江西省宜春市丰城市重点中学2023-2024学年下学期开学考试七年级数学试题
一、选择题（本大题共6小题，共18分）
1．（2024七下·丰城开学考）若ma＝mb，那么下列等式不一定成立的是（ ）
A．a＝b B．ma﹣6＝mb﹣6
C．﹣ma+8＝﹣mb+8 D．ma+2＝mb+2
【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：当m≠0， ma＝mb， 则a=b. 若m=0，ma＝mb 不成立，因为分母为0时等式无意义，故A符合题意. 其余三个选项均正确.
故答案为：A.
【分析】根据等式的基本性质解答此题.
2．（2024七下·丰城开学考）下列现象中，（ ）是平移
A．“天问”探测器绕火星运动 B．篮球在空中飞行
C．电梯的上下移动 D．将一张纸对折
【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：A. “天问”探测器绕火星运动不是平移，故此选项不符合题意；
B. 篮球在空中飞行不是平移，故此选项不符合题意；
C. 电梯的上下移动是平移，故此选项符合题意；
D. 将一张纸对折不是平移，故此选项不符合题意
故答案为：C.
【分析】将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，由此可得答案.
3．（2024七下·丰城开学考）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
C．连接直线外一点与直线上各点的所有直线中，垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】A
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：根据条件，有a⊥AB，b⊥AB，根据“同位角相等，两直线平行”，可以得出a∥b. 只有A选项符合.
故答案为：A.
【分析】根据同位角相等（本题中两同位角皆等于90°），两直线平行的判定法选择.
4．（2024七下·丰城开学考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】已知，
∴，
故答案为：A.
【分析】观察已知等式可知：立方数向左（向右）移到三位，立方根向左（向右）移到一位，据此解答即可.
5．（2024七下·丰城开学考）OB是∠AOC内部一条射线，OM是∠AOB平分线，ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，OQ是∠MOA平分线，则∠POQ：∠BOC＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：5 D．1：4
【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ ON是∠AOC的平分线，
∴.
∵ OM是∠AOB的平分线，
∴.
∵ OP是∠NOA的平分线，
∴，
∵ OQ是∠MOA的平分线，
∴
∴
∴.
故答案为：D.
【分析】本题利用角平分线的定义，结合等量关系，对等式右边进行扩展，得出含∠BOC的式子，最终化简得出的等量关系式.
6．（2024七下·丰城开学考） 如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内CD上方的一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β中，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】D
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
7．（2024七下·丰城开学考）16的算术平方根是
【答案】4
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵4 =16，
∴=4．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
8．（2024七下·丰城开学考）父子二人今年的年龄和为44岁，已知两年前父亲的年龄是儿子的4倍，那么今年儿子的年龄是 ．
【答案】10
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设今年儿子x岁，则今年父亲（44-x）岁，
依题意，得：44-x-2=4（x-2），
解得：x=10．
故答案为：10．
【分析】设今年儿子x岁，则今年父亲（44-x）岁，依题意可列出方程，解之即可。
9．（2024七下·丰城开学考）若∠a＝73°30'，则∠α的补角的度数是 ．
【答案】106°30'
【知识点】补角
【解析】【解答】解：∠α的补角=180°-73°30'=106°30'.
故答案为：106°30'.
【分析】若∠α与∠β互为补角，则有∠α+∠β=180°.
10．（2024七下·丰城开学考）若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m为 ．
【答案】1或﹣3
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：根据题意，∵ 2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，
∴2m-4+3m-1=0，解得m=1；
或2m-4=3m-1，此时解得m=-3，
故答案为：1或﹣3.
【分析】若a，b为同一个数的平方根，则有两种可能的情况：①a=b；②a+b=0，即两数相等或两数互为相反数.
11．（2024七下·丰城开学考）如图，C岛在A岛的北偏东54°的方向上，C岛在B岛的北偏西38°的方向上，则从C岛看A，B两岛的视角∠C的度数是 ．
【答案】92°
【知识点】三角形内角和定理；方位角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：根据题意，有54°+∠CAB+38°+∠CBA=180°，即∠CAB+∠CBA=88°.
因此∠C=180°-（∠CAB+∠CBA）=180°-88°=92°.
