人教版八年级数学上名师点拨精练第11章三角形微专题 三角形内角和及外角关系的应用（含解析）

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人教版八年级数学上名师点拨精练
第11章 三角形
微专题 三角形内角和及外角关系的应用
敲黑板
三角形的内角和定理与三角形外角的性质是角的有关计算及推理论证时经常使用的理论依据，利用三角形的内角与外角的关系求角度时，要通过内角和外角的互相转化，联系已知和未知，求出角的度数也就顺理成章。
类型1三角形内角和在叠放中的应用
例1-1．阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN=90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：
若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB=_____度；∠ABP+∠ACP=_____度；
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 _____；
（3）变式探索：
如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 _____．
针对训练1
1．已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C．
（1）∠DBC+∠DCB=_____度；
（2）过点A作直线MN∥DE，若∠ACD=20°，试求∠CAM的大小．
2．一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角，则_____.
3．材料阅读：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”.
解决问题：
（1）观察“规形图”，试探究与，，之间的数量关系，并说明理由.
（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题.
①如图（2），把一块三角尺DEF放置在上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C，若，则_________°.
②如图（3），BD平分，平分，若，，求的度数.
类型2三角形内角和在折角中的应用
例2-1．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A. 2∠A＝∠1﹣∠2 B. 3∠A＝2（∠1﹣∠2）
C. 3∠A＝2∠1﹣∠2 D. ∠A＝∠1﹣∠2
针对训练2
1．如图，在△ABC中，∠A=20°，点D在边AC上（如图1），先将△ABD沿着BD翻折，使点A落在点A'处，A'B交AC于点E（如图2），再将△BCE沿着BE翻折，点C恰好落在BD上的点C'处，此时∠C'EB=66°（如图3），则∠ABC的度数为（　　）
A. 66° B. 23° C. 46° D. 69°
2．如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（　　）
A. 32° B. 45° C. 60° D. 64°
3．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A'，若∠C=120°，∠A=24°，则
∠A'DB的度数为 _____．
4．如图1，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O．
（1）若∠ABC＝66°，∠ACB＝34°，则∠A＝ °，∠O＝ °；
（2）探索∠A与∠O的数量关系，并说明理由；
（3）若ABCO，AC⊥BO，求∠ACB的度数．
（4）如图2，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点处，且平分∠ABC，平分∠ACB，若＝120°，则∠1＋∠2的度数为 ．
类型3三角形内角、外角在求角度中的应用
例1-1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=29°，CD是边AB上的高，E是边AB延长线上一点．
求：（1）∠CBE的度数；
（2）∠BCD的度数．
针对训练3
1．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=80°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点 E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
2．如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC=10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC=46°，求∠AFB的度数．
3．如图所示，AB，CD相交于点E，CF，BF分别为∠ACD和∠ABD的平分线且相交于点F，求证：∠F=（∠A+∠D）．
类型4三角形内角、外角在说明角的关系的应用
例4-1．如图△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
针对训练4
1．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
2．如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=38°，∠C=64°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B=α，∠C=β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE．
3．如图，在△ABC中，AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，且AE，CD相交于点F．
（1）若∠BAC=80°，∠ACB=40°，求∠AFC的度数；
（2）若∠B=80°，求∠AFC的度数；
（3）若∠B=x°，用含x的代数式表示∠AFC的度数．
类型5三角形内角、外角关系在方程思想中的应用
例5-1．如图，AD平分，，.
（1）求度数；
（2）若；求的度数.
针对训练5
1．如图,在中,是边上一点,,求的度数.
类型6三角形内角、外角关系在类比思想中的应用
例6-1．如图，D，E分别是锐角的边AC，BC上的点，P是与在同一平面内的一动点，且与点D，点E不在同一直线上，令，.
(1)如图，当P是的边AB上的一点时，已知，，，求的度数.
(2)当P是内一点时，直接写出，，和之间的数量关系.
(3)如图，当P是AB的延长线上一点时，探索，，和之间的数量关系并加以证明.
