1.1菱形的性质与判定第3课时菱形的性质与判定的综合应用课件(共40张PPT) 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

(共40张PPT)
1.1 菱形的性质与判定
第3课时 菱形的性质与判定的综合应用
第一章 特殊的平行四边形
情境&导入
1．平行四边形的对边 ，对角 ，
对角线 ．
2．菱形具有 的一切性质．
3．菱形是 图形也是 图形．
4．菱形的四条边都 ．
5．菱形的两条对角线互相 ．
平行且相等
相等
互相平分
平行四边形
轴对称
中心对称
相等
垂直且平分
元素 菱形的性质 菱形的判定
边
角
对角线
如：菱形的四条边相等．
如：菱形的对角相等．
如：菱形的对角线
互相垂直且平分.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四
边形是菱形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
什么是菱形，菱形的性质有哪些？
复习回顾
文字语言 图形语言 符号语言
定义
性质
∴AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO
∵四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中,
AB=BC
∵四边形ABCD是菱形
一组邻边相等的平行四边形是菱形
菱形的对角线互相垂直平分
菱形的四条边相等
A
B
C
D
C
B
A
D
O
A
B
C
D
具有平行四边形的所有性质，是轴对称图形
∵四边形ABCD是菱形
C
B
A
D
O
∴AB=CD，BC=DA
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC， AO=CO，BO=DO
菱形的判定方法有哪些？
复习回顾
文字语言 图形语言 符号语言
判定法一
判定 法二
判定法三
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中,
AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
A
B
C
D
C
B
A
D
O
A
B
C
D
1.下列说法正确的是（ ）
Ａ．对角线垂直的四边形是菱形
Ｂ．对角线互相平分的四边形是菱形
Ｃ．菱形的对角线相等且互相平分
Ｄ．菱形的对角线互相垂直且平分
D
情景导入
如图所示：在□ABCD 中添加一个条件使其成为菱形：
添加方式1：_________________ .
添加方式2：_________________ .
一组邻边相等
AC⊥ BD
☆回忆：菱形有哪些判定？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
合作探究
想一想：菱形的面积怎么求？
A
B
C
D
菱形是特殊的平行四边形，可以根据求平行四边形的面积方法来求.
E
过点A作AE⊥BC于点E
S菱形ABCD=底×高=BC·AE
你还有别的方法吗？
如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
∴ S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO + AC·DO
= AC·(BO + DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
求菱形面积的方法：
A
B
C
D
归纳
A
B
C
D
E
菱形的面积 = 底×高
菱形的面积 = 对角线乘积的一半
O
归纳总结
菱形的面积计算有如下方法：
(1) 一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
(2) 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)；
(3) 两条对角线长度乘积的一半．
1. 如图，已知菱形的两条对角线分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高 DE 为（　　）
A. 2.4 cm B. 4.8 cm C. 5 cm D. 9.6 cm
B
练一练
典型例题
例3 如图，四边形ABCD 是边长为 13cm 的菱形，其中对角线 BD 长为 10 cm.
求：(1)对角线 AC 的长度； (2)菱形 ABCD 的面积.
13
10
分析：(1)由菱形的对角线互相垂直平分，如图，BD=2BE，AC=2AE，△AEB为直角三角形，再由勾股定理求AE即可.
典型例题
例3 如图，四边形ABCD 是边长为 13cm 的菱形，其中对角线 BD 长为 10 cm.
求：(1)对角线 AC 的长度； (2)菱形 ABCD 的面积.
13
10
解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，AC 与 BD 相交于点 E，
∴∠AED = 90°(菱形对角线互相垂直)，
DE = BD = ×10 = 5(cm)(菱形对角线互相平分).
∴AE = = = 12(cm).
∴AC = 2AE = 2×12 = 24(cm)(菱形的对角线互相平分).
典型例题
例3 如图，四边形ABCD 是边长为 13cm 的菱形，其中对角线 BD 长为 10 cm.
求：(1)对角线 AC 的长度； (2)菱形 ABCD 的面积.
13
10
分析：(2)因为对角线BD将菱形ABCD分成全等的△ABD和△BCD，所以菱形ABCD的面积等于△ABD和△BCD的面积和，即2倍的△ABD的面积.
