江苏省镇江市2024年中考数学试卷
1．（2024·镇江）﹣100的绝对值等于 ．
2．（2024·镇江）要使分式有意义，则x的取值范围是 ．
3．（2024·镇江）一组数据：1、1、1、2、5、6，它们的众数为 ．
4．（2024·镇江）分解因式：x2+3x= ．
5．（2024·镇江）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．
6．（2024·镇江）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC＝8，CD＝5，则BD＝ ．
7．（2024·镇江）点A（1，y1）、B（2，y2）在一次函数y＝3x+1的图象上，则y1 y2（用“＜”、“＝”或“＞”填空）．
8．（2024·镇江）小丽6次射击的成绩如图所示，则她的射击成绩的中位数为 环．
9．（2024·镇江）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB＝18°，则n＝ ．
10．（2024·镇江）关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为 .
11．（2024·镇江）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB＝1，∠D＝60°，则的长l＝ （结果保留π）．
12．（2024·镇江）对于二次函数y＝x2﹣2ax+3（a是常数），下列结论：①将这个函数的图象向下平移3个单位长度后得到的图象经过原点；②当a＝﹣1时，这个函数的图象在函数y＝﹣x图象的上方；③若a≥1，则当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）．
13．（2024·镇江）早在几年前“嫦娥五号”探测器就从月球带着1731克月球样品回到了地球．数据1731用科学记数法表示为 （ ）
A．1.731×104 B．17.31×103 C．1.731×103 D．17.31×102
14．（2024·镇江）下列运算中，结果正确的是 （ ）
A．m3 m3＝m6 B．m3+m3＝m6 C．（m3）2＝m5 D．m6÷m2＝m3
15．（2024·镇江）下列各项调查适合普查的是 （ ）
A．长江中现有鱼的种类 B．某班每位同学视力情况
C．某市家庭年收支情况 D．某品牌灯泡使用寿命
16．（2024·镇江）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD＝3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是 （ ）
A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
17．（2024·镇江）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量y（单位：L）关于行驶路程x（单位：百公里）的函数图象分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是 （ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
18．（2024·镇江）如图，在平面直角坐标系中，过点A（m，0）且垂直于x轴的直线l与反比例函数y的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是 （ ）
A．m＜﹣2或m＞2 B．﹣2＜m＜2且m≠0
C．﹣2＜m＜0或m＞2 D．m＜﹣2或0＜m＜2
19．（2024·镇江）（1）计算：（）0﹣4cos30°；
（2）化简：（1）．
20．（2024·镇江）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
21．（2024·镇江）如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△BAD；
（2）若∠DAB＝70°，则∠CAB＝ °．
22．（2024·镇江）3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上．
（1）洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于 ；
（2）洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率．
23．（2024·镇江）有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图：
（1） 图能更好地反映各组试验的总次数， 图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）；
（2）求实践组摸到黄球的频率；
（3）根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？
24．（2024·镇江）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C'落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB＝90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
25．（2024·镇江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝2x+m的图象与x轴、y轴交于A（﹣3，0）、B两点，与反比例函数y（k≠0）的图象交于点C（1，n）．
（1）求m和k的值；
（2）已知四边形OBDE是正方形，连接BE，点P在反比例函数y（k≠0）的图象上．当△OBP的面积与△OBE的面积相等时，直接写出点P的坐标 ．
26．（2024·镇江）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在AC上，已知AB＝AC，sin，点D、F、G、J在AB上，DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行，DE＝FM＝GH＝JK＝20cm，DF＝FG＝GJ＝30cm．点N在AC上，AN、MN的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时AB、AC重合，点E、M、H、N、K、C在AB上的位置如图所示．
（1）【分析问题】
如图5，用图中的线段填空：AN＝MN+EM+AD﹣ ；