针对训练6
1．如图1，在中，，AD平分，E为AD（不与点A，D重合）上的一动点，于点F.
（1）若，，求的度数.
（2）求证：.
（3）如图2，在中，，AD平分，E为AD上一点，交BC延长线于点F，，，直接写出的度数（用含m，n的代数式表示）.
2．解答下列问题：
（1）【问题背景】小明在学习多边形时，把如图1的图形成为“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由；
(2)【尝试应用】如图2，AP、CP分别平分、，若，，求的度数；
小明结合(1)中的结论并利用方程思想轻松解答如下：
解：由AP、CP分别平分、，可设，，
由(1)的结论得：，①+②，
得
(3)【拓展延伸】如图3，已知，，，，请利用上述结论或方法求的度数.
类型7三角形内角、外角关系在直角坐标系中的应用
例7-1．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，直接写出∠ABO的度数=_____．
针对训练7
1．已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A，B均不与点O重合．
（1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，则∠AIB=_____．
（2）如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．
①若∠BAO=30°，则∠ADB=_____°．
②在点A，B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ADB的度数；若变化，请说明理由．
（3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF与∠BOP的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．
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第11章 三角形
微专题 三角形内角和及外角关系的应用
敲黑板
三角形的内角和定理与三角形外角的性质是角的有关计算及推理论证时经常使用的理论依据，利用三角形的内角与外角的关系求角度时，要通过内角和外角的互相转化，联系已知和未知，求出角的度数也就顺理成章。
类型1三角形内角和在叠放中的应用
例1-1．阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN=90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：
若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB=_____度；∠ABP+∠ACP=_____度；
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 _____；
（3）变式探索：
如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 _____．
【答案】(1)90;(2)40;(3)∠ABP+∠ACP=90°-∠A;(4)∠ACP-∠ABP=90°-∠A;
【解析】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题．
（2）结论：∠ABP+∠ACP=90°-∠A．利用三角形内角和定理即可证明．
（3）不成立；存在结论：∠ACP-∠ABP=90°-∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题．
解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∵∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP+∠ACP=130°-90°=40°，
故答案为：90，40；
（2）结论：∠ABP+∠ACP=90°-∠A．
证明：∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A=180°，
∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A=180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°，
∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．
故答案为：∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
（3）结论：∠ACP-∠ABP=90°-∠A，
理由是：设AB交PC于O，如图2：
∵∠AOC=∠POB，
∴∠ACO+∠A=∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A=90°+∠ABP，
∴∠ACP-∠ABP=90°-∠A，
故答案为：∠ACP-∠ABP=90°-∠A．
针对训练1
1．已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C．
（1）∠DBC+∠DCB=_____度；
（2）过点A作直线MN∥DE，若∠ACD=20°，试求∠CAM的大小．
【答案】90
【解析】（1）在△DBC中，根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB+∠D=180°，然后把∠D=90°代入计算即可；
（2）在Rt△ABC中，根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即，∴∠ABD+∠BAC=90°-∠ACD=70°，整体代入即可得出结论．
解：（1）在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
而∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°；
故答案为90；
（2）在△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠BAC=180°，
而∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠ABD+∠ACD=90°-∠BAC，
∴∠ABD+∠BAC=90°-∠ACD=70°．
又∵MN∥DE，
∴∠ABD=∠BAN．
而∠BAN+∠BAC+∠CAM=180°，
∴∠ABD+∠BAC+∠CAM=180°，
∴∠CAM=180°-（∠ABD+∠BAC）=110°．
2．一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角，则_____.
答案：130°
解析：如图，
由等边三角形和直角三角形可得，，
，
且，
，
，
故答案为130°.
3．材料阅读：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”.
解决问题：
（1）观察“规形图”，试探究与，，之间的数量关系，并说明理由.
（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题.
①如图（2），把一块三角尺DEF放置在上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C，若，则_________°.
②如图（3），BD平分，平分，若，，求的度数.
答案：（1）
（2）①50
②
解析：（1）如图，连接AD并延长至点F，
根据外角的性质可得，.
又，，
.
（2）①由（1）可得.
又，，
.