24
典型例题
例3 如图，四边形ABCD 是边长为 13cm 的菱形，其中对角线 BD 长为 10 cm.
求：(1)对角线 AC 的长度； (2)菱形 ABCD 的面积.
13
10
24
解：(2)菱形ABCD的面积
=△ABD的面积＋△BCD的面积
=2×S△ABD
=2× ×BD×AE
=2× ×10×12
=120(cm )
你还有其它的方法吗？
典型例题
例3 如图，四边形ABCD 是边长为 13cm 的菱形，其中对角线 BD 长为 10 cm.
求：(1)对角线 AC 的长度； (2)菱形 ABCD 的面积.
13
10
分析：(2)利用对角线求菱形的面积：
24
S菱形ABCD= AC·BD
解:(2)菱形的面积等于对角线乘积的一半.
S菱形ABCD= AC·BD
=120(cm )
如图两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？
平行四边形
做一做
如图两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是什么图形？为什么？
说一说你的理由？
根据纸条的两长边互相平行得ABCD是平行四边形；再由纸条等宽得两条邻边上的高相等，进而利用平行四边形的面积得两邻边相等；从而可证ABCD是菱形.
重叠的部分ABCD是菱形.
证明：∵等宽纸条对边平行，
∴AD∥BC， AB∥CD，∴□ABCD 是平行四边形，
从 A点作AM⊥DC 交于点 M,
作AN⊥BC交于点 N,
∵是两张等宽的纸，∴AM = AN.
∵□ABCD 是平行四边形，∴∠ABN=∠ADM，
∵AM⊥DC ，AN⊥BC，∴∠ANB =∠AMD = 90°，
∴△ABN≌△ ADM，∴AB = AD,
∴四边形 ABCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
1. 已知菱形的周长是 24 cm，那么它的边长是______.
2. 如图，菱形 ABCD 中∠BAD＝120°，
则∠BAC＝_____°.
6 cm
60
3. 如图，菱形的两条对角线长分别为 10 cm 和 24 cm，则菱形的边长
是（ ）
C
A. 10 cm B. 24 cm C. 13 cm D. 17 cm
A
B
C
D
O
4. 如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h.
解：在 Rt△AOB 中，OA＝5，OB＝12，
∴ S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30.
∴ S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
而菱形两对边的距离相等，
∴ S菱形ABCD＝AB·h＝13h.
∴ 13h＝120，解得 h＝ .
A
B
C
D
O
证明：由尺规作∠BAF 的平分线的过程可得
AB = AF，∠BAE =∠FAE.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC. ∴∠FAE =∠AEB.
∴∠BAE =∠AEB. ∴ AB = BE.
∴ BE = FA.
∴ 四边形 ABEF 为平行四边形.
∵ AB = AF，∴ 四边形 ABEF 为菱形.
5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，连接 EF．
（1）求证：四边形 ABEF 为菱形；
（2）AE，BF 相交于点 O，若 BF = 6，AB = 5，求 AE 的长．
解：∵ 四边形 ABEF 为菱形，
∴ AE⊥BF，BO = FB = 3，AE = 2AO．
在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 AO = 4，
∴ AE = 2AO = 8．
求菱形的面积方法：
菱形的性质与判定的运用
菱形的面积 = 底×高
菱形的面积 = 对角线乘积的一半
运用菱形的性质定理与判定定理解决一些证明与计算的综合性问题.
例3 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF.
(1) 求证：四边形 BCFE 是菱形；
证明：∵ D、E 分别是 AB、AC 的中点，
∴ DE∥BC，且 BC＝2DE.
又∵ BE＝2DE，EF＝BE，
∴ EF＝BC，EF∥BC.
∴ 四边形 BCFE 是平行四边形.
又∵ EF＝BE，∴ 四边形 BCFE 是菱形.
(2) 解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴ △EBC 是等边三角形，
∴ 菱形的边长为 4，高为 ，
∴ 菱形的面积为 .
(2) 若 CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积．
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
总结
2. 如图，在 □ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB = 2，求 □ABCD 的周长.