故答案为：92°.
【分析】结合“两直线平行，同旁内角互补”性质以及三角形内角和，求出∠C.
12．（2024七下·丰城开学考）今年3月，“烂漫樱花地，最美英雄城”长江主题灯光秀在武汉展演，有两条笔直且平行的景观道AB、CD上放置P、Q两盏激光灯（如图所示），若光线PB按顺时针方向以每秒6°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；光线QC按顺时针方向每秒2°的速度旋转至QD边就停止旋转，若光线QC先转5秒，光线PB才开始转动，当光线PB旋转时间为 秒时，PB1∥QC1．
【答案】2.5或43.75
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：若QC先转5秒，此时∠C1QC=2×5=10°，而同一时刻PB开始旋转.
若PB第一次旋转到PA，用时180÷6=30秒，此时QC还没有旋转到QD.
因此分两种情况讨论：
①PB还没旋转到PA时，设PB旋转t秒后，PB1∥QC1 ，则有10+2t=6t，解得t=2.5；
②当PB旋转到PA后逆时针继续旋转，设PA旋转m秒后，PB1∥QC1，则有6m+2（30+m）+10=180，
解得m=13.75，总耗时为13.75+30=43.75秒.
故答案为：2.5或43.75.
【分析】结合两直线平行，同位角相等以及同旁内角互补解答. 注意，PB能往返旋转，QC则不会，因此需要分两种情况讨论.
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2024七下·丰城开学考）计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：原式.
（2）解：原式.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
14．（2024七下·丰城开学考）解下列方程：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：等式左边通分，得.
等式两边同乘以24，得.
去括号，得18y-30=20y-28.
移项边，得-2y=2，
系数化1，得y=-1.
（2）解：等式两边同时除以8，得.
∵.
∴.
解得.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；利用开立方求未知数
15．（2024七下·丰城开学考）已知4a﹣11的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是1，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求﹣2a+b﹣c的立方根．
【答案】（1）解：∵ 4a﹣11的平方根是±3 ，
∴4a-11=9，
解得a=5.
∵ 3a+b﹣1的算术平方根是1 ，
∴3a+b-1=1，
代入a=5，得15+b=2
解得b=-13.
∵16＜20＜25，
∴，即.
∴ 的整数部分是4，即c=4.
故答案为：a=5，b=-13，c=4.
（2）解：代入a、b、c的值得 ﹣2a+b﹣c =-2×5－13-4=-27，
-27的立方根是-3.
故﹣2a+b﹣c的立方根为-3.
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示；开立方（求立方根）
16．（2024七下·丰城开学考）小芳同学在解关于x的一元一次方程时，误将x﹣a抄成x+a，求得方程的解为x＝2，请帮小芳求出原方程正确的解．
【答案】解：根据题意，将x-a先用x+a代替，得 ，解为x=2，
代入得：，
解得a=2.
将a=2代入原方程，则为，
解方程得x=14.
故原方程正确的解为x=14.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；一元一次方程-错解复原问题
【解析】【分析】题目只是说把x-a抄错成x+a，但a本身没抄错，故先通过错解以及置换抄错项求出a值，再重新求解方程即可.
17．（2024七下·丰城开学考）如图，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，F在线段CD上，且∠1+∠2＝180°，DE∥BC．
（1）求证：∠3＝∠B；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．
【答案】（1）证明：∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠DFE，
∴AB∥EF，
∴∠3＝∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∴∠3＝∠B．
（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠EDC＝∠B，
∵∠2＝3∠B，∠2+∠ADE+∠EDC＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
又∵∠3＝∠B，
∴∠1＝∠3+∠EDC＝36°+36°＝72°．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）解题关键是证明出AB∥EF，然后就可以通过“内错角相等，两直线平行”以及“两直线平行，同位角相等”来证明 ∠3＝∠B ；
（2）根据（1）的结论以及条件DE平分∠ADC ，结合三角形外角性质可知∠1=∠3+∠EDC即2∠B，而∠2＝3∠B，即5∠B＝180°，解下来只需要求出∠B，再乘以2即为∠1.