②由（1）可得，
，
.
又BD平分，平分，
，
.
类型2三角形内角和在折角中的应用
例2-1．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A. 2∠A＝∠1﹣∠2 B. 3∠A＝2（∠1﹣∠2）
C. 3∠A＝2∠1﹣∠2 D. ∠A＝∠1﹣∠2
【答案】A
【解析】根据折叠的性质可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到，，然后列式整理即可得解．
解：根据折叠的性质，得．
在中，，
在中，，
∴，即．
故选A．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及折叠的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质把角与角之间联系起来是解题的关键．
针对训练2
1．如图，在△ABC中，∠A=20°，点D在边AC上（如图1），先将△ABD沿着BD翻折，使点A落在点A'处，A'B交AC于点E（如图2），再将△BCE沿着BE翻折，点C恰好落在BD上的点C'处，此时∠C'EB=66°（如图3），则∠ABC的度数为（　　）
A. 66° B. 23° C. 46° D. 69°
【答案】D
【解析】根据翻折后对应角相等得到，利用已知条件和三角形的内角和等于180°，建立等量关系可求∠ABC的度数．
解：由题意可得，∠C'EB=∠CEB=66°，
设∠ABC=x,则，
∵三角形的内角和等于180°，
∴在△ABC中，∠A+∠ABC=180°-∠C，即20°+x=180°-∠C；
在△BCE中，∠CEB+∠CBE=180°-∠C，即；
∴，
解得：x=69°，
故选：D．
2．如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（　　）
A. 32° B. 45° C. 60° D. 64°
【答案】D
【解析】由折叠的性质得到∠D=∠B=32°，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
解：如图所示：
由折叠的性质得：∠D=∠B=32°，
根据外角性质得：∠1=∠3+∠B，∠3=∠2+∠D，
∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+64°，
∴∠1-∠2=64°．
故选：D．
3．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A'，若∠C=120°，∠A=24°，则
∠A'DB的度数为 _____．
【答案】108°
【解析】根据三角形的内角和等于180°求出∠B，根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE=∠B，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
解：∵∠C=120°，∠A=24°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-24°-120°=36°，
∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，
∴∠ADE=∠B=36°，
∠A′DE=∠ADE=36°，
∴∠A′DB=180°-36°-36°=108°．
故答案为：108°．
4．如图1，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O．
（1）若∠ABC＝66°，∠ACB＝34°，则∠A＝ °，∠O＝ °；
（2）探索∠A与∠O的数量关系，并说明理由；
（3）若ABCO，AC⊥BO，求∠ACB的度数．
（4）如图2，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点处，且平分∠ABC，平分∠ACB，若＝120°，则∠1＋∠2的度数为 ．
【答案】（1）80，40
（2）∠A=∠O；理由见解析
（3）∠ACB=60°；
（4）120°
【解析】（1）由三角形内角和定理可求∠A，求出∠OBC，和∠BCO，再由三角形内角和定理即可求出结论；
（2）由题中角平分线可得∠O=∠OCD-∠OBC=∠ACD-∠ABC，进而得出∠A=180°-∠ABC-180°+∠ACD=∠ACD-∠ABC，即可得出结论；
（3）AC与BO交于点E，由OCAB，证得∠ABO=∠O，由AC⊥BO，证得∠AEB=90°，故2∠O+∠O=90°，进而证得∠A=60°，∠ABC=2∠ABO即可证得结论；
（4）连接，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵∠ABC=66°，∠ACB=34°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°，
∵∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O，
∴∠OBC=∠ABC=33°，∠OCD=（180°-34°）=73°，
∴∠O=∠OCD-∠OBC=40°，
故答案为：80、40；
【小问2详解】
解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠ABC，
∵CO平分∠ACD，
∴∠ACO=∠ACD，
如图，AC与BO交于点E，
∵∠AEB=∠CEO，
∴∠A+∠ABO=∠O+∠ACO，
∴∠A+∠ABO=∠O+∠ACD，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠ABO，
∴∠A+∠ABO=∠O+∠A+∠ABO，
∴∠A=∠O；
【小问3详解】
解：如图，AC与BO交于点E，
∵OCAB，
∴∠ABO=∠O，
∵AC⊥BO，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABO=90°，
∴2∠O+∠O=90°，
∴∠O=30°，
∴∠A=60°，∠ABC=2∠ABO=60°，
∴∠ACB=60°；
【小问4详解】
解：如图，连接，
∵平分∠ABC，平分∠ACB，
∴=∠ABC，=∠ACB，
∵=120°，
∴=180°-120°=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BAC=180°-120°=60°，
∵沿DE折叠，
∴，，
∵∠1=，∠2=，
∴∠1+∠2=2=2∠BAC=2×60°=120°，
