关于的方程，解出即可判断A正确、B错误，求出所过定点即可求出最大值，从而判断C正确；首先排除斜率不存在的情况，再利用二倍角的正切公式得到关于的方程，解出即可判断D错误.
12．【答案】B,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】选项A：当在表面上运动时，由于的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长，
所以三棱锥的体积不变，且，所以A错误；
选项B：由平面在两平行平面上的交线互相平行，取的中点，的中点，的中点，
连接，，，，延长，一定与交于一点，
所以，，，四点共面，同理可证，，，四点共面，
则过点，，作正方体的截面，截面为正六边形，边长为，
设正六边形对角线交点为，则正六边形的面积为，故B正确；
选项C：当在底面上运动，以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，
可得，，，，，，设，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，，所以，
因为平面，所以，可得，
所以，当时，等号成立，所以C正确；
选项D：因为直线与平面所成的角为45°，由平面，得直线与所成的角为45°，
若点在平面和平面内，因为，，故不成立；
若点在平面内，此时点的轨迹是；
若点在平面内，此时点的轨迹是；
若点在平面时，作平面，如图所示，
因为，所以，又因为，所以，所以，
所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点的轨迹的长度为，
综上，点的轨迹的总长度为，所以D正确；
故答案为：B、C、D．
【分析】
求出三棱锥的底面积和高即可判断A错误；作出截面图形即可判断B项正确；
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用向量关系即可确定点坐标满足的关系，从而可求长度的表达式，进而判断C项正确；分在各个面内讨论，可判断D项正确.
13．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】根据题意，双曲线的方程为，
则其标准方程为：，
其右焦点坐标为，即，
则有，解可得，
故双曲线的方程为，
其渐近线方程为，
故答案为：.
【分析】
先将双曲线方程化为标准方程，再根据得到关于的方程，解出值，再利用渐近线方程即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】取直线的方向向量为，
因为，，
所以，，，，
所以点到直线的距离为.
故答案为：.
【分析】
利用向量的坐标运算及向量的单位化公式，结合点到直线的距离公式即可求解.
15．【答案】1023
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】数列中，，
则，，，
，，
，，
，。
故答案为：1023。
【分析】利用已知条件结合递推关系，再利用代入法得出数列第十项的值。
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题意可知，、均为正数，则，所以，，
因为，由可得，
所以，，
令，，则，
所以，函数在上为增函数，
由，可得，
所以，函数的单调递增区间为，
所以，，则，即实数的最小值为.
故答案为：.
【分析】
由已知不等式变形得出，令，可知函数在上为增函数，利用导数求出函数的增区间，即可得出实数的取值范围，即可得解.
17．【答案】（1）解：由题知，设点，
则，所以，
即，整理得，
所以曲线是圆心为，半径等于的圆，
故曲线的方程为：.
（2）解：若直线的斜率不存在，则直线的方程为：，
与的交点坐标为，此时弦长等于，满足题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为：，
曲线截所得弦长等于，所以，解得：，
圆心到直线的距离，
所以，解得，
则直线的方程为：，即
综上，直线的方程为：或.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）直接根据条件列式，化简整理可得曲线的方程，进而判断曲线类型；
（2）分为两种情况讨论：若直线的斜率不存在，直接验证；若直线的斜率存在，设直线的方程为，由弦长可得圆心到直线的距离，列出方程可求得.
（1）由题知，设点，
则，所以，
即，整理得，
所以曲线是圆心为，半径等于的圆，
故曲线的方程为：.
（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为：，
与的交点坐标为，此时弦长等于，满足题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为：，
曲线截所得弦长等于，所以，解得：，
圆心到直线的距离，
所以，解得，
则直线的方程为：，即
综上，直线的方程为：或.
18．【答案】解：（Ⅰ）由题意，函数 ，则 ，
则 ，即切点为 ，切线斜率为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（Ⅱ）由 ，令 ，解得 或
当 变化时， 与 的变化情况如下表：
0
0 0 　
0 减 极小值 增
所以函数在区间 上的最小值为 ，最大值为 ，
即函数 在区间 上的值域为 ．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据题意首先得出函数的导函数，利用导数得出切线斜率为 ，从而得出曲线 在点 处的切线方程 。
（2）根据题意令 ，得 或 ，利用导数得出函数在区间 上的最值，从而得出函数 在区间 上的值域。
19．【答案】解：（1）因为，所以，
两式相减得，
又，
所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
故数列的通项公式为.
（2）据（1）可得，
所以
，
，
两式相减得
，
化简得.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用化简已知条件，证得数列是等比数列，进而求得数列的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求得.
20．【答案】（1）证明：四边形的对角线互相平分，，为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面.
（2）解：因为，又为的中点，，
又，，平面，所以平面.
以点为坐标原点，以、分别为轴、轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，，
，，，，
，，，，
所以，，，，
，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
由，得，令，可得，
由，得，令，可得，
，则，
所以二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）分析可知为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可得出结论；
（2）证明出平面，然后以点为坐标原点，以、分别为轴、轴，过且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果.
（1）四边形的对角线互相平分，，为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面.
（2）因为，又为的中点，，
又，，平面，所以平面.
以点为坐标原点，以、分别为轴、轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，，
，，，，
，，，，
所以，，，，
，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
由，得，令，可得，
由，得，令，可得，
，则，
所以二面角的正弦值为.
21．【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时单调递增，
当时单调递减，
所以函数在时取得极大值，函数没有极小值，
所以函数的极值点只有1个，即极大值点，无极小值点.
因为， 当时，，
当时，
所以只有一个零点1.
（2）解：要使恒成立，即恒成立，
令，则.
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在时取得极大值也是最大值，，
要使恒成立，则，
即实数k的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导，利用导数性质，结合函数极值点的定义和零点的定义进行求解即可；
（2）运用常变量分离法，构造函数，利用导数研究函数单调性、极值，进行求解即可.
（1）函数定义域为，，
当时单调递增，
当时单调递减，
所以函数在时取得极大值，函数没有极小值，
所以函数的极值点只有1个，即极大值点，无极小值点.
因为， 当时，，
当时，
所以只有一个零点1.
（2）要使恒成立，即恒成立，
令，则.
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在时取得极大值也是最大值，，
要使恒成立，则，
即实数k的取值范围是.
22．【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为．因为的周长为，
所以，①
因为椭圆的离心率为，所以，②
由①②解得，．
则．
所以椭圆的方程为
（2）解：设，，
联立，消元得，
当，即时，
则，，
则
，
当为定值时，即与无关，故，得，
此时
，
又点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时成立，
所以面积的最大值为1．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的定义可知的周长为，结合离心率，即可求解；
（2）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得，若恒为定值，则与无关，即可求得值；将代回可得，设点到直线的距离，则，利用均值不等式即可求解.
（1）设椭圆的半焦距为．因为的周长为，
所以，①
因为椭圆的离心率为，所以，②
由①②解得，．
则．
所以椭圆的方程为．
（2）设，，
联立，消元得，
当，即时，
则，，
则
，
当为定值时，即与无关，故，得，
此时
，
又点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时成立，
所以面积的最大值为1．
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