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2024七下·丰城开学考）如图，点C为∠AOB外一点，先按要求在下图中作图，再回答问题：
（1）作图：①先过点C作直线OA的平行线交直线OB于点D，再过点C作直线OB的平行线交直线OA于点E；
②过点A作直线OB的垂线段，垂足为F，再过点A作直线OA的垂线，交射线OB于点G；
（2）线段 的长度是点A到直线OB的距离；
（3）结合作图，直接写出∠AOB与∠DCE的数量关系．
【答案】（1）解：①如图，直线CD，CE即为所求作．
②如图，线段AF，直线AG即为所求作．
（2）AF
（3）解：∠AOB+∠DCE＝180°
【知识点】作图-平行线；尺规作图-垂线；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；垂线段的概念
【解析】【解答】解：（2）点A到直线OB的距离即AF长；
故答案为：AF.
（3）∠AOB+∠DCE＝180°．理由如下：
∵CE∥BD，
∴∠CEO＝∠AOB，
∵CD∥OE，
∴∠DCE+∠CEO＝180°，
∴∠AOB+∠DCE＝180°．
故答案为：∠AOB+∠DCE＝180°．
【分析】（1）、根据题意要求作图即可；
（2）、因为AF⊥OB与F，根据点到直线距离的定义，AF即为A到OB的距离；
（3）、根据“两直线平行，同位角相等”以及“两直线平行，同旁内角互补”可以得出∠AOB+∠DCE＝180°.
19．（2024七下·丰城开学考）（1）已知+2＝x，且与互为相反数，求x，y的值．
（2）已知5+的小数部分为a，5﹣的小数部分为b，求a+b．
【答案】（1）解：∵+2＝x ，
∴，
∴，
当x-2=0，x=2；当x-2≠0时，有，解得x=1或x=3.
又∵与 互为相反数，
∴.
∴当x＝2时，y＝；
当x＝3时，y＝2；
当x＝1时，y＝．
（2）解：∵4＜7＜9，
∴，
∴的小数部分是.
∴的结果应为2+c（设c为的小数部分），则c=，
∴的小数部分为.
∴.
【知识点】无理数的估值；相反数的意义与性质；立方根的性质
【解析】【分析】（1）先根据第一个条件求出x的三个可能取值，根据x取值不同，y取值也不同；
（2）解题关键在于求出 的小数部分.然后代入求值即可.
20．（2024七下·丰城开学考）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）
甲 乙
进价（元/件） 20 30
售价（元/件） 26 40
（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
【答案】（1）解：设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（x+25）件，得：
20x+30（x+25）＝6000，
解得：x＝150，
∴x+25＝100．
答：该超市购进甲种商品150件、乙种商品100件.
（2）解：（26﹣20）×150+（40﹣30）×100＝1900（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1900元．
（3）解：设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据题意得：
（26﹣20）×150+（40×﹣30）×100×3＝1900+800，
解得：y＝9．
答：第二次乙商品是按原价打9折销售．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）、根据等量关系“甲进价×甲件数+乙进价×乙件数=6000”，设甲件数为未知量，并结合条件表示出乙件数，即可列一元一次方程求解；
（2）、根据（1）计算出的甲件数、乙件数，乘以各自利润价（售价-进价），求总和即可；
（3）、列方程求解不难，关键在于题目问的是“打几折”，日常生活中如打9折，实际是原价的十分之九，即打几折就是原价的十分之几，因此在设未知量的时候要注意表达形式.
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2024七下·丰城开学考）已知x＝﹣3是关于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解．
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是线段AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长．
（3）在（2）的条件下，已知点A所表示的数为﹣2，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有PD＝2QD？
【答案】（1）解：把x＝﹣3代入方程（k+3）x+2＝3x﹣2k得：
﹣3（k+3）+2＝﹣9﹣2k，
解得：k＝2；
（2）解：当k＝2时，BC＝2AC，AB＝6cm，
∴AC＝2cm，BC＝4cm，
当C在线段AB上时，如图，
∵D为AC的中点，
∴CD＝AC＝1cm．
即线段CD的长为1cm；
（3）解：在（2）的条件下，∵点A所表示的数为﹣2，AD＝CD＝1，AB＝6，
∴D点表示的数为﹣1，B点表示的数为4．
设经过x秒时，有PD＝2QD，则此时P与Q在数轴上表示的数分别是﹣2﹣2x，4﹣4x．分两种情况：
①当点D在PQ之间时，∵PD＝2QD，∴2x+1=2(5-4x)，解得x＝；
②当点Q在PD之间时，∵PD＝2QD，∴2x+1=2·（x-）·4，解得x＝．
答：当时间为或秒时，有PD＝2QD．
【知识点】数轴的点常规运动模型；解系数含参的一元一次方程
【解析】【分析】（1）、代入x值到原方程即可求解出k值；
（2）、已知AB长，且BC=2AC，而DC又等于AC的一半，则先求出AC，再求DC；
（3）、这里需要分两种情况分别讨论，即点D在PQ之间与点Q在PD之间两种情况.
