2024-2025学年吉林省长春第二实验中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2024-2025学年吉林省长春第二实验中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，是分式的是( )
A. B. C. D.
2.平行四边形一定具有的性质是( )
A. 邻边垂直 B. 对边相等 C. 对角互补 D. 邻角相等
3.已知在第四象限，则在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.如图，将矩形纸片沿折叠，若，则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
5.小区新增了一家快递店，第一天揽件件，第三天揽件件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
6.下列图形中，不是函数图象的是( )
A. B. C. D.
7.如图，两条直线被三条平行线所截，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，菱形的顶点的坐标为顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算______．
10.若式子有意义，则 ______．
11.在函数中，当自变量时，因变量的值是 ．
12.有一组数据：，，，，，它们的平均数是，则这组数据的众数是______．
13.如图， 中，，，垂足为点若，则的度数为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点的坐标为若直线与正方形有两个公共点，则的取值范围是______．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
15.解方程：
16.如图，直线经过点，．
求直线的解析式；
若直线与直线相交于点，求点的坐标；
根据图象，直接写出关于的不等式的解集______．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
如图，在网格中，每个小正方形的边长为，点，在格点上．请根据条件画出符合要求的图形．
在图甲中画出以点为顶点且一边长为的平行四边形．要求：各顶点均在格点上．
在图乙中画出线段的中点．
要求：仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；保留作图痕迹．
19.本小题分
为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校名学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了名学生的竞赛成绩满分分，每名学生的成绩记为分分成四组，组：；组；组：；组：，并得到下不完整的频数分布直方图和扇形统计图根据图中信息，解答下列问题：
扇形统计图中表示“”的扇形圆心角的度数是______．
请补全频数分布直方图；
规定学生竞赛成绩为优秀，估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数有多少名？
20.本小题分
如图，在中，，，点是边的中点，连结作，，与相交于点．
求证：四边形是矩形．
四边形的面积为______．
21.本小题分
甲、乙两人参加从地到地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程米与时间分钟之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
甲的速度是______米分钟，乙比甲提前______分钟先到达终点．
求乙所跑路程与时间之间的函数解析式．
请直接写出甲、乙两人相距米时乙所跑的时间．
22.本小题分
基础探究：如图，在正方形中，点为上一点，交于，垂足为点求证：．
应用拓展：如图，在正方形中，点为上一点，分别交、于、，垂足为点若正方形的边长为，，则四边形的面积为______．
23.本小题分
如图，四边形是菱形，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，射线为轴的正半轴，点的坐标为；
菱形的边长是______，的解析式为______；
若为直线上一动点，的横坐标为，设的面积为，求与之间的函数关系式．
点在直线上运动过程中，以、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、分母是，不含字母，是整式，不是分式，故该选项不符合题意；
B、分母是，不含字母，是整式，不是分式，故该选项不符合题意；
C、分母是，不含字母，是整式，不是分式，故该选项不符合题意；
D、分母是，含有字母，是分式，故该选项符合题意．
故选：．
根据分式的定义，对选项一一分析即可．
本题考查了分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含有字母，也可以不含字母，理解定义是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：平行四边形的对边相等，邻角互补，对角相等，
故选：．
根据平行四边形的性质进行判断即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：在第四象限，则，，
，
在第三象限．
故选：．
根据第四象限点的坐标特点得出，，进而得出位置．
此题主要考查了点的坐标，关键是掌握各象限内点的坐标的规律．
4.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
又矩形纸片沿折叠，
，
又，
．
故选：．
根据矩形的性质，得出，再根据两直线平行，同位角相等，得出，再根据折叠的性质，得出，再根据角之间的数量关系，计算即可得出答案．
本题考查了矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质，熟练掌握相关的性质是解本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，可列方程：，
故选：．
设该快递店揽件日平均增长率为，关系式为：第三天揽件数第一天揽件数揽件日平均增长率，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
6.【答案】
【解析】解：选项A、、均符合自变量与函数的每一对对应，属于函数图象，
选项B对应自变量的值，除外，都有两个函数值与之对应，所以不是函数图象，
故选：．
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
本题考查了函数的图象，掌握函数的定义是解答本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
，
即，
，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：过点作轴，垂足为点，
点的坐标为，
，，
在中
，
，
点坐标为，
反比例函数的图象经过顶点，
，
故选：．
过点作轴，垂足为点，根据点坐标求出、、的值，进而求出点的坐标，即可求出的值．
本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是求出点的坐标，此题难度不大，是一道不错的习题．
9.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
首先计算开立方和开方，然后计算加法，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