解：在 □ABCD 中，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC =∠ACB，∠BAC =∠ACD.
∵ AC 平分∠DAB，
∴∠DAC =∠BAC.∴∠DAC =∠ACD.
∴ AD = CD.
∴ 四边形 ABCD 为菱形.
∴ 菱形 ABCD 的周长为 4AB = 4×2 = 8.
练一练
A
B
C
D
【选自教材P9 随堂练习 第1题】
达标检测
1.菱形 ABCD 的周长为 40 cm，它的一条对角线BD 长 10 cm.
（1）求这个菱形的每一个内角的度数；
（2）求这个菱形另一条对角线的长.
解：（1）∵菱形 ABCD 的周长为 40 cm，
∴AB = BC = CD = DA = 10（cm）,
又∵BD = 10（cm），
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD = 60°，∴∠BCD = 60°，
∠ABC =∠CDA = 120°.
【选自教材P9 随堂练习 第1题】
1.菱形 ABCD 的周长为 40 cm，它的一条对角线BD 长 10 cm.
（1）求这个菱形的每一个内角的度数；
（2）求这个菱形另一条对角线的长.
（2）∵△AEB是直角三角形，
AB =10（cm），BE = 5（cm），
AE = = = （cm）.
AC = 2AE = （cm）
【选自教材P9 随堂练习 第2题】
2. 已知，如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠BAC = 60°，
BC 的垂直平分线分别交 BC 和 AB 于点 D、E，点 F 在 DE 延长线上，且 AF = CE, 求证：四边形 ACEF 是菱形.
证明：由题意知，∠BCA=90°，∠BAC=60°.
又∵ DE 为 BC 垂直平分线，
∴ DF∥AC，∠ECD=∠B=30°，即∠ECA=60°，∴CA = CE =AE.
又∵AF = CE，∴AF = AE.
∵∠FEA =∠EAC= 60°=∠F，∴ EF = AF = AE，
∴AF=EF=CE=CA，∴四边形 ACEF 是菱形.
【选自教材P9 习题1.3 第1题】
3.已知：如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AB 和 BC 上的点，且 BE = BF，
求证：(1)△ADE≌CDF； (2) ∠DEF=∠DFE.
证明: (1)在菱形ABCD中, ∠C=∠A,
AD = DC = BC = AB.
∵BE = BF ,∴AE = CF,
∴△ADE≌△CDF .
(2)由(1)可知, DE = DF.
∴∠DEF =∠DFE.
【选自教材P9 习题1.3 第2题】
4. 证明：菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半.
证明: 如图，∵四边形 ABCD为菱形.
∴AC⊥BD，AO = CO，BO = DO.
∵S菱形ABCD = S△AOB + S△BOC + S△COD + S△DOA
= OA·OB + OB ·OC + OC ·OD + OD ·OA
= OB ·AC + OD ·AC
= AC ·BD，
即菱形的面积等于其对角线乘积的一半.
【选自教材P9 习题1.3 第3题】
5. 如图，在菱形 ABCD ，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC = 16，BD = 12，求菱形 ABCD 的高 DH .
解: ∵ AB·DH = AC·BD，
而 AC = 16，BD = 12，AB = 10，
∵ DH = ×16×12÷10 = 9.6.
【选自教材P9 习题1.3 第4题】
6. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD = BC，点 E，F，G，H 分别是 AB，CD，AC，BD 的中点. 求证：四边形 EGFH 是菱形.
证明: ∵点 E, F, G, H 分别是 AB, CD, AC, BD 的中点,
∴FG＝EH ＝ AD , GE ＝ HF ＝ BC．
∵AD ＝ BC, ∴ FG ＝ GE＝ EH ＝ HF．
∴四边形 EGFH 是菱形．
课堂小结
菱形的面积等于其对角线乘积的一半.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的定义
定理
定理
面积
练习&巩固
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
A
B
C
O
D
A
B
D
C
a
h
(1)S = a·h.
(2)S = AC·DB.
O
菱形的面积计算公式：
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
如图你能用一张锐角三角形纸片 ABC 折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？
先沿着红色线对折，使AB与AC重合；
再沿着蓝色线对折；
最后沿着绿色线对折。