22．（2024七下·丰城开学考）阅读下列解题过程：
；；；…
（1）＝ ，＝ ．
（2）观察上面的解题过程，则＝ （n为自然数）
（3）利用这一规律计算：．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：原式＝＝＝．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】（1）、，.
故答案为：；.
（2）、 .
故答案为：.
【分析】（1）与（2）、根据提示解题过程模仿解题即可，核心是先算出根号下的值，然后找出该值是哪个数的平方；（3）、关键是先算出每个括号里的差，会发现每一个分数的分子与前一个数的分母可约分，到最后的结果进行开方处理即可.
六、（本大题共12分）
23．（2024七下·丰城开学考） 将一副直角三角尺的直角顶点C按照如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），并能绕C点自由旋转．
（1）写出∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（2）当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，固定直角三角尺ACD，将直角三角尺ECB绕C点自由旋转．
①当EB∥AC时，∠ACE＝ △ °；
②要使CB∥AD，则∠ACE的度数为 △ °，请说明理由；
③直接写出分别使得CE∥AD，EB∥DC，EB∥AD的∠ACE的度数，在备用图中画出相应的草图，不必写出理由．
【答案】（1）解：∠ACB与∠DCE的数量关系是：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，∴∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB，∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+90°﹣∠DCB＝180°；
（2）当CE∥AD时，∠ACE的度数为120°或60°；
当EB∥DC时，∠ACE的度数为45°或135°；
当EB∥AD时，∠ACE的度数为15°或165°.
综上所述，当CE∥AD时，有以下两种情况：
当EB∥DC时，有以下两种情况：
当EB∥AD时，有以下两种情况：
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：（2）①当EB∥AC，则必有∠ECA=∠CEB=45°，∴∠ACE＝45°；
②要使 CB∥AD ，则必须要有∠DAC+∠BCA=180°.
∵∠DAC=60°，∴∠BCA=120°. ∴∠ACE=∠BCA-90°=30°.
③当CE∥AD时，如图5，∠ACE=180°-∠DAC=180°-60°=120°；或如图6，∠ACE=∠DAC=60°；
当EB∥DC时，如图7，∠ACE=∠EBC=45°；或如图8，∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠CEB=90°+45°=135°；当EB∥AD时，如图9，∵∠EBC=45°=∠ATC，且∠DAC=60°，∴∠TCA=180°-∠ATC-∠DAC=75°，∴∠ACE==90°-∠TCA=90°-75°=15°；或如图10，∵∠EHC=180°-∠DAC=180°-60°=120°，且∠CEH=45°，∴∠ACE=∠EHC+∠CEH=120°+45°=165°.
【分析】（1）若两把三角尺仅仅只有C点接触，其他部分并未重合，则明显地∠ACD＝∠BCE＝90°；若有部分重叠，则很明显，∠ACE=∠DCB，根据此各自写出 ∠ACB与∠DCE 的表达式，会发现其和为定值180°；
（2）①利用两直线平行，内错角相等可解答；
②利用两直线平行，同旁内角互补可解答；
③每种平行情况都会对应两种情况，因为在平面里，一条线段A平行于线段B，则线段A也必然平行于线段B绕其自身其中一个端点旋转180°后的线段. 每种情况根据平行的性质，结合三角尺每个角的度数，即可计算出结果.