故答案为：120°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识．
类型3三角形内角、外角在求角度中的应用
例1-1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=29°，CD是边AB上的高，E是边AB延长线上一点．
求：（1）∠CBE的度数；
（2）∠BCD的度数．
【解析】（1）依据三角形外角的性质，即可得到∠CBE的度数；
（2）依据同角的余角相等证得BCD=∠A，可求得结果．
解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=29°，∠CBE是△ABC的外角，
∴∠CBE=∠ACB+∠A=90°+29°=119°；
（2）∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=90°．
∴∠A+∠ACD=90°．
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠A=29°，
∴∠BCD=∠A=29°．
针对训练3
1．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=80°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点 E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【解析】（1）根据三角形的外角的性质求出∠CBD，根据角平分线的定义计算，得到答案；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=∠ACB-∠CBE，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB即可．
解：（1）∵在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=80°，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=110°，
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=55°；
（2）∵∠ACB=80°，∠CBE=55°，
∴∠CEB=∠ACB-∠CBE=80°-55°=25°，
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
2．如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC=10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC=46°，求∠AFB的度数．
【解析】根据直角三角形的性质求出∠BAD的度数，得到∠BAC的度数，根据邻补角的性质求出∠CAM的度数，根据角平分线的定义求出∠MAE的度数，根据三角形的外角的性质计算即可．
解：∵AD是高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠ABC=44°，又∠DAC=10°，
∴∠BAC=54°，
∴∠MAC=126°，
∵AE是∠BAC外角的平分线，
∴∠MAE=∠MAC=63°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠ABC=23°，
∴∠AFB=∠MAE-∠ABF=40°．
3．如图所示，AB，CD相交于点E，CF，BF分别为∠ACD和∠ABD的平分线且相交于点F，求证：∠F=（∠A+∠D）．
【解析】由角的平分线得出∠1=∠2，∠3=∠4，再由三角形内角和定理和三角形的外角性质，即可得出结论．
解：如图所示：
∵CF、BF分别是∠ACD和∠ABD的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△AMC和△FMB中，∠A+∠1=∠3+∠F①，
在△AEC和△DEB中，∠A+∠1+∠2=∠3+∠4+∠D，
即∠A+2∠1=2∠3+∠D②，
由①×2-②得，∠A=2∠F-∠D，
即2∠F=∠A+∠D，
∴∠F=（∠A+∠D）．
类型4三角形内角、外角在说明角的关系的应用
例4-1．如图△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠CDE=40°
（2）∠BAD=36°
（3）∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD，理由见解析
【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，从而求得∠AED的度数，根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，从而得到∠AED的度数，进而得到∠ADB的度数，再利用外角的性质于是得到结论；
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，如图3，当点D在点C的右侧时，∠ADC=x°-α，根据题意列方程组即可得到结论．
【小问1详解】
∵∠B=∠C=35°，
∴∠BAC=110°，
∵∠BAD=80°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=75°-35°=40°；
【小问2详解】
∵∠ACB=75°，∠CDE=18°，
∴∠E=75°-18°=57°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=57°，
∴∠ADC=57°-18°=39°，
∵∠ABC=∠ADC+∠DAB=75°，
∴∠BAD=36°；
【小问3详解】
设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，
如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，
，
①-②得，，
∴；
如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，
，
②-①得，，
∴；
如图3，当点D在点C的右侧时，∠ADC=x°-α，
，
②-①得，，
∴；
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和，正确识别图形,注意分类讨论是解题的关键．
