人教版九年级数学上册第二十二章 22.1.1二次函数同步练习【提升版】（含答案）

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人教版九年级数学上册第二十二章 22.1.1二次函数同步练习
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________
一、单选题
1．二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．y随x增大而减小 C．与x轴无交点 D．顶点坐标是
6．顶点为（-2,0），开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
7．关于抛物线，下列说法错误的是( )
A．开口向上 B．当时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线 D．顶点
8．关关于二次函数y=-2（x-2）2+1的图像，下列叙述不正确的是（ ）
A．对称轴为直线x=2 B．顶点坐标为（-2，1）
C．开口向下 D．与x轴有两个交点
9．下面的三个问题中都有两个变量：①某种商品以每件x元出售，可卖出件，该商品的销售总额y与售价x．②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．抛物线y＝2（x+1）2﹣2与y轴的交点的坐标是（　　）
A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，﹣1） D．（0，0）
二、填空题
11．二次函数y＝(x+2)2＋3的图象的顶点坐标是 ．
12．当x≥m时，两个函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2和y2＝﹣（x﹣3）2＋1的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为 ．
13．如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为 ．
14．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 .
15．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，则直线的表达式为 ．
16．已知点在抛物线上（是实数），有以下说法：
①无论取何实数，的值都小于0；
②无论取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上运动；
③无法确定的值，值随的变化而变化；
④有最大值，其最大值为15；
正确的结论有 ．
17．二次函数，当 时，函数值可取最小值为 ．
三、解答题
18．请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．

19．定义：在平面直角坐标系中，一条抛物线经过平移后，得到一条抛物线，如果这两条抛物线的顶点和坐标原点能构成一个等腰直角三角形，那么我们称这两条抛物线互为等勾股抛物线，也可以说其中一条抛物线是另一条抛物线的等勾股抛物线．
（1）求证：抛物线与抛物线是等勾股抛物线；
（2）若抛物线与抛物线是等勾股抛物线，求的值．
（3）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，请你直接写出该抛物线的等勾股抛物线的解析式．
20．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，．
（1）求代数式mn的值；
（2）若二次函数的图象经过点B，求代数式的值；
（3）若反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，且该交点在直线的下方，结合函数图象，求的取值范围．
21．已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．
（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
1．B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数（其中a、b、c是常数，），其顶点坐标是，据此可得答案．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是，
故选B．
2．A
【分析】根据抛物线顶点式直接得出抛物线的对称轴即可．
【详解】解：抛物线是抛物线的顶点式，
根据抛物线的顶点式可知抛物线的对称轴是直线，
故选：A
【点睛】此题考查顶点式抛物线的对称轴，利用抛物线顶点式函数图像的性质求得抛物线对称轴是解题关键．
3．B
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将向左平移1个单位所得直线解析式为：；
再向下平移2个单位为：．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式得到抛物线对称轴为直线，再由，则点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，当时，离对称轴越远，函数值越大，则，当时，离对称轴越远，函数值越小，则，两种情况都可以得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵抛物线经过点，，，
∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，
当时，离对称轴越远，函数值越大，则，
∴，
∴，
当时，离对称轴越远，函数值越小，则，
∴，
∴，
综上所述，下列不等式一定成立的是D，
故选：D．
5．D
【分析】根据得出图形开口向上，化成一般式，根据的值，即可判断图象和轴的交点坐标，根据对称轴即可判断选项、．
【详解】解：、，
，
图象的开口向上，故本选项错误，不符合题意；
、对称轴是直线，开口向上，
时，y随x增大而减小；
时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意；
、令，解得：，，
故与轴有交点，选项错误，不符合题意；
、根据，可得顶点坐标为：，选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质的应用，主要考查学生的观察能力和理解能力，解题的关键是用了数形结合思想．
6．C
【分析】由开口方向、形状与函数的图象相同，即可得到k的值，然后根据顶点坐标，即可得到正确的解析式.
【详解】解：由开口方向、形状与函数的图象相同，
∴，
∵顶点为（-2,0），
∴抛物线的表达式为.
故选择：C.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握性质特征.