1 / 1江西省宜春市丰城市重点中学2023-2024学年下学期开学考试七年级数学试题
一、选择题（本大题共6小题，共18分）
1．（2024七下·丰城开学考）若ma＝mb，那么下列等式不一定成立的是（ ）
A．a＝b B．ma﹣6＝mb﹣6
C．﹣ma+8＝﹣mb+8 D．ma+2＝mb+2
2．（2024七下·丰城开学考）下列现象中，（ ）是平移
A．“天问”探测器绕火星运动 B．篮球在空中飞行
C．电梯的上下移动 D．将一张纸对折
3．（2024七下·丰城开学考）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
C．连接直线外一点与直线上各点的所有直线中，垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
4．（2024七下·丰城开学考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七下·丰城开学考）OB是∠AOC内部一条射线，OM是∠AOB平分线，ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，OQ是∠MOA平分线，则∠POQ：∠BOC＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：5 D．1：4
6．（2024七下·丰城开学考） 如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内CD上方的一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β中，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
7．（2024七下·丰城开学考）16的算术平方根是
8．（2024七下·丰城开学考）父子二人今年的年龄和为44岁，已知两年前父亲的年龄是儿子的4倍，那么今年儿子的年龄是 ．
9．（2024七下·丰城开学考）若∠a＝73°30'，则∠α的补角的度数是 ．
10．（2024七下·丰城开学考）若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m为 ．
11．（2024七下·丰城开学考）如图，C岛在A岛的北偏东54°的方向上，C岛在B岛的北偏西38°的方向上，则从C岛看A，B两岛的视角∠C的度数是 ．
12．（2024七下·丰城开学考）今年3月，“烂漫樱花地，最美英雄城”长江主题灯光秀在武汉展演，有两条笔直且平行的景观道AB、CD上放置P、Q两盏激光灯（如图所示），若光线PB按顺时针方向以每秒6°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；光线QC按顺时针方向每秒2°的速度旋转至QD边就停止旋转，若光线QC先转5秒，光线PB才开始转动，当光线PB旋转时间为 秒时，PB1∥QC1．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2024七下·丰城开学考）计算：
（1）
（2）．
14．（2024七下·丰城开学考）解下列方程：
（1）
（2）．
15．（2024七下·丰城开学考）已知4a﹣11的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是1，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求﹣2a+b﹣c的立方根．
16．（2024七下·丰城开学考）小芳同学在解关于x的一元一次方程时，误将x﹣a抄成x+a，求得方程的解为x＝2，请帮小芳求出原方程正确的解．
17．（2024七下·丰城开学考）如图，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，F在线段CD上，且∠1+∠2＝180°，DE∥BC．
（1）求证：∠3＝∠B；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2024七下·丰城开学考）如图，点C为∠AOB外一点，先按要求在下图中作图，再回答问题：
（1）作图：①先过点C作直线OA的平行线交直线OB于点D，再过点C作直线OB的平行线交直线OA于点E；
②过点A作直线OB的垂线段，垂足为F，再过点A作直线OA的垂线，交射线OB于点G；
（2）线段 的长度是点A到直线OB的距离；
（3）结合作图，直接写出∠AOB与∠DCE的数量关系．
19．（2024七下·丰城开学考）（1）已知+2＝x，且与互为相反数，求x，y的值．
（2）已知5+的小数部分为a，5﹣的小数部分为b，求a+b．
20．（2024七下·丰城开学考）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）
甲 乙
进价（元/件） 20 30
售价（元/件） 26 40
（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2024七下·丰城开学考）已知x＝﹣3是关于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解．
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是线段AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长．
（3）在（2）的条件下，已知点A所表示的数为﹣2，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有PD＝2QD？
22．（2024七下·丰城开学考）阅读下列解题过程：
；；；…
（1）＝ ，＝ ．
（2）观察上面的解题过程，则＝ （n为自然数）
（3）利用这一规律计算：．
六、（本大题共12分）
23．（2024七下·丰城开学考） 将一副直角三角尺的直角顶点C按照如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），并能绕C点自由旋转．
（1）写出∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（2）当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，固定直角三角尺ACD，将直角三角尺ECB绕C点自由旋转．
①当EB∥AC时，∠ACE＝ △ °；
②要使CB∥AD，则∠ACE的度数为 △ °，请说明理由；
③直接写出分别使得CE∥AD，EB∥DC，EB∥AD的∠ACE的度数，在备用图中画出相应的草图，不必写出理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：当m≠0， ma＝mb， 则a=b. 若m=0，ma＝mb 不成立，因为分母为0时等式无意义，故A符合题意. 其余三个选项均正确.