（2）如图4，sin∠MEN≈ ，由 AN＝EN+AE＝EN+AD，且AN的长度不变，可得MN与EN之间的数量关系为 ；
（3）【解决问题】
求MN的长．
27．（2024·镇江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y（x﹣1）2+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）一个二次函数的图象经过B、C、M（t，4）三点，其中t≠1，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为（3，0），则t＝ ▲ ；
②求t的取值范围；
③求OD DB的最大值．
28．（2024·镇江）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，仅用一把无刻度的直尺作DE、BC的中点．
操作：如图2，连接BE、CD交于点P，连接AP交DE于点M，延长AP交BC于点N，则M、N分别为DE、BC的中点．
理由：由DE∥BC可得△ADM∽△ABN及△AEM∽△ACN，所以，，所以，同理，由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP，可得，，所以，所以，则BN＝CN，DM＝EM，即M、N分别为DE、BC的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3，l1∥l2，点E、F在直线l2上．
①作线段EF的中点；
②在①中作图的基础上，在直线l2上位于点F的右侧作一点P，使得PF＝EF；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…、k倍（k为正整数）的线段．如图4，l1∥l2，已知点P1、P2在l1上，他利用上述方法作出了P2P3＝P3P4＝P1P2.点E、F在直线l2上，请在图4中作出线段EF的三等分点；
（3）【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
如图5，DE是△ABC的中位线．请在线段EC上作出一点Q，使得QECE（要求用两种方法）．
答案解析部分
1．【答案】100
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：-100的绝对值为100，
故答案为：100.
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数进行求解.
2．【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x-2≠0，
∴x≠2，
故答案为：x≠2.
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零进行求解.
3．【答案】1
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵一组数据1、1、1、2、5、6，
∴它们的众数为1，
故答案为：1.
【分析】根据众数的定义进行求解.
4．【答案】x（x+3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+3x=x（x+3）．
【分析】观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案．
5．【答案】6
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰长为6，底边长为2，
∴2+6>6，能构成三角形，
∴第三边长为6；
当等腰三角形的腰长为2，底边长为6，
∴2+2<6，不能构成三角形，
综上所述，第三边长为6，
故答案为：6.
【分析】先分类讨论：等腰三角形的腰长为6，底边长为2；等腰三角形的腰长为2，底边长为6，再根据三角形的三边关系进行求解.
6．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的边AB的垂直平分线交AC于点D，
∴AD=BD，
∵AC=8，CD=5，
∴BD=AD=AC-CD=8-5=3，
故答案为：3.
【分析】根据垂直平分线的性质得AD=BD，再利用线段的和差关系求BD=AD=AC-CD.
7．【答案】＜
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵在一次函数y=3x+1中，k=3>0，
∴y随x的增大而增大，
∵1<2，
∴y1故答案为：<.
【分析】根据“一次函数的增减性：对于一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小”进行求解即可.
8．【答案】7.5
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：根据题意，得小丽6次射击的成绩为：4、5、7、8、9、10环，
∴她的射击成绩的中位数为：环，
故答案为：7.5.
【分析】先根据图表把小丽6次射击成绩从小到大进行排列，再根据中位数的定义进行求解.
9．【答案】10
【知识点】圆周角定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=18°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×18°=36°，
∴n=360÷36=10，
故答案为：10.
【分析】根据圆周角定理得∠AOB=2∠ACB，然后根据正多边形的性质求出n的值.
10．【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，
， ， ，
∴Δ=62-4×1×m=0，
解得m=9，
故答案为：9.
【分析】利用一元二次方程有两个相等的实数根，可得到b2-4ac=0，由此建立关于m的方程，解方程求出m的值.
11．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得AB=AE=1，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=60°，
∴∠ABE=∠D=60°，
∴是等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∴的长，
故答案为：.
【分析】根据作图步骤得AB=AE=1，然后利用平行四边形对角相等得∠ABE=∠D=60°，接下来根据等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，从而有∠BAE=60°，最后根据弧长的计算公式进行求解即可.
