湖南省衡阳市衡阳县2024年中考数学模拟考试试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）
1．（2024·衡阳模拟）下列四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2024·衡阳模拟） 下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·衡阳模拟）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·衡阳模拟）太阳直径大约是1392000千米，相当于地球直径的109倍．数据1392000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·衡阳模拟）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
6．（2024·衡阳模拟）下列说法正确的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
B．为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次必有1次中奖
D．“投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为必然事件
7．（2024·衡阳模拟）在平面直角坐标系中，将点 向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·衡阳模拟）将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，，则的度数是（ ）
A．23° B．53° C．60° D．67°
9．（2024·衡阳模拟）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为步，根据题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·衡阳模拟）如图，是半的直径，点C在半上，，.D是上的一个动点，连接，过点C作于点E，连接.在点D移动的过程中，的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．（2024·衡阳模拟）因式分解：= ．
12．（2024·衡阳模拟）分式方程的解是 ．
13．（2024·衡阳模拟）某校评选先进班集体，从“学习”“卫生”“纪律”“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100分，所占比例如下表：
项目 学习 卫生 纪律 活动参与
所占比例 40% 30% 20% 10%
某班这四项得分依次为83，82，73，80，则该班四项综合得分为 分.
14．（2024·衡阳模拟）如图，点A是反比例函数y＝ 图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，矩形ABOC的面积为4，则k＝ .
15．（2024·衡阳模拟）如果一个多边形每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 ．
16．（2024·衡阳模拟）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为 m.
17．（2024·衡阳模拟）如图，在中，，.以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于D，E点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线交于点F，过点F作，垂足为G.若，则的周长等于 .
18．（2024·衡阳模拟）如图，直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A（1，2）．当y1三、解答题（本大题共8个小题，第19-25题每题8分，第26题10分，共66分；解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（2024·衡阳模拟）计算：．
20．（2024·衡阳模拟）先化简，后求值：，其中.
21．（2024·衡阳模拟）如图，，，垂足分别是点E，F，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
22．（2024·衡阳模拟）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核.学校抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图.
等级 劳动积分 人数
A 4
B m
C 20
D 8
E 3
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）统计表中 ，C等级对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）学校规定劳动积分大于或等于80的学生为“劳动之星”.若该学校共有学生2000人，请估计：该学校“劳动之星”大约有多少人？
（3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率.
23．（2024·衡阳模拟）如图，已知等腰，，以为直径作交于点D，过D作于点E，交的延长线于点F；
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用表示）.
24．（2024·衡阳模拟）某商城在端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元.
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台；当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台.若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
25．（2024·衡阳模拟）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，小亮想测量某大厦楼顶上的一个广告牌的高度，从与大厦相距的A处观测广告牌顶部D的仰角，观测广告牌底部C的仰角为，如图所示.
（1）求大厦的高度；（结果精确到）
（2）求广告牌的高度.（结果取整数）
（参考数据：，，，）
26．（2024·衡阳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，连接.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在图1中，连接并延长交的延长线于点E，求的度数；
（3）如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点（直线l与不重合），连接，，直线与交于点P.当时，点P的横坐标是否为定值？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：-2<-1<0<π，
故A正确，B、C、D错误，
正确答案：A.
【分析】实数大小比较，根据正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小，可以求得正确结果。
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项：与不是同类项，不能合并，故A选项错误；
B选项：，故B选项错误；
C选项： ，故C选项错误；
D选项： ，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法与除法、幂的乘方进行判断，即可得到答案.