故答案为：A.
【分析】根据等式的基本性质解答此题.
2．【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：A. “天问”探测器绕火星运动不是平移，故此选项不符合题意；
B. 篮球在空中飞行不是平移，故此选项不符合题意；
C. 电梯的上下移动是平移，故此选项符合题意；
D. 将一张纸对折不是平移，故此选项不符合题意
故答案为：C.
【分析】将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，由此可得答案.
3．【答案】A
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：根据条件，有a⊥AB，b⊥AB，根据“同位角相等，两直线平行”，可以得出a∥b. 只有A选项符合.
故答案为：A.
【分析】根据同位角相等（本题中两同位角皆等于90°），两直线平行的判定法选择.
4．【答案】A
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】已知，
∴，
故答案为：A.
【分析】观察已知等式可知：立方数向左（向右）移到三位，立方根向左（向右）移到一位，据此解答即可.
5．【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ ON是∠AOC的平分线，
∴.
∵ OM是∠AOB的平分线，
∴.
∵ OP是∠NOA的平分线，
∴，
∵ OQ是∠MOA的平分线，
∴
∴
∴.
故答案为：D.
【分析】本题利用角平分线的定义，结合等量关系，对等式右边进行扩展，得出含∠BOC的式子，最终化简得出的等量关系式.
6．【答案】D
7．【答案】4
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵4 =16，
∴=4．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
8．【答案】10
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设今年儿子x岁，则今年父亲（44-x）岁，
依题意，得：44-x-2=4（x-2），
解得：x=10．
故答案为：10．
【分析】设今年儿子x岁，则今年父亲（44-x）岁，依题意可列出方程，解之即可。
9．【答案】106°30'
【知识点】补角
【解析】【解答】解：∠α的补角=180°-73°30'=106°30'.
故答案为：106°30'.
【分析】若∠α与∠β互为补角，则有∠α+∠β=180°.
10．【答案】1或﹣3
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：根据题意，∵ 2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，
∴2m-4+3m-1=0，解得m=1；
或2m-4=3m-1，此时解得m=-3，
故答案为：1或﹣3.
【分析】若a，b为同一个数的平方根，则有两种可能的情况：①a=b；②a+b=0，即两数相等或两数互为相反数.
11．【答案】92°
【知识点】三角形内角和定理；方位角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：根据题意，有54°+∠CAB+38°+∠CBA=180°，即∠CAB+∠CBA=88°.
因此∠C=180°-（∠CAB+∠CBA）=180°-88°=92°.
故答案为：92°.
【分析】结合“两直线平行，同旁内角互补”性质以及三角形内角和，求出∠C.
12．【答案】2.5或43.75
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：若QC先转5秒，此时∠C1QC=2×5=10°，而同一时刻PB开始旋转.
若PB第一次旋转到PA，用时180÷6=30秒，此时QC还没有旋转到QD.
因此分两种情况讨论：
①PB还没旋转到PA时，设PB旋转t秒后，PB1∥QC1 ，则有10+2t=6t，解得t=2.5；
②当PB旋转到PA后逆时针继续旋转，设PA旋转m秒后，PB1∥QC1，则有6m+2（30+m）+10=180，
解得m=13.75，总耗时为13.75+30=43.75秒.
故答案为：2.5或43.75.
【分析】结合两直线平行，同位角相等以及同旁内角互补解答. 注意，PB能往返旋转，QC则不会，因此需要分两种情况讨论.
13．【答案】（1）解：原式.
（2）解：原式.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
14．【答案】（1）解：等式左边通分，得.
等式两边同乘以24，得.
去括号，得18y-30=20y-28.
移项边，得-2y=2，
系数化1，得y=-1.
（2）解：等式两边同时除以8，得.
∵.
∴.
解得.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；利用开立方求未知数
15．【答案】（1）解：∵ 4a﹣11的平方根是±3 ，
∴4a-11=9，
解得a=5.
