宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高三上学期第一次月考试题 数学（含答案）

银川一中2025届高三年级第一次月考
数 学 试 卷
命题教师：
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．命题：，的否定是
A．， B．，
C．， D．，
2．已知函数则的值为
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．3
3．“ ”是“函数 在上单调递增”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，则的大小关系为
A． B． C． D．
5．在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是
A． B． C． D．
6．函数的图象经过点，则关于的不等式解集为
A． B．
C． D．
7．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为
的三角形，其面积可由公式求得，其中，
这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足，则
此三角形面积的最大值为
A．6 B．6 C．12 D．12
定义在上的偶函数满足，当时，，设函数
，则函数与的图象所有交点的横坐标之和为
A．2 B．4 C．6 D．8
二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9．下列运算正确的是
A． B．
C． D．
10. 已知函数是定义域为上的奇函数，满足，下列说法正确的有
A．函数的周期为4 B．
C． D．
11．已知函数其中，且，则
A． B．函数有2个零点
C． D．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一个元素，
则实数a的值为 ．
13．已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值
是 ．
14．已知函数在区间上存在一个零点，用二分法求该零点的近似值，
其参考数据如下：，，，
，，，据此可得该零点的近似
值为 ．（精确到）
四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．(13分)
已知，，均为正数，且.
(1)证明：；
(2)若，求，的值，并比较，，的大小.
16．(15分)
已知函数，当时，.
(1)求的值；
(2)已知，求的解析式.
17．(15分)
已知函数且．
(1)求实数a的值；
(2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围．
18．(17分)
已知函数与函数，函数的定义域为．
(1)求的定义域和值域；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围；
(3)已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用上述结论，求函数的对称中心．
19．(17分)
银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；
乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．
(1)设技术改造后，甲方案第n年的利润为（万元），乙方案第n年的利润为（万元），请写出、的表达式；
(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据，
2025届高三第一次月考试卷答案
一、单选题
1． D 2． C 3． A 4． B
5． C 6． B 7． B 8． B
二、多选题
9． BD 10. ABD 11． ACD.
三、填空题
12．. 13．4 14．.
四、解答题
15．已知，，均为正数，且.
(1)证明：；
(2)若，求，的值，并比较，，的大小.
【详解】（1）令，则，，，
，.
，，.
（2），，则，
，，
.
，，.
16．已知函数，当时，.
(1)求的值；
(2)已知，求的解析式.
【详解】（1），
即
，
，
，当且仅当，即取等号，
又，.
（2）由，
得 ，
又当时，
所以两式相加可得 ，
所以
17．已知函数且．
(1)求实数a的值；
(2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围．
【详解】（1）因为且，
所以，解得；
（2）由（1）可得，
当时，函数在上单调递减，且；
当时，则在上单调递增，
在上单调递减，且，，即；
所以的图象如下所示：
因为函数在上恰有两个零点，
即函数与在上恰有两个交点，
由图可知或，即实数的取值范围为.
18．已知函数与函数，函数的定义域为．
(1)求的定义域和值域；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围；
(3)已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用上述结论，求函数的对称中心．
【详解】（1）由题意可得．
由，得，故．
又，且，
的值域为；
（2），即，则．
存在，使得成立，
．
而，
当，即时，取得最小值，
故；
（3）设的对称中心为，
则函数是奇函数，
即是奇函数，
则恒成立，
恒成立，
所以恒成立，
所以，
因为上式对任意实数恒成立，
所以，得，
所以函数图象的对称中心为．
19．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；
乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．
(1)设技术改造后，甲方案第n年的利润为（万元），乙方案第n年的利润为（万元），请写出、的表达式；
(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据，
【答案】(1)，,
(2)采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多
【详解】（1）对于甲方案，
1年后，利润为1（万元）．
2年后，利润为，
3年后，利润为（万元），
……
故年后，利润为（万元），
因此，
对于乙方案，
1年后，利润为1（万元）．
2年后，利润为，
3年后，利润为（万元），
……
故年后，利润为（万元），
因此，
（2）甲方案十年共获利（万元），
10年后，到期时银行贷款本息为（万元），
故甲方案的净收益为（万元），
乙方案十年共获利（万元），
贷款本息为（万元），
故乙方案的净收益为（万元），
由，故采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多