针对训练4
1．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
【解析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q=90°-∠A，求出∠E=∠A，∠EBQ=90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E；④∠E=2∠Q；分别列出方程，求解即可．
（1）解：∵∠A=80°．
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×100°=130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB=（∠MBC+∠NCB）
=（360°-∠ABC-∠ACB）
=（180°+∠A）
=90°+∠A
∴∠Q=180°-（90°+∠A）=90°-∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E=∠A；
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
=∠ABC+∠MBC
=（∠ABC+∠A+∠ACB）=90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，则90°-∠A=∠A，解得∠A=60°；
④∠E=2∠Q，则∠A=2（90°-∠A），解得∠A=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
2．如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=38°，∠C=64°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B=α，∠C=β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE．
【解析】（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．
（2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．
解：（1）∵∠B=38°，∠C=64°，
∴∠BAC=78°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=39°，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=77°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠DAE=90°-∠ADE=13°．
（2）∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°-α-β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=90°-（α+β），
∴∠ADE=∠B+∠BAD=α+90°-（α+β），
∵FE⊥BC，
∴∠FEB=90°，
∴∠DFE=90°-∠ADE=（β-α）．
3．如图，在△ABC中，AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，且AE，CD相交于点F．
（1）若∠BAC=80°，∠ACB=40°，求∠AFC的度数；
（2）若∠B=80°，求∠AFC的度数；
（3）若∠B=x°，用含x的代数式表示∠AFC的度数．
【解析】（1）根据∠BAC=80°，∠ACB=40°，可以得到∠FAC和∠FCA的度数，然后根据三角形内角和，即可求得∠AFC的度数；
（2）根据∠B的度数，可以求得∠BAC+∠BCA的度数，然后根据角平分线的定义和三角形内角和可以计算出∠AFC的度数；
（3）根据角平分线的定义和三角形内角和可以用含x的代数式表示出∠AFC．
解：（1）∵∠BAC=80°，∠ACB=40°，AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC=40°，∠FCA=20°，
∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°；
（2）∵∠B=80°，
∴∠BAC+∠BCA=100°，
∵AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC+∠FCA=50°，
∴∠AFC=130°；
（3）∵∠B=x°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-x°，
∵AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC+∠FCA=（180°-x°），
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-（180°-x°）=90°+x°．
类型5三角形内角、外角关系在方程思想中的应用
例5-1．如图，AD平分，，.
（1）求度数；
（2）若；求的度数.
答案：（1）
（2）
解析：（1），
，
平分，
，
，
，
；
（2）设，则，，
，
，
，
，
解得，
.
针对训练5
1．如图,在中,是边上一点,,求的度数.
答案：设,则.
.
在中,,
,
,解得,
故的度数为30°.
类型6三角形内角、外角关系在类比思想中的应用
例6-1．如图，D，E分别是锐角的边AC，BC上的点，P是与在同一平面内的一动点，且与点D，点E不在同一直线上，令，.
(1)如图，当P是的边AB上的一点时，已知，，，求的度数.
(2)当P是内一点时，直接写出，，和之间的数量关系.
(3)如图，当P是AB的延长线上一点时，探索，，和之间的数量关系并加以证明.
答案：(1)
(2)或
(3)，见解析
解析：(1)如图，连接PC，
， ，，
，
；
(2)如图，当点P位于DE下方时，
则，，
，
即，
，
，
如图，当点P位于DE上方时，
则，即，
，
二者相减得：，
又，
，
整理得；
(3)证明：如图，设DP与BC交于点Q，
，
，
，
针对训练6
1．如图1，在中，，AD平分，E为AD（不与点A，D重合）上的一动点，于点F.
（1）若，，求的度数.
（2）求证：.
（3）如图2，在中，，AD平分，E为AD上一点，交BC延长线于点F，，，直接写出的度数（用含m，n的代数式表示）.