∵ 3a+b﹣1的算术平方根是1 ，
∴3a+b-1=1，
代入a=5，得15+b=2
解得b=-13.
∵16＜20＜25，
∴，即.
∴ 的整数部分是4，即c=4.
故答案为：a=5，b=-13，c=4.
（2）解：代入a、b、c的值得 ﹣2a+b﹣c =-2×5－13-4=-27，
-27的立方根是-3.
故﹣2a+b﹣c的立方根为-3.
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示；开立方（求立方根）
16．【答案】解：根据题意，将x-a先用x+a代替，得 ，解为x=2，
代入得：，
解得a=2.
将a=2代入原方程，则为，
解方程得x=14.
故原方程正确的解为x=14.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；一元一次方程-错解复原问题
【解析】【分析】题目只是说把x-a抄错成x+a，但a本身没抄错，故先通过错解以及置换抄错项求出a值，再重新求解方程即可.
17．【答案】（1）证明：∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠DFE，
∴AB∥EF，
∴∠3＝∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∴∠3＝∠B．
（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠EDC＝∠B，
∵∠2＝3∠B，∠2+∠ADE+∠EDC＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
又∵∠3＝∠B，
∴∠1＝∠3+∠EDC＝36°+36°＝72°．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）解题关键是证明出AB∥EF，然后就可以通过“内错角相等，两直线平行”以及“两直线平行，同位角相等”来证明 ∠3＝∠B ；
（2）根据（1）的结论以及条件DE平分∠ADC ，结合三角形外角性质可知∠1=∠3+∠EDC即2∠B，而∠2＝3∠B，即5∠B＝180°，解下来只需要求出∠B，再乘以2即为∠1.
18．【答案】（1）解：①如图，直线CD，CE即为所求作．
②如图，线段AF，直线AG即为所求作．
（2）AF
（3）解：∠AOB+∠DCE＝180°
【知识点】作图-平行线；尺规作图-垂线；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；垂线段的概念
【解析】【解答】解：（2）点A到直线OB的距离即AF长；
故答案为：AF.
（3）∠AOB+∠DCE＝180°．理由如下：
∵CE∥BD，
∴∠CEO＝∠AOB，
∵CD∥OE，
∴∠DCE+∠CEO＝180°，
∴∠AOB+∠DCE＝180°．
故答案为：∠AOB+∠DCE＝180°．
【分析】（1）、根据题意要求作图即可；
（2）、因为AF⊥OB与F，根据点到直线距离的定义，AF即为A到OB的距离；
（3）、根据“两直线平行，同位角相等”以及“两直线平行，同旁内角互补”可以得出∠AOB+∠DCE＝180°.
19．【答案】（1）解：∵+2＝x ，
∴，
∴，
当x-2=0，x=2；当x-2≠0时，有，解得x=1或x=3.
又∵与 互为相反数，
∴.
∴当x＝2时，y＝；
当x＝3时，y＝2；
当x＝1时，y＝．
（2）解：∵4＜7＜9，
∴，
∴的小数部分是.
∴的结果应为2+c（设c为的小数部分），则c=，
∴的小数部分为.
∴.
【知识点】无理数的估值；相反数的意义与性质；立方根的性质
【解析】【分析】（1）先根据第一个条件求出x的三个可能取值，根据x取值不同，y取值也不同；
（2）解题关键在于求出 的小数部分.然后代入求值即可.
20．【答案】（1）解：设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（x+25）件，得：
20x+30（x+25）＝6000，
解得：x＝150，
∴x+25＝100．
答：该超市购进甲种商品150件、乙种商品100件.
（2）解：（26﹣20）×150+（40﹣30）×100＝1900（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1900元．
（3）解：设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据题意得：
（26﹣20）×150+（40×﹣30）×100×3＝1900+800，
解得：y＝9．
答：第二次乙商品是按原价打9折销售．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）、根据等量关系“甲进价×甲件数+乙进价×乙件数=6000”，设甲件数为未知量，并结合条件表示出乙件数，即可列一元一次方程求解；
（2）、根据（1）计算出的甲件数、乙件数，乘以各自利润价（售价-进价），求总和即可；
（3）、列方程求解不难，关键在于题目问的是“打几折”，日常生活中如打9折，实际是原价的十分之九，即打几折就是原价的十分之几，因此在设未知量的时候要注意表达形式.
