2024-2025学年湖南省长沙市天心区怡海中学九年级（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市天心区怡海中学九年级（上）入学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. ，， B. C. D. ，，
3.我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至年月上旬，上线慕课数量超过万门，学习人次达，建设和应用规模居世界第一用科学记数法将数据表示为( )
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.关于二次函数，下列说法正确的是( )
A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象的对称轴在轴的右侧
C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为
7.将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，平移后所得新抛物线的表达式为( )
A. B. C. D.
8.如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一．设彩条的宽为，根据题意可列方程( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点则正确的是( )
A. 若，则四边形为矩形
B. 若，则四边形为菱形
C. 若是平行四边形，则与互相平分
D. 若是正方形，则与互相垂直且相等
10.如图，在 中，，是的中点，作，垂足在线段上连接、，则下列结论中一定成立的是( )
；；；．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是，，，由此可知______种秧苗长势更整齐填“甲”、“乙”或“丙”．
12.方程的两个根是，，那么二次函数与轴的交点坐标是______．
13.若关于的一元二次方程的一个根为，则值是______．
14.如图，在中，，平分交于点，，
垂足为，若，，则的长为______．
15.如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若为的中点，则的长为______．
16.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线下列结论：；；；为实数其中结论正确的有______填所以正确的序号
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.某商场试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过，
经试销发现，销售量件与销售单价元符合一次函数，且，；时，，
求出一次函数的解析式；
若该商场获利为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；
售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？
四、解答题：本题共8小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
计算：．
19.本小题分
解下列一元二次方程
；
．
20.本小题分
已知，是关于的一元二次方程的两个实数根．
求的取值范围；
若，求的值．
21.本小题分
年月日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情某校为了普及“航空航天”知识，从该校名学生中随机抽取了名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩分 百分比
组
组
组
组
组
根据所给信息，解答下列问题：
本次调查的成绩统计表中 ______，并补全条形统计图；
这名学生成绩的中位数会落在______组填、、、或；
试估计该校名学生中成绩在分以上包括分的人数．
22.本小题分
如图直线：经过点，．
求直线的表达式；
若直线与直线相交于点，与轴相交于点求四边形的面积；
根据图象，直接写出关于的不等式的解集．
23.本小题分
如图，在平行四边形中，平分，交于点，交的延长线于点．
求证：；
若，，，求的长．
24.本小题分
我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点，则把该函数称为“和谐函数”，其图象上这一点，称为“和谐点”，例如：“和谐函数”，其“和谐点”为．
在下列关于的函数中，是“和谐函数”的，请在相应的题目后面括号中打“”．
______；
______；
______．
若点、点是“和谐函数”其中上的“和谐点”，且，求的取值范围；
若“和谐函数”的图象上存在唯一的一个“和谐点”，且当时，的最小值为，求的值．
25.本小题分
如图，抛物线与轴交于点与点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．
求抛物线的解析式；
在点的运动过程中，是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
当点在第一象限时，连接，设的面积为，的面积为，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.甲
12.、
13.
14.
15.
16.
17.解：将，代入中，
解得：，
．
，
，
．
又，
即，
则时获利最多，
将代入，得元．
答：售价定为元有最大利润为元．
18.解：
．
19.解：，
，
或，
解得，，；
，
，
，
，
或，
解得，，．
20.解：，是关于的一元二次方程的两实数根，
，
，
解得：；
，，
又，
，
，
解得舍去，，
．
21．
补全条形统计图如图所示．
．
人．
估计该校名学生中成绩在分以上包括分的人数约人．
22.解：将，代入得，，
解得，
直线的表达式为；
联立，
解得，
，
当时，，
解得，
，
，
四边形的面积为；
由题意知，关于的不等式的解集为直线在直线上方部分，直线在轴以及轴上方部分所对应的的取值范围，
由图象可知，不等式的解集为．
23.证明：平行四边形，
，
，
平分，
，
，
；
解：平行四边形，
，
，，
，，
，，，
≌，
，
如图，连接，
，
，，，
，
由勾股定理得，，
的长为．
24.，，；
是“和谐函数”，
，
整理得，，
点、点是“和谐函数”上的“和谐点”，
设，，
，，，
，
，
，
；
“和谐函数”的图象上存在唯一的一个“和谐点”，
，且，
，
，
，
是关于的二次函数，对称轴为，
若，即，当时，有最小值，
，
或舍去；
若，即，当时，有最小值，
，
解得舍去；
若，即，当时，有最小值，
，
解得；
综上所述：或．
25.解：将，，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
如图，连接，过作直线，使，过作于，过作轴于，作于，
，
，
，
，
又，，
≌，
，，
设，则，，，，
，，
解得，，
，
设直线的解析式为，
将，代入得：
，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得或，
，
存在点，使，；
如图，过作轴于，
设，则，
，，
，
由题意知，，
，，
，
的取值范围为．
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