2024-2025学年安徽省淮南市高新区九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2024-2025学年安徽省淮南市高新区九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2.已知直线满足，，则直线不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.下列关于 的叙述，正确的是( )
A. 若，则 是矩形 B. 若，则 是正方形
C. 若，则 是菱形 D. 若，则 是正方形
4.如图，正方形由个边长为的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，直线和相交于点，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，向高为的圆柱形水杯中注水，已知水杯底面圆半径为，那么注水量与水深的函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
7.满足下列条件时，不是直角三角形的是( )
A. ，， B. ：：：：
C. ：：：： D. ，
8.如图直线上有三个正方形、、，若、的面积分别为和，则的面积为( )
A. B. C. D.
9.如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，，则的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.某校规定学生的学期体育成绩由三部分组成：体育课外活动成绩占学期成绩的，理论测试占，体育技能测试占，一名同学上述的三项成绩依次为、、，则该同学这学期的体育成绩为______．
12.一次函数与轴的交点坐标是______．
13.“赏金号”玉米种子的价格为元，如果一次购买以上的种子，超过部分的种子的价格打折，若购买种子数量为，付款金额为元，当时，与的函数解析式为 ；当时，与的函数解析式为 ．
14.已知菱形的一条对角线长为，面积为，则菱形的周长是 ．
15.如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是______．
16.如图在中，是边上的中点，是的平分线，于点，已知，，那么的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
图，图是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为，线段的两个端点均在小正方形的顶点又称为“格点”上．
请在图中画一个以，为顶点，面积为的平行四边形，另外两顶点，在格点上．
请在图中画一个以，为顶点的菱形，另外两顶点，在格点上，并求出此菱形的边长．
19.本小题分
如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前有多高？
20.本小题分
【问题情境】德化为世界瓷都，德化陶瓷以精湛的工艺、独特的风格和卓越的品质，成为了世界陶瓷产业中的一颗璀璨明珠同学们到某陶瓷厂开展“利用瓷器烧制前与烧制后的高度之比探究瓷坯收缩比例”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集用白瓷瓷土和紫沙瓷土制作的瓷坯各件，通过测量这些瓷坯烧制前后的高度，然后计算烧制前与烧制后的高度比，最后整理数据如下：记，
种类
【实践探究】分析数据如下：
种类 平均数 中位数 众数
【问题解决】
上述表格中， ______， ______．
现有个瓷器烧制前的高度为米，烧制后的高度为米，则这种瓷器更可能由上述中的哪种瓷土烧制而成？请说明你的理由．
小明同学说：“从瓷坯烧制前与烧制后的高度比的平均数、中位数和众数来看，我发现白瓷瓷坯烧制后与烧制前的高度比约为至”这位同学的说法是否合理？请说明理由．
21.本小题分
习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在月日世界读书日之前，同时购进，两类图书，已知类图书每本的进价元，类图书每本的进价元．
该书店计划用元全部购进两类图书，设购进类本，类本，求关于的关系式；
进货时，类图书的购进数量不少于本，已知类图书每本的售价为元，类图书每本的售价为元，若书店全部售完可获利元，求关于的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？
22.本小题分
氯化钾的溶解度随温度的升高而增大，在条件下，氯化钾的溶解度与温度之间近似满足一次函数关系王倩根据实验数据，画函数图象如下：
注：氯化钾的溶解度表示在一定温度下，氯化钾在水里达到饱和状态时所溶解的氯化钾质量．
时，氯化钾的溶解度是______；
求关于的函数解析式；
当温度是时，在水中加入氯化钾，充分搅拌，是否能完全溶解？请说明理由．
23.本小题分
已知：四边形是正方形，，点，，，分别在边，，，上．
如图，若，，求的度数；
如图，若，点，分别是，上的动点，求证：的周长是定值；
如图，若，和交于点，且，求的长度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，不是最简二次根式，则选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，则选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，则选项不符合题意；
D、是最简二次根式，则选项符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的条件分别进行判断．
本题考查了最简二次根式：掌握最简二次根式的条件被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式是解决此类问题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，直线经过一、三象限；
，图象与轴的负半轴相交．
故此直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：．
根据，的取值范围确定图象在坐标平面内的位置关系．
此题考查了一次函数图象与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．
3.【答案】
【解析】解： 中，，
四边形是矩形，选项A符合题意；
中，，
四边形是菱形，不一定是正方形，选项B不符合题意；
中，，
四边形是矩形，不一定是菱形，选项C不符合题意；
中，，
四边形是菱形，选项D不符合题意；
故选：．
由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、、D错误，C正确；即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：连接．
，，．
，，
是等腰直角三角形，
．
故选：．
连接，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数．
本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：直线和相交于点，
不等式的解集为，即不等式的解集为．
故选：．
根据两直线的交点坐标和函数的图象即可求出答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，主要考查学生观察图形的能力和理解能力，利用数形结合是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由于圆柱形水杯中是均匀的物体，随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高的．
可知，只有选项A适合均匀升高这个条件．
故选：．
根据圆柱形水杯中是均匀的物体，随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高，判断函数为正比例函数关系式．
本题需注意容器是均匀的，注水量也将随着水深均匀增多．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形的判定和三角形的内角和定理，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，三角形的内角和等于．
根据勾股定理的逆定理或三角形内有一个角是的三角形为直角三角形进行逐项判断即可．
【解答】
解：因为，，，
所以，而，即，