21．【答案】（1）解：把x＝﹣3代入方程（k+3）x+2＝3x﹣2k得：
﹣3（k+3）+2＝﹣9﹣2k，
解得：k＝2；
（2）解：当k＝2时，BC＝2AC，AB＝6cm，
∴AC＝2cm，BC＝4cm，
当C在线段AB上时，如图，
∵D为AC的中点，
∴CD＝AC＝1cm．
即线段CD的长为1cm；
（3）解：在（2）的条件下，∵点A所表示的数为﹣2，AD＝CD＝1，AB＝6，
∴D点表示的数为﹣1，B点表示的数为4．
设经过x秒时，有PD＝2QD，则此时P与Q在数轴上表示的数分别是﹣2﹣2x，4﹣4x．分两种情况：
①当点D在PQ之间时，∵PD＝2QD，∴2x+1=2(5-4x)，解得x＝；
②当点Q在PD之间时，∵PD＝2QD，∴2x+1=2·（x-）·4，解得x＝．
答：当时间为或秒时，有PD＝2QD．
【知识点】数轴的点常规运动模型；解系数含参的一元一次方程
【解析】【分析】（1）、代入x值到原方程即可求解出k值；
（2）、已知AB长，且BC=2AC，而DC又等于AC的一半，则先求出AC，再求DC；
（3）、这里需要分两种情况分别讨论，即点D在PQ之间与点Q在PD之间两种情况.
22．【答案】（1）；
（2）
（3）解：原式＝＝＝．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】（1）、，.
故答案为：；.
（2）、 .
故答案为：.
【分析】（1）与（2）、根据提示解题过程模仿解题即可，核心是先算出根号下的值，然后找出该值是哪个数的平方；（3）、关键是先算出每个括号里的差，会发现每一个分数的分子与前一个数的分母可约分，到最后的结果进行开方处理即可.
23．【答案】（1）解：∠ACB与∠DCE的数量关系是：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，∴∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB，∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+90°﹣∠DCB＝180°；
（2）当CE∥AD时，∠ACE的度数为120°或60°；
当EB∥DC时，∠ACE的度数为45°或135°；
当EB∥AD时，∠ACE的度数为15°或165°.
综上所述，当CE∥AD时，有以下两种情况：
当EB∥DC时，有以下两种情况：
当EB∥AD时，有以下两种情况：
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：（2）①当EB∥AC，则必有∠ECA=∠CEB=45°，∴∠ACE＝45°；
②要使 CB∥AD ，则必须要有∠DAC+∠BCA=180°.
∵∠DAC=60°，∴∠BCA=120°. ∴∠ACE=∠BCA-90°=30°.
③当CE∥AD时，如图5，∠ACE=180°-∠DAC=180°-60°=120°；或如图6，∠ACE=∠DAC=60°；
当EB∥DC时，如图7，∠ACE=∠EBC=45°；或如图8，∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠CEB=90°+45°=135°；当EB∥AD时，如图9，∵∠EBC=45°=∠ATC，且∠DAC=60°，∴∠TCA=180°-∠ATC-∠DAC=75°，∴∠ACE==90°-∠TCA=90°-75°=15°；或如图10，∵∠EHC=180°-∠DAC=180°-60°=120°，且∠CEH=45°，∴∠ACE=∠EHC+∠CEH=120°+45°=165°.
【分析】（1）若两把三角尺仅仅只有C点接触，其他部分并未重合，则明显地∠ACD＝∠BCE＝90°；若有部分重叠，则很明显，∠ACE=∠DCB，根据此各自写出 ∠ACB与∠DCE 的表达式，会发现其和为定值180°；
（2）①利用两直线平行，内错角相等可解答；
②利用两直线平行，同旁内角互补可解答；
③每种平行情况都会对应两种情况，因为在平面里，一条线段A平行于线段B，则线段A也必然平行于线段B绕其自身其中一个端点旋转180°后的线段. 每种情况根据平行的性质，结合三角尺每个角的度数，即可计算出结果.
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