7．B
【分析】二次函数的图像和性质，根据解析式画出图像，即可得到答案．
【详解】接：根据解析式，画出二次函数图像，如图所示，
A．开口向上，说法正确，不符合题意；
B．当时，y随x的增大而增大，说法错误，符合题意；
C．对称轴是直线，说法正确，不符合题意；
D．顶点，说法正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，图像的开口方向、图像的增减性、对称轴、顶点坐标是本题的关键．
8．B
【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：由二次函数y=-2（x-2）2+1可知：a=-2＜0，
所以开口向下，顶点坐标为（2，1），对称轴为x=2，二次函数的图像与x轴有两个交点，故A、C、D正确，B错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及其性质，解题的关键是熟悉二次函数的图像.
9．A
【分析】本题主要考查了函数图象、函数解析式等知识点，先分别求出各个问题的解析式、然后再判定图像是不是开口向下的抛物线即可解答；求出各个问题的解析式是解题的关键．
【详解】解：①商品的销售总额x，
是一个开口向下的二次函数，可以用如图所示的图象表示，故①符合题意．
②假设绳子长度为100，一边长为x，矩形的面积，
是一个开口向下的二次函数，可以用如图所示的图象表示，故②符合题意，
③将水箱中的水匀速放出，直至放完，变量y与变量x之间的函数关系成反比例关系，图像不是抛物线，故③不符合题意．
故选：A．
10．D
【详解】试题解析：x=0时，y=2（x+1）2-2=2（0+1）2-2=0，
所以，与y轴交点的坐标是（0，0）．
故选D．
11．(-2,3)
【分析】根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标．
【详解】解：∵y＝(x+2)2＋3，
∴二次函数y＝(x+2)2＋3的图象的顶点坐标是（-2，3）.
故答案为(-2，3).
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
12．4
【分析】先确定两个函数的开口方向和对称轴，再得出符合条件的x的取值范围，从而得到m的最小值．
【详解】解：函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2开口向下，对称轴为直线x=4，
函数y2＝﹣（x﹣3）2＋1开口向下，对称轴为直线x=3，
当函数值都随着x的增大而减小，
则x≥4，即m的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的基本性质．
13．
【分析】先把解析式设为顶点式，再根据抛物线形状相同，则二次项系数相同，据此可得答案．
【详解】解：设该抛物线解析式为，
∵抛物线的形状与的形状相同，
∴，
∴该抛物线解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于熟知抛物线形状相同，则二次项系数相同．
14．
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后比较三个点离直线x=2的远近得到y1，y2，y3的大小关系．
【详解】∴抛物线的对称轴为直线x=-2，
∵A（-4，y1），B（-3，y2），C（3，y3），
∴点A到对称轴的距离是2个单位，
点B到对称轴的距离是1个单位，
点C到对称轴的距离是5个单位，
∴点C离直线x=-2最远，点B离直线x=-2最近，
∵a＜0,
∴抛物线开口向下，有最大值，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值.其顶点坐标是(h，k)，对称轴为x=h.
15．/
【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式．求出、点的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可．
【详解】解：，
顶点的坐标为，
令，则，
的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的表达式为，
故答案为：．
16．②④/④②
【分析】根据抛物线解析式得出顶点坐标，可得抛物线的最大值为，不能得出的值都小于0，①错误；根据顶点坐标得出抛物线的顶点始终在直线上运动，②正确；根据抛物线的对称轴求出，可得③错误；由得出，然后得出c关于m的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出有最大值为15，则④正确．
【详解】解：①∵，
∴顶点坐标为，
∴抛物线的最大值为，不能得出的值都小于0，①错误；
②由①得顶点坐标为，
∵，
∴抛物线的顶点始终在直线上运动，②正确；
③∵点在抛物线上，
∴对称轴为直线：，
∴，③错误；
④∵，
∴，
∴，
∴，即有最大值为15，④正确；
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
17． 3
【分析】二次函数顶点式：，顶点坐标为（h，k），最值即为顶点纵坐标，即可完成.