3．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】A不是中心对称图形，B是中心对称图形，C不是中心对称图形，D不是中心对称图形；
故B正确，A、C、D错误
正确答案：B
【分析】根据中心对称图形的定义可知需要找一点（对称中心），让图形绕点旋转180度可以和原图形重合，即是中心对称图形，否则不是。不难判断哪个图是中心对称图形。
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1392000用科学记数法表示为：，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
5．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
A、1+3=4，故不能组成三角形，A不符合题意；
B、2+2＜7，故不能组成三角形，B不符合题意；
C、4+5＞7，故能组成三角形，C符合题意；
D、3+3=6，故不能组成三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据三角形的三边关系结合题意对选项逐一分析即可求解。
6．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查；统计图的选择；事件的分类；概率的意义
【解析】【解答】A了解灯泡的使用寿命，带有破坏性，适于抽样调查，故A正确B、C、D错误；
正确答案：A
【分析】了解灯泡的使用寿命，带有破坏性，适于抽样调查；条形图容易看出各小组的频数大小，扇形图才是体现各小组百分比；概率体现的随机性，不是必然性；投硬币“正面向上”是随机事件不是必然事件；
7．【答案】D
【知识点】点的坐标；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：点的平移规律为上加下减，左减右加，可得横坐标不变，纵坐标减3，1-3=-2，
故答案为D．
【分析】根据点的平移规律为上加下减，左减右加即可求解．
8．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】
∴
故B正确，A、C、D错误，
正确答案：B.
【分析】图中∠1已知，且原三角板含30度锐角，不难求得含∠1和30度三角形的第三个内角及其相邻外角，再根据平行线的性质求得∠2的度数。
9．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得等量关系：宽+12=长，宽×长=864，设宽x步，则长为(x+12)步，
可得方程：x(x+12)=864.
故答案为：D.
【分析】根据题意得等量关系：宽+12=长，宽×长=864，设宽x步，表示出长，即可得到方程.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆-动点问题；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：过点O作于点F，连接BC、BF、EF，
∵AC=4，
∴由垂径定理可知，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴，
∵AB是直径，
∴，
∵AB=5，
∴
在中，，
当B、E、F三点共线时，BE最小，
∴，
故答案为：B.
【分析】过点O作于点F，连接BC、BF、EF，根据垂径定理得，利用直角三角形斜边上的中线性质得，根据“直径所对的圆周角是直角”得，从而利用勾股定理求出BC=3，，接下来可知当B、E、F三点共线时，BE最小，从而求出BE=BF-EF的最小值.
11．【答案】x(x+1)(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= =x(x+1)(x-1)，
故答案为：x(x+1)(x-1)．
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
12．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ∵分式方程，
∴4x=2(x-2），
∴4x-2x=-4，
解得：x=-2，
当x=-2时，x(x-2）=-2×（-2-2）=8≠0，
∴x=-2是方程的解，
故答案为：x=-2.
【分析】利用解分式方程的方程求出x=-2，再检验求解即可。
13．【答案】80.4
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】，
故答案为：80.4
【分析】考查加权平均数，根据计算求解即可。
14．【答案】－4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】由于点A是反比例函数y= 上一点，矩形ABOC的面积S=|k|=4，则k的值为-4．
【分析】由反比例函数的k的意义可得矩形ABOC的面积S=|k|=4，而反比例函数分布在二、四象限，所以k=-4.
15．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都是60°，
∴这个多边形的边数为360°÷60°=6.
故答案为：6
【分析】利用已知条件可知这个多边形的每一个外角相等，因此边数=360°÷一个多边形的外角的度数，列式计算.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】连接OA，设OA=OD=R，
则OC=CD-OD=6-R，
∵点C是AB的中点，∴OC⊥AB，且AC=CB=2
在Rt△OAC中，
解得：R=，
故答案为：
【分析】由垂径定理的推论可知平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，所有连接OA，构造直角三角形△OAC，利用勾股定理来求圆半径。
17．【答案】8
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】由题可知AF平分∠CAB，且FC⊥AC，FG⊥AB，
∴FC=FG，
AF=AF
∴Rt△ACF≌Rt△AGF(HL)，
∴AG =AC ，
又AC =BC，
∴的周长 ：FG+BG+BF=FC+FB+BG=AG+BG=AB，
∵AB=8cm，
∴的周长为8cm，
故答案为：8.
