陕西省西安市西安中学2024-2025学年高三上学期开学考试 数学（含答案）

陕西省西安中学高2025届高三摸底考试
数学试题 （时间：120分钟 满分：150分 ）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.已知a，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.随机变量的分布列如下表：
0 1
P a b
若，则( )
A. B. C. D.
5.若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是( )
A. B. 0 C. 1 D. 3
6．假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，）
A．85 B．100 C．150 D．225
7.某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是( )
A. 124 B. 246 C. 114 D. 108
8.已知函数且，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列运算结果为1的有( )
A. B.
C. D.
10.设，，，则( )
A. ab的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为8 D. 的最小值为
11.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则下列正确的有( )
A. 从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为
B. 从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为
C. 从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4
D. 从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.在二项式展开式中，常数项为__________.
13.已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为__________.
14.定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数a的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为.
(1)求的解析式；
(2)设，若在上是单调函数，求实数的取值范围.
16．甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立.已知甲答对每题的概率均为p，乙答对每题的概率均为，且某道题两人都答对的概率为，都答错的概率为
求p，q的值;
乙回答3题后，记乙的积分为X，求X的分布列和期望
17.随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线，某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调査，得到如下表的统计数据：
周平均锻炼时间少于5小时 周平均锻炼时间不少于5小时 合计
50岁以下 80 120 200
50岁以上含 50 150 200
合计 130 270 400
根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？
现从50岁以上含的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调査问卷，记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式及数据：，其中
18.已知函数
当时，求的值域；
若最小值为，求m的值；
在的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围．
19.创新是民族的灵魂，某大型企业对其产品进行研发与创新，根据市场调研与模拟，得到研发投入亿元与研发创新的直接收益亿元的数据统计如下：
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 13 22 31 42 50 56 58 68 66 66
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为：
根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的决定系数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测该企业对产品创新改造的投入为17亿元时的直接收益．
回归模型 模型① 模型②
回归方程
附：刻画回归效果的决定系数，，决定系数数值越大，说明拟合效果越好
为鼓励科技创新，当研发的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较研发改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．
附：，
研发改造后，该公司F产品的效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对研发团队的奖励方案如下：若F产品的效率不超过，不予奖励；若F产品的效率超过但不超过，每件F产品奖励2万元；若F产品的效率超过，每件F产品奖励5万元．求每件F产品获得奖励的数学期望．
附：随机变量服从正态分布，则，
陕西省西安中学高2025届高三摸底考试
数学参考答案
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A A B C B
选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
题号 9 10 11
答案 BCD ABD ACD
三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12. 60 13. 5 14.
三、解答题：(本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分)
15.（本小题满分13分）
解：（1）因为不等式的解集为，
所以和为关于的方程的两根，且二次函数的开口向上，
则可设，，即，
由的图象过点，可得，解得，
所以，即. ...............................8分
（2）因为，对称轴，
因为在上是单调函数，所以或，解得或，
即实数的取值范围. ...............................13分
16.（本小题满分15分）
解：由题意得，，解得； ...............................6分
由题意知，X的所有取值为0，40，80，120，
则，，
，，
故X的分布列为
...............................12分
...............................15分
17.（本小题满分15分）
解：零假设周平均锻炼时长与年龄无关联，
由列联表中的数据，可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关联
...............................6分
抽取的8人中，周平均锻炼时长少于5小时的有人，
不少于5小时的有人， ...............................8分
则X所有可能的取值为，
所以，，， ...............................12分
所以随机变量X的分布列为：
X 1 2 3
P
所以数学期望 ...............................15分
18.（本小题满分17分）
设，，，，
其对称轴方程为，故函数在上单调递增，
当时，，故所求值域为； ...............................5分
函数的最小值为，，
当时，在R上单调递增，没有最小值；
当时，可知时，y取得最小值；
即，解得或舍去，
综上，； ...............................10分
由题意，有实数解，
即，可得，
要使此不等式有解，只需即可，
当且仅当时取等号，
，
，解得，
即实数a的取值范围为 ...............................17分
19.（本小题满分17分）
由表格中的数据，有，即，
所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，
所以当亿元时，研发改造直接收益的预测值为
亿元， ...............................5分
由已知可得：，
，
所以，
所以当亿元时，y与x满足的线性回归方程为，
当亿元时，研发改造直接收益的预测值为；
当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，
所以研发改造投入20亿元时，公司的实际收益更大； ...............................10分
因为，
所以，，
因为，
所以，
所以，
设每件F产品获得奖励为万元，则Y的分布列为：
Y 0 2 5
P
所以每件F产品获得奖励的期望值为：
万元 ..........................17分