【详解】二次函数顶点式：，顶点坐标为（h，k），
∴二次函数，顶点坐标为，
∴当时，函数值可取最小值为3
故答案为；3
【点睛】本题考查二次函数顶点式求顶点坐标和最值，难度较低，属于基础知识，熟练掌握相关知识点是解题关键.
18．画图见解析；①向左平移两个单位得到②；②的开口方向向上，对称轴是x=2，顶点坐标为（2，0）．
【分析】根据描点法，可得函数图象，根据，图象开口向上，对称轴是，顶点坐标是（，），可得答案．
【详解】解：列表：
-2 -1 0 1 2 3 4
2 0.5 0 0.5 2
2 0.5 0 0.5 2
描点：
连线，如图．
由图像可知，①向左平移两个单位得到②，
∴②的开口方向向上，对称轴是，顶点坐标为（2，0）．
【点评】本题考查了二次函数图象，利用描点法画函数图象，根据，图象开口向上，对称轴是，顶点坐标是（，）是解题关键．
19．（1）见解析；
（2）或；
（3），
，
，
【分析】（1）先求得顶点分别为与，再根据等勾股抛物线定义即可得出．
（2）根据等勾股抛物线定义，按直角顶点分类讨论即可．
（3）先求得顶点分别为，再根据等勾股抛物线定义即可得出
【详解】（1），，求得顶点分别为与，
易证，与原点构成的三角形为等腰直角三角形，
故：抛物线与抛物线是等勾股抛物线；
（2）由题可知：抛物线与抛物线是等勾股抛物线，
则，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，
则，，，
①若以为直角顶点，则，
即：，解得，则；
②若以为直角顶点，则，
即：，解得，不符合题意，舍去；
③若以为直角顶点，则,
即：，解得或（舍去），则；
的值为或；
（3）由题意，抛物线的顶点为，，
直线的解析式为，则设直线垂线的解析式为，
①若以点为直角顶点，将代入，解得，则，
如图，此时抛物线的等勾股抛物线的顶点应在直线上，
设其顶点坐标为，，
则由，得，解得或，
即等勾股抛物线的顶点为，
，
②若以点为直角顶点，则，
如图，此时抛物线的等勾股抛物线的顶点应在直线上，
设其顶点坐标为，，
则由，得，解得，
即等勾股抛物线的顶点为，
，
③若以点为直角顶点，取的中点，代入中，解得，则，
如图，此时抛物线的等勾股抛物线的顶点应在直线上，
设其顶点坐标为，，，
则由，得，解得或，
即等勾股抛物线的顶点为，
，
综上，抛物线的等勾股抛物线的解析式有：
，
，
，
【点睛】本题考查了二次函数与等腰直角三角形的综合问题，审清题意，抓住定义，分类讨论是解决问题的关键．
20．（1）4；（2）8；（3）或．
【详解】试题分析：（1）由A的坐标求出k的值，再把B的坐标代入反比例函数即可求出mn的值；
（2）把代入二次函数，可得，即，再由，原式可变形为，即可求出表达式的值；
（3）先求出反比例函数与直线的两个交点，，再结合图象可得出结论．
试题解析：（1）∵反比例函数的图象经过点，∴，∴反比例函数的解析式为，∵反比例函数的图象经过点，∴；
（2）∵二次函数的图象经过点，∴，∴，∴，由（1）得，∴原式-；
（3）由（1）得反比例函数的解析式为．令，可得，解得．∴反比例函数的图象与直线交于点，．当二次函数的图象经过点时，可得；
当二次函数的图象经过点时，可得．
∵二次函数的顶点为，∴由图象可知，符合题意的的取值范围是或．（注：只写或只写，减1分．）
考点：二次函数综合题．
21．（1）m的取值范围是；（2）抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．
【分析】（1）先根据抛物线解析式得到抛物线的顶点坐标为（，），再根据第二象限点的坐标特征进行求解即可；
（2）先求出抛物线的解析式，然后求出抛物线与坐标轴的交点，由此求解面积即可．
【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（，），
∵抛物线的顶点坐标在第二象限，
∴，
∴；
（2）当时，抛物线解析式为，
令，即，
解得或，
令，，
∴如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），
∴OD=3，AB=2，
∴，
∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．
【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，第二象限点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．
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