【分析】由题作图过程可知作∠CAB的角平分线，利用角平分线性质可知FC=FG，且可以判定两三角形全等Rt△ACF≌Rt△AGF，进而判定AG=AC，而已知CA=CB，AB=8cm，等量代换可知的周长 。
18．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：如图，已知直线y1=k1x与直线y2=k2x+b2相交于点A（1，2），则当y1＜y2时，x的取值范围为 x＜1．
故答案是：x＜1．
【分析】根据直线y1=k1x与直线y2=k2x+b2相交于点A（1，2），结合图象求解即可。
19．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据实数的绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂进行运算即可求解。
20．【答案】解：原式=
=
当时，原式=1
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则进行化简，再将x、y的值代入计算即可求解.
21．【答案】（1）解：证明：因为，，所以，
因为，所以，所以，
因为，，所以，
所以.
（2）解：由（1）得：，所以，
在中，.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】⑴、通过论证两三角形全等来证明对应角相等，由已知条件可知是两直角三角形，优先考虑斜边直角边判定方法，由题可知两直角三角形斜边对应相等，利用线段和差可以得对应直角边相等，进而得全等，对应角相等。
⑵、由全等三角形性质可知，CF=AE，在直角三角形DCF中，勾股定理可求DF长。
22．【答案】（1）15；144°
（2）解：（人）.
答：估计该学校“劳动之星”大约有760人.
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有8种，
所以恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为.
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：⑴、
故答案为：15，144°
【分析】⑴、由图知D组的人数和百分比都已知，根据总人数=先求得调查总人数，再减去其它已知小组人数也即m的值；小组扇形圆心角度数=360°计算即可；
⑵、用样本估计总体，即样本中“劳动之星”所占百分比，近似认为总体中"劳动之星“所占”百分比；故总体中“劳动之星”可以用总体数目乘以百分比计算即可；
⑶、结果有限的等可能事件概率，通过列表或树状图，可知共有多少种结果；然后用“恰好一男一女”所含结果数与总结果数比，就是该事件的概率。
即P（抽取一男一女）=。
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
因为，所以，因为，
所以，所以，
所以，因为，所以，
因为是的半径，（这里必须要说明，没说明的话，要扣1分）
所以是的切线.
（2）解：如图，连接，设的半径为r，
在中，，，
所以，所以，
因为，
所以，所以，所以，
因为，O为的中点，
所以是的中位线，
所以D是的中点，
所以，因为是的直径，
所以，所以.
所以，所以，
所以，所以，
所以.
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】⑴、根据切线判定定理可知连半径证垂直，所有连接OD，证明OD⊥FD；又已知DF⊥AC，故只要证明OD和AC平行即可；已知AC=AB，故∠B=∠C，又OD=OB，所以∠B=∠ODB，等量代换可得∠ODB=∠C，同位角相等两直线平行，故切线可证。
⑵、由图可知阴影部分面积可以转化为四边形AODE（直角梯形）面积减去扇形OAD的面积，故求相应计算条件即可；已知直角三角形CDE两边，求得第三边及∠C（特殊角），再利用相似或锐角三角函数求得AE长，进而求得AC长，再由三角形中位线求得OD长（半径），利用三角形外角求得∠AOD大小，利用梯形面积公式和扇形面积公式求得两者面积，进而求得阴影部分面积。
24．【答案】（1）解：设每次降价的百分率为x，
依题意得：，
解得，（不合题意，舍去）.
答：每次降价的百分率是10%.
（2）解：假设下调a个50元，依题意得：，
解得.
所以下调150元，因此定价为2750元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】⑴、列一元二次方程解答百分率问题，模型：原量（1±百分率）2=两次增加（或减少）后的量，列方程求解即可；
⑵、“每每问题”根据总利润=每台利润×销售数量，列方程求解；设下调a个50元，可以表示降价后的利润，亦可表示降价后的销量，根据相等关系列方程求解即可。
25．【答案】（1）解：由题意得：，
在中，，，
所以，
所以大厦的高度约为.