所以，即是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.因为：：：：，
所以设，，，
因为，，
所以，
所以，
所以是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.因为：：：：，，
所以最大角，
所以不是直角三角形，故本选项符合题意；
D.因为，，
所以，
所以是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选C．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，得，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，的面积分别为和，
，，
，
根据勾股定理，，
的面积为，
故选：．
根据正方形的性质，易证≌，可得，，根据，的面积以及勾股定理即可求出的面积．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
菱形，
，
点的坐标为，
故选：．
根据勾股定理可得，进而利用菱形的性质解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据勾股定理可得．
10.【答案】
【解析】解：如图，当点在线段上时，
，
，，三点共线，
，
，
，
；
如图，当点在的延长线上时，
，，，
，
设，则：
，
，
，
，
解得：，
，
综上，的值为或．
故选：．
注意题目表述为射线，所以分为两种情况，一种是点在线段上，另一种是点在的延长线上，利用勾股定理分别求解即可．
本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是分两种情况讨论，特别时第二种比较容易遗漏．
11.【答案】
【解析】解：该同学这学期的体育成绩为，
故答案为：．
因为体育课外活动占学期成绩的，理论测试占，体育技能测试占，利用加权平均数的公式即可求出答案．
本题考查了加权平均数的计算．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．
12.【答案】
【解析】解：令，即，解得，
交点坐标为．
故填．
令，解得即为函数与轴交点坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，是基础题型．
13.【答案】

【解析】解：当时，与的函数解析式为：；
当时，与的函数解析式为：．
故答案为：；．
根据单价乘以数量，可得价格，可得相应的函数解析式．
此题主要考查了函数关系式，注意超过部分打折计算是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：菱形的一条对角线长为，面积为，
另一对角线长为，
菱形的两条对角线长度的一半为，，
菱形的边长为：，
则菱形的周长为：，
故答案为：．
根据菱形的面积可求得另一条对角线的长，再根据勾股定理求得其边长，从而就不难求得周长．
本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的面积公式，综合利用了菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图：；
；
．
所以需要爬行的最短距离是．
要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
解答此题要注意以下几点：
将立体图形展开的能力；
分类讨论思想的应用；
正确运用勾股定理．
16.【答案】
【解析】解：延长交于，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
是的中位线，
，
故答案为：．
延长交于，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，根据题意求出，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
17.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先根据乘法分配律进行运算，在进行二次根式乘法运算以及将化成最简二次根式，然后进行加减运算即可；
首先将化成最简二次根式，并进行二次根式除法运算，然后进行减法运算即可．
本题主要考查了二次根式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
18.【答案】解：四边形面积为，
平行四边形的底可为，高可为，
如图所示答案不唯一；
四边形为菱形，
四边形对角线垂直平分，
作出的垂直平分线，
即垂直平分线与方格相交的顶点即为所求的点，
如图所示，
在直角中，
，
菱形的边长为．
【解析】作一个底为，高为的平行四边形即可；
作出的垂直平分线，即垂直平分线与方格相交的顶点即为所求的点．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
19.【答案】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断的旗杆为，
所以旗杆折断之前高度为．
【解析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．
本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．
20.【答案】
【解析】解：在中这个数据中，出现了次，出现的次数最多，即这组数据的众数是；
中将这个数据按从小到大的顺序排列，其中第个数是，第个数是，
这组数据的中位数是．
故答案为：，；
这种瓷器由紫沙瓷土烧制而成．
理由：因为而更接近紫沙瓷土烧制前与紫沙瓷土烧制后的高度比，所以这种瓷器更可能由紫沙瓷土烧制而成．
小明同学说法合理．
理由：若瓷坯烧制后与烧制前的高度比约为至，则瓷坯烧制前与烧制后的高度比就约为至，而，
所以此时瓷坏烧制前与烧制后的高度比约为至，
故从白瓷瓷土烧制前与白瓷瓷土烧制后的高度比的平均数，中位数，众数来看，刚好均与之相近，所以小明同学的说法合理．
根据众数和中位数的定义求解；
根据计算烧制前与烧制后的高度比解答即可；
根据平均数，中位数，众数解答即可．
本题考查了平均数、中位数、众数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
21.【答案】解：根据题意得：
，
；
根据题意得：
，
，
随的增大而减小．
，且为整数，
当时，有最大值，最大值为，
．
当购进类图书本，类图书本时，该书店所获利润最大，为元．
【解析】根据“用元全部购进两类图书，设购进类本，类本”即可得出关于的关系式；
根据“类图书每本的售价为元，类图书每本的售价为元”可得出两类图书的利润，再根据类图书所获利润类图书所获利润，可得关于的关系式，利用一次函数的性质可得最大利润．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是找到等量关系得出与的函数关系式．
22.【答案】
【解析】解：从函数图象上可以得出当时，氯化钾的溶解度是，
故答案为：．
设关于的函数解析式为．
因为的图象过点与，
所以，
解得．
所以关于的函数解析式为．
能完全溶解．
当时，．
因为，
所以能完全溶解．
从函数图象上可得出答案．
用待定系数法求一次函数解析式即可．
求出当时，对应的的值，然后和比较即可得出答案．
本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图象上获取信息是解题的关键．
23.【答案】解：如图，四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
．
如图，延长到点，使，连接，
，
，
≌，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
的周长是定值．
如图，作，交于点，交于点，作，交于点，交于点，连接，
，，
四边形、四边形、四边形都是平行四边形，
，，，
；
由得，，
，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
．
【解析】【分析】
证明≌，得，在中可求出的度数；
延长到点，使，连接，通过证明三角形全等，证明，即可证明的周长是定值；
过点作，交于点，作，交于点，连接，运用中的结论和勾股定理求出的长，再用勾股定理求出的长即可．
此时考查正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线构造全等三角形．
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