答案：（1）80°
（2）证明见解析
（3）
解析：（1），
，
又，
，
又，
，
又AD平分，
，
；
（2）由（1）可知，，
，
，
，
，
；
（3）AD平分∠BAC，
，，
，
，
，
，
，
，
，
.
2．解答下列问题：
（1）【问题背景】小明在学习多边形时，把如图1的图形成为“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由；
(2)【尝试应用】如图2，AP、CP分别平分、，若，，求的度数；
小明结合(1)中的结论并利用方程思想轻松解答如下：
解：由AP、CP分别平分、，可设，，
由(1)的结论得：，①+②，
得
(3)【拓展延伸】如图3，已知，，，，请利用上述结论或方法求的度数.
答案：(1)证明：【问题背景】在中，，在中，，
，
；
(2)【尝试应用】、CP分别平分.
，，
由(1)的结论得：，
①+②，得，
.
(3)由(1)可得，
，，
，，
，
，
由(1)可知，，
，
.
类型7三角形内角、外角关系在直角坐标系中的应用
例7-1．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，直接写出∠ABO的度数=_____．
【答案】60°或45°
【解析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线得出∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；
（3））由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．
解：（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠ABO）=45°，
∴∠AEB=135°；
（2）∠CED的大小不变．
延长AD、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠MBA=270°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠F=45°，
∴∠FDC+∠FCD=135°，
∴∠CDA+∠DCB=225°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE+∠DCE=112.5°，
∴∠E=67.5°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．
在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的3倍，故有：
①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；
②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍弃）；
③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍弃）．
∴∠ABO为60°或45°．
故答案为：60°或45°．
针对训练7
1．已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A，B均不与点O重合．
（1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，则∠AIB=_____．
（2）如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．
①若∠BAO=30°，则∠ADB=_____°．
②在点A，B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ADB的度数；若变化，请说明理由．
（3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF与∠BOP的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．
【答案】(1)135°;(2)45;
【解析】（1）由角平分线性和三角形内角和定理，建立∠BIA=和∠BOA=180°-（∠OAB+∠OBA）的关系；
（2）①根据已知条件可求出所需要角的度数，然后根据外角定理进行具体计算即可得到；
②由①的思路，设∠BAO=α，用含α的代数式表示∠CBA和∠BAD，然后代入计算即可证明不变．
（3）∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF，得到∠DAF=90°，由一个角是另一角的三倍，分两种情况讨论：
①当∠DAF=3∠ADF时，∠ADF=30°，结合∠BOP的平分线可求得∠OAI=15°，求得∠OAB=30°，得到∠OBA=90°-30°=60°；
②当∠AFD=3∠ADF时，∠ADF=25°，结合∠BOP的平分线可求得∠OAI=20°，求得∠OAB=40°，得到∠OBA=90°-45°=45°．
解：（1）∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴，
∴∠BIC=180°-∠IBA-∠IAB
=
=
=
=
=90°+α，
∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，
∴∠BOA=90°，
∴，
故答案为：135°．
（2）①∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，
∴∠BOA=90°，
∵∠BAO=30°，
∴∠ABM=120°，
∵AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，
∴，∠BAD==15°，
∴∠ADB=∠CBA-∠BAD=60°-15°=45°，
故答案为：45．
②不变，∠ADB=45°．
设∠BAO=α，
∵AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，
∴，∠MBA=90°+α，，
∴∠ADB=∠CBA-∠BAD=45，
∴不变，∠ADB=45°．
（3）∵∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF，
∴∠DAF=90°，
∵一个角是另一角的3倍，
∴分两种情况讨论：
①当∠DAF=3∠ADF时，∠ADF=30°，
∵OF为∠BOP的平分线，
∴∠DOA=135°，
∴∠OAI=15°，
∴∠OAB=30°，
∴∠OBA=90°-30°=60°；
②当∠AFD=3∠ADF时，∠ADF=22.5°，
∵OF为∠BOP的平分线，
∴∠DOA=135°，
∴∠OAI=22.5°，
∴∠OAB=45°，
∴∠OBA=90°-45°=45°．
∴∠OBA等于60°或45°．
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