（2）解：在中，，.
所以，
因为，
所以，
所以广告牌的高度约为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；母子模型
【解析】【分析】⑴、直角三角形ABC中AB已知，∠BAC已知，利用正切函数不难求得BC长；
⑵、直角三角形ABD中，AB和∠BAD已知，利用锐角三角函数不难求得BD长，利用线段和差求得CD，并按要求取近似值。
26．【答案】（1）解：因为抛物线与x轴交于点，，
所以解得
所以抛物线的解析式为.
（2）解：
因为，，设直线的解析式为，
所以解得
所以直线的解析式为，
同理，由点，，可得直线的解析式为，
令，解得，
所以点E的坐标为.
由题意可得，，，，
所以，
如图，过点E作轴于点F，
所以，
所以，，所以，
因为，所以，
所以，因为，，
所以，因为，所以.
（3）解：设点M的坐标为，点N的坐标为，
因为直线与不重合，所以且，且，
如图，由点，点，可得直线的解析式为，
因为，设直线的解析式为，所以，
所以，所以，
所以点N的坐标可以表示为，
设直线的解析式为，
所以解得
所以直线的解析式为，
同上，可得直线的解析式为，
所以，
所以，所以，所以点P的横坐标为定值3.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】⑴、待定系数法求抛物线解析式，把已知两点带入抛物线解析式，得a、b的二元一次方程组求解即可。
⑵、待定系数法确定直线AC、BD解析式，然后确定两直线交点E的坐标，利用勾股定理AC和AE长，发现AC、AB、AB、AE成比例且夹角相等，故判定两三角形相似，又三角形OBC是等腰直角三角形，所有不难求得∠CBE的度数。
⑶、设M、N两点坐标，利用MN平行于BC，可以可出直线MN解析式进而求出M、N两点坐标间关系，然后待定系数法写出CN、BM解析式联立求出两直线交点坐标，可以发现交点横坐标是否为定值。
1 / 1湖南省衡阳市衡阳县2024年中考数学模拟考试试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）
1．（2024·衡阳模拟）下列四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：-2<-1<0<π，
故A正确，B、C、D错误，
正确答案：A.
【分析】实数大小比较，根据正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小，可以求得正确结果。
2．（2024·衡阳模拟） 下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项：与不是同类项，不能合并，故A选项错误；
B选项：，故B选项错误；
C选项： ，故C选项错误；
D选项： ，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法与除法、幂的乘方进行判断，即可得到答案.
3．（2024·衡阳模拟）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】A不是中心对称图形，B是中心对称图形，C不是中心对称图形，D不是中心对称图形；
故B正确，A、C、D错误
正确答案：B
【分析】根据中心对称图形的定义可知需要找一点（对称中心），让图形绕点旋转180度可以和原图形重合，即是中心对称图形，否则不是。不难判断哪个图是中心对称图形。
4．（2024·衡阳模拟）太阳直径大约是1392000千米，相当于地球直径的109倍．数据1392000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1392000用科学记数法表示为：，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
5．（2024·衡阳模拟）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
A、1+3=4，故不能组成三角形，A不符合题意；
B、2+2＜7，故不能组成三角形，B不符合题意；
C、4+5＞7，故能组成三角形，C符合题意；
D、3+3=6，故不能组成三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据三角形的三边关系结合题意对选项逐一分析即可求解。
6．（2024·衡阳模拟）下列说法正确的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
B．为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次必有1次中奖
D．“投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为必然事件
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查；统计图的选择；事件的分类；概率的意义
【解析】【解答】A了解灯泡的使用寿命，带有破坏性，适于抽样调查，故A正确B、C、D错误；
正确答案：A
【分析】了解灯泡的使用寿命，带有破坏性，适于抽样调查；条形图容易看出各小组的频数大小，扇形图才是体现各小组百分比；概率体现的随机性，不是必然性；投硬币“正面向上”是随机事件不是必然事件；
7．（2024·衡阳模拟）在平面直角坐标系中，将点 向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：点的平移规律为上加下减，左减右加，可得横坐标不变，纵坐标减3，1-3=-2，
故答案为D．
【分析】根据点的平移规律为上加下减，左减右加即可求解．
8．（2024·衡阳模拟）将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，，则的度数是（ ）
A．23° B．53° C．60° D．67°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】
∴
故B正确，A、C、D错误，
正确答案：B.