10.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式有意义的条件，解答即可．
本题考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数，正确进行函数值的计算是解题的关键．
将代入函数关系式中，即可求出函数值．
【解答】
解：当时，
，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：，，，，，它们的平均数是，
，
解得，
这组数据为，，，，，
这组数据的众数是．
故答案为：．
根据平均数的定义求出，再根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数，依此即可得出答案．
此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数可能不止一个．
13.【答案】
【解析】【试题解析】
【分析】
此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，属于基础题．
根据题意，进行求解即可．
【解答】
解：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：正方形的边长为，点的坐标为，
，
当直线经过点时，，此时，
当直线经过点时，，此时．
直线与正方形有两个公共点，则的取值范围是．
故答案是：．
当直线过，时，求得，即可得到结论．
此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．
15.【答案】解：，
，
或．
【解析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的步骤．
首先把一元二次方程转化成两个一元一次方程的乘积，即，然后解一元一次方程即可．
16.【答案】
【解析】解：直线经过点，，
，
解得，
．
若直线与直线相交于点，
，
解得，
故点．
根据图象可得．
利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
联立两直线解析式，解方程组即可得到点的坐标；
根据图形，找出点右边的部分的的取值范围即可．
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息．
17.【答案】解：
．
【解析】解答时，先分别求算术平方根、化简绝对值、运算零指数幂、实数的乘法运算，最后进行加减法运算即可．
本题考查了求一个数的算术平方根、零指数幂以及实数的混合运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
18.【答案】解：如图甲中，四边形即为所求；
如图，点即为所求．

【解析】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定和性质等知识，今天的的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
利用数形结合的思想，画出平行四边形即可；
取格点，，连接交于点，点即为所求．
19.【答案】
【解析】解：本次抽取的学生有：人，
扇形统计图中表示“”的扇形圆心角的度数是：，
故答案为：；
组的频数为：，
组的频数为：，
补全的频数分布直方图如图所示；
名，
即估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数有名．
根据组频数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数，然后即可计算出扇形统计图中表示“”的扇形圆心角的度数；
根据中的求得本次抽取的人数和扇形统计图中的数据，可以计算出组的频数，然后即可计算出组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完；
根据中的求得的数据，可以计算出全校竞赛成绩达到优秀的学生人数有多少名．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】
【解析】证明：，，
四边形是平行四边形，
，，点是边的中点，
，
，
是矩形；
解：由可知，四边形是矩形，
，，
，，点是边的中点，
，
由勾股定理可得，，
四边形的面积，
故答案为：．
根据平行四边形的判定和等腰三角形的性质以及矩形的判定解答即可；
根据勾股定理得出，进而解答即可．
此题考查矩形的判定和性质，关键是根据矩形的判定和性质得出四边形是矩形解答．
21.【答案】
【解析】解：由函数图象可知甲跑完全程需要分钟，乙跑完全程需要分钟，
甲的速度米分钟；，
乙比甲提前分钟先到达终点，
故答案为：，；
设当时，乙所跑路程与时间之间的函数解析式为，把代入中，则有，
解得，
此时乙所跑路程与时间之间的函数解析式为；
设当时，乙所跑路程与时间之间的函数解析式为，把、代入中，得：
，
解得，，
此时乙所跑路程与时间之间的函数解析式为，
综上，乙所跑路程与时间之间的函数解析式为：；
由图函数图象可知：前分钟乙的速度为：米分钟，到分钟时乙的速度为：米分钟，而甲的速度是米分钟；
设乙所跑的时间为，
前分钟甲、乙两人相距米时，由题意得：
，
解得：；
分钟以后到相遇前，甲、乙两人相距米时，由题意得：
，
解得：；
甲、乙两人相遇后，乙到达终点之前两人相距米时，由题意得：
，
解得：；
答：甲、乙两人相距米时乙所跑的时间为分钟或分钟或分钟．
依据函数图象可得到总路程和两人跑完全程所用的时间，依据速度路程时间可求得甲的速度，并能够判断到达终点的时间差；
利用待定系数法分段求解函数解析式即可；
求出前分钟乙的速度，到分钟时乙的速度和甲的速度，然后分：当前分钟甲、乙两人相距米时，分钟以后到相遇前，甲、乙两人相距米时，甲、乙两人相遇后，乙到达终点之前两人相距米时，分别列出方程解答即可．
本题主要考查一次函数的应用，准确识别函数图象，理解每段函数图象所表示的实际意义是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：基础探究：四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，
，即；
应用拓展：过作于点，如图，则，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
．
基础探究：要证，转化证明≌，由正方形的性质得，，再由，根据等角的余角相等得，这样全等三角形的条件具备便可证明全等；
应用拓展：过作于点，证明≌，得，再由勾股定理求得，最后根据四边形的面积公式求得结果．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，关键是证明全等三角形．
23.【答案】
【解析】解：点坐标为，
，
菱形的边长为，
在菱形中，，
，
射线为轴的正半轴，
点坐标为，
设直线的解析式：，
将点，点代入解析式，
得，
解得，
直线的解析式：，
故答案为：，；
为直线上一动点，的横坐标为，
点的纵坐标为，
，
，
当时，
，
当时，
，
当时，
，
综上，；
以、、、为顶点的四边形是矩形，分情况讨论，如下图所示：
当时，
，
为的中点，
，，
坐标为，
四边形为矩形，
点坐标为；
当时，
此时点坐标为，
四边形是矩形，
点坐标为，
当时，不存在满足条件的点，
综上，点坐标为或．
先求出的长，再根据菱形的性质可得的长，设直线的解析式：，待定系数法求解析式即可；
根据题意，先表示出点纵坐标，当时，，当时，，当时，，即可表示出与的函数关系式；
分情况讨论：当时，当时，当时，分别先求出点坐标，根据矩形的性质即可求出点坐标．
本题考查了一次函数综合应用，涉及待定系数求解析式，菱形的性质，矩形的性质，分段函数等，熟练掌握以上性质是解题的关键，本题综合性较强，难度较大．
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