【分析】图中∠1已知，且原三角板含30度锐角，不难求得含∠1和30度三角形的第三个内角及其相邻外角，再根据平行线的性质求得∠2的度数。
9．（2024·衡阳模拟）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为步，根据题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得等量关系：宽+12=长，宽×长=864，设宽x步，则长为(x+12)步，
可得方程：x(x+12)=864.
故答案为：D.
【分析】根据题意得等量关系：宽+12=长，宽×长=864，设宽x步，表示出长，即可得到方程.
10．（2024·衡阳模拟）如图，是半的直径，点C在半上，，.D是上的一个动点，连接，过点C作于点E，连接.在点D移动的过程中，的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆-动点问题；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：过点O作于点F，连接BC、BF、EF，
∵AC=4，
∴由垂径定理可知，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴，
∵AB是直径，
∴，
∵AB=5，
∴
在中，，
当B、E、F三点共线时，BE最小，
∴，
故答案为：B.
【分析】过点O作于点F，连接BC、BF、EF，根据垂径定理得，利用直角三角形斜边上的中线性质得，根据“直径所对的圆周角是直角”得，从而利用勾股定理求出BC=3，，接下来可知当B、E、F三点共线时，BE最小，从而求出BE=BF-EF的最小值.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．（2024·衡阳模拟）因式分解：= ．
【答案】x(x+1)(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= =x(x+1)(x-1)，
故答案为：x(x+1)(x-1)．
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
12．（2024·衡阳模拟）分式方程的解是 ．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ∵分式方程，
∴4x=2(x-2），
∴4x-2x=-4，
解得：x=-2，
当x=-2时，x(x-2）=-2×（-2-2）=8≠0，
∴x=-2是方程的解，
故答案为：x=-2.
【分析】利用解分式方程的方程求出x=-2，再检验求解即可。
13．（2024·衡阳模拟）某校评选先进班集体，从“学习”“卫生”“纪律”“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100分，所占比例如下表：
项目 学习 卫生 纪律 活动参与
所占比例 40% 30% 20% 10%
某班这四项得分依次为83，82，73，80，则该班四项综合得分为 分.
【答案】80.4
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】，
故答案为：80.4
【分析】考查加权平均数，根据计算求解即可。
14．（2024·衡阳模拟）如图，点A是反比例函数y＝ 图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，矩形ABOC的面积为4，则k＝ .
【答案】－4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】由于点A是反比例函数y= 上一点，矩形ABOC的面积S=|k|=4，则k的值为-4．
【分析】由反比例函数的k的意义可得矩形ABOC的面积S=|k|=4，而反比例函数分布在二、四象限，所以k=-4.
15．（2024·衡阳模拟）如果一个多边形每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 ．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都是60°，
∴这个多边形的边数为360°÷60°=6.
故答案为：6
【分析】利用已知条件可知这个多边形的每一个外角相等，因此边数=360°÷一个多边形的外角的度数，列式计算.
16．（2024·衡阳模拟）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为 m.
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】连接OA，设OA=OD=R，
则OC=CD-OD=6-R，
∵点C是AB的中点，∴OC⊥AB，且AC=CB=2
在Rt△OAC中，
解得：R=，
故答案为：
【分析】由垂径定理的推论可知平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，所有连接OA，构造直角三角形△OAC，利用勾股定理来求圆半径。
17．（2024·衡阳模拟）如图，在中，，.以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于D，E点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线交于点F，过点F作，垂足为G.若，则的周长等于 .
【答案】8
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】由题可知AF平分∠CAB，且FC⊥AC，FG⊥AB，
∴FC=FG，
AF=AF
∴Rt△ACF≌Rt△AGF(HL)，
∴AG =AC ，
又AC =BC，
∴的周长 ：FG+BG+BF=FC+FB+BG=AG+BG=AB，
∵AB=8cm，
∴的周长为8cm，
故答案为：8.
【分析】由题作图过程可知作∠CAB的角平分线，利用角平分线性质可知FC=FG，且可以判定两三角形全等Rt△ACF≌Rt△AGF，进而判定AG=AC，而已知CA=CB，AB=8cm，等量代换可知的周长 。
18．（2024·衡阳模拟）如图，直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A（1，2）．当y1【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：如图，已知直线y1=k1x与直线y2=k2x+b2相交于点A（1，2），则当y1＜y2时，x的取值范围为 x＜1．
故答案是：x＜1．
【分析】根据直线y1=k1x与直线y2=k2x+b2相交于点A（1，2），结合图象求解即可。
三、解答题（本大题共8个小题，第19-25题每题8分，第26题10分，共66分；解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（2024·衡阳模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据实数的绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂进行运算即可求解。
20．（2024·衡阳模拟）先化简，后求值：，其中.
【答案】解：原式=
=
当时，原式=1
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则进行化简，再将x、y的值代入计算即可求解.
21．（2024·衡阳模拟）如图，，，垂足分别是点E，F，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）解：证明：因为，，所以，
因为，所以，所以，
因为，，所以，
所以.
（2）解：由（1）得：，所以，
在中，.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】⑴、通过论证两三角形全等来证明对应角相等，由已知条件可知是两直角三角形，优先考虑斜边直角边判定方法，由题可知两直角三角形斜边对应相等，利用线段和差可以得对应直角边相等，进而得全等，对应角相等。
⑵、由全等三角形性质可知，CF=AE，在直角三角形DCF中，勾股定理可求DF长。
22．（2024·衡阳模拟）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核.学校抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图.
等级 劳动积分 人数
A 4
B m
C 20
D 8
E 3
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）统计表中 ，C等级对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）学校规定劳动积分大于或等于80的学生为“劳动之星”.若该学校共有学生2000人，请估计：该学校“劳动之星”大约有多少人？
（3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率.
【答案】（1）15；144°
（2）解：（人）.
答：估计该学校“劳动之星”大约有760人.
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有8种，
所以恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为.
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：⑴、
故答案为：15，144°
【分析】⑴、由图知D组的人数和百分比都已知，根据总人数=先求得调查总人数，再减去其它已知小组人数也即m的值；小组扇形圆心角度数=360°计算即可；
⑵、用样本估计总体，即样本中“劳动之星”所占百分比，近似认为总体中"劳动之星“所占”百分比；故总体中“劳动之星”可以用总体数目乘以百分比计算即可；
⑶、结果有限的等可能事件概率，通过列表或树状图，可知共有多少种结果；然后用“恰好一男一女”所含结果数与总结果数比，就是该事件的概率。
即P（抽取一男一女）=。
23．（2024·衡阳模拟）如图，已知等腰，，以为直径作交于点D，过D作于点E，交的延长线于点F；
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用表示）.
【答案】（1）证明：如图，连接，
因为，所以，因为，
所以，所以，
所以，因为，所以，
因为是的半径，（这里必须要说明，没说明的话，要扣1分）
所以是的切线.
（2）解：如图，连接，设的半径为r，
在中，，，
所以，所以，
因为，
所以，所以，所以，
因为，O为的中点，
所以是的中位线，
所以D是的中点，
所以，因为是的直径，
所以，所以.
所以，所以，
所以，所以，
所以.
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】⑴、根据切线判定定理可知连半径证垂直，所有连接OD，证明OD⊥FD；又已知DF⊥AC，故只要证明OD和AC平行即可；已知AC=AB，故∠B=∠C，又OD=OB，所以∠B=∠ODB，等量代换可得∠ODB=∠C，同位角相等两直线平行，故切线可证。
⑵、由图可知阴影部分面积可以转化为四边形AODE（直角梯形）面积减去扇形OAD的面积，故求相应计算条件即可；已知直角三角形CDE两边，求得第三边及∠C（特殊角），再利用相似或锐角三角函数求得AE长，进而求得AC长，再由三角形中位线求得OD长（半径），利用三角形外角求得∠AOD大小，利用梯形面积公式和扇形面积公式求得两者面积，进而求得阴影部分面积。
24．（2024·衡阳模拟）某商城在端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元.
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台；当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台.若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
【答案】（1）解：设每次降价的百分率为x，
依题意得：，
解得，（不合题意，舍去）.
答：每次降价的百分率是10%.
（2）解：假设下调a个50元，依题意得：，
解得.
所以下调150元，因此定价为2750元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】⑴、列一元二次方程解答百分率问题，模型：原量（1±百分率）2=两次增加（或减少）后的量，列方程求解即可；
⑵、“每每问题”根据总利润=每台利润×销售数量，列方程求解；设下调a个50元，可以表示降价后的利润，亦可表示降价后的销量，根据相等关系列方程求解即可。
25．（2024·衡阳模拟）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，小亮想测量某大厦楼顶上的一个广告牌的高度，从与大厦相距的A处观测广告牌顶部D的仰角，观测广告牌底部C的仰角为，如图所示.
（1）求大厦的高度；（结果精确到）
（2）求广告牌的高度.（结果取整数）
（参考数据：，，，）
【答案】（1）解：由题意得：，
在中，，，
所以，
所以大厦的高度约为.
（2）解：在中，，.
所以，
因为，
所以，
所以广告牌的高度约为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；母子模型
【解析】【分析】⑴、直角三角形ABC中AB已知，∠BAC已知，利用正切函数不难求得BC长；
⑵、直角三角形ABD中，AB和∠BAD已知，利用锐角三角函数不难求得BD长，利用线段和差求得CD，并按要求取近似值。
26．（2024·衡阳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，连接.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在图1中，连接并延长交的延长线于点E，求的度数；
（3）如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点（直线l与不重合），连接，，直线与交于点P.当时，点P的横坐标是否为定值？请说明理由.
【答案】（1）解：因为抛物线与x轴交于点，，
所以解得
所以抛物线的解析式为.
（2）解：
因为，，设直线的解析式为，
所以解得
所以直线的解析式为，
同理，由点，，可得直线的解析式为，
令，解得，
所以点E的坐标为.
由题意可得，，，，
所以，
如图，过点E作轴于点F，
所以，
所以，，所以，
因为，所以，
所以，因为，，
所以，因为，所以.
（3）解：设点M的坐标为，点N的坐标为，
因为直线与不重合，所以且，且，
如图，由点，点，可得直线的解析式为，
因为，设直线的解析式为，所以，
所以，所以，
所以点N的坐标可以表示为，
设直线的解析式为，
所以解得
所以直线的解析式为，
同上，可得直线的解析式为，
所以，
所以，所以，所以点P的横坐标为定值3.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】⑴、待定系数法求抛物线解析式，把已知两点带入抛物线解析式，得a、b的二元一次方程组求解即可。
⑵、待定系数法确定直线AC、BD解析式，然后确定两直线交点E的坐标，利用勾股定理AC和AE长，发现AC、AB、AB、AE成比例且夹角相等，故判定两三角形相似，又三角形OBC是等腰直角三角形，所有不难求得∠CBE的度数。
⑶、设M、N两点坐标，利用MN平行于BC，可以可出直线MN解析式进而求出M、N两点坐标间关系，然后待定系数法写出CN、BM解析式联立求出两直线交点坐标，可以发现交点横坐标是否为定值。
1 / 1