12．【答案】①②④
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：①∵将二次函数的图像向下平移3个单位长度后得到的解析式为，
∴当x=0时，y=0，
∴平移后的函数图象经过原点，①正确；
②当a=-1时，，
令，整理得，
∴，
∴二次函数与函数y=-x的图像没有交点，
∵二次函数的图像开口向上，
∴当a=-1时，这个函数的图象在函数y=-x图像的上方，②正确；
③∵二次函数解析式为，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=a，
∴当x>a时，y随x的增大而增大，③错误；
④二次函数解析式为，
∴顶点坐标为，
∵3-a2≤3，二次函数的图象开口向上，
∴这个函数的最小值不大于3，④正确；
故答案为：①②④.
【分析】①根据二次函数平移的规律：上加下减常数项，左加右减自变量得平移后的函数解析式y=x2-2ax，再令x=0，得y=0，即可判断选项①；
②求出当a=-1时的二次函数解析式，然后确定二次函数与函数y=-x是否有交点，即可判断选项②；
③求出二次函数的开口方向、对称轴，根据二次函数的增减性，即可判断选项③；
④求出二次函数的顶点坐标，即可判断选项④.
13．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1731=1.731×103，
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数.
14．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D错误；
故答案为：A.
【分析】根据“合并同类项、幂的乘方、同底数幂乘除法”法则进行计算即可.
15．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、长江中现有鱼的种类是比较多的，进行普查不符合实际，A不符合题意；
B、某班同学人数不算多，适合普查，B符合题意；
C、某市家庭数量是比较多的，进行普查不符合实际，C不符合题意；
D、某品牌灯泡生产数量是比较多的，进行普查不符合实际，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据普查的特点：全面调查，进行求解.
16．【答案】D
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：根据题意，可知小杰到达点C处转身按原路回到点B处会离点光源A越来越近，
∵CD=3，
∴返回过程中小杰在灯光下的影长小于3米，
故答案为：D.
【分析】根据中心投影的特点：①等高物体垂直地面放置，离点光源越近，影子越短，离点光源越远，影子越长；②等长物体平行地面放置，离点光源越近，影子越长，离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度；③点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一直线上，即可求解.
17．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据函数图象得甲、乙两车行驶m百公里时，甲车耗油为：40-24=16（升），乙车耗油为：40-20=20（升），
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意得甲、乙两车行驶m百公里的耗油量，再根据“甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L”列出方程.
18．【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵过点A（m，0）且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点B，
∴，
∵将直线l绕点B逆时针旋转45°，
∴旋转后的直线l与直线y=-x平行，
∴设旋转后的直线l解析式为y=-x+b，
∵直线y=-x+b经过第一、二、四象限，
∴b>0，
∵在直线y=-x+b上，
∴，
∴，
∴，
当m>0时，则m2-4>0，
解得：m>2，
当m<0时，则m2-4<0，
解得：-2故答案为：C.
【分析】先求出，然后利用旋转45°这个条件得旋转后的直线l与直线y=-x平行，由一次函数中平行直线“k”相同，设旋转后的直线l解析式为y=-x+b，从而有b>0，将点B的坐标代入y=-x+b求出b的值，从而有，接下来进行分类讨论：m>0或m<0时，得m2-4>0或m2-4<0，解不等式求出m的取值范围即可.
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）利用零指数幂、特殊角的三角函数值、算数平方根进行化简，然后进行加减运算；
（2）先将括号里的算式进行通分，再把除法变成乘法，最后进行乘法计算.
20．【答案】（1）解：方程两边同乘x（x+1），得3（x+1）＝2x，
解得x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，x（x+1）≠0，
∴原分式方程的解是x＝﹣3；
（2）解：，
解不等式①，得x≤4，
解不等式②，得x＞1，
∴不等式组的解集是1＜x≤4．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据分式方程的解法进行计算即可；
（2）根据解不等式组的解法进行计算即可.
21．【答案】（1）证明：在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS）；
（2）20
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）∵∠DAB＝70°，∠D＝90°，
∴∠DBA＝90°-70°＝20°，
由（1）知△ABC≌△BAD，
∴∠CAB＝∠DBA＝20°，
故答案为：20．
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理“AAS”证明△ABC≌△BAD；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠DAB=20°，由（1）得△ABC≌△BAD，根据全等三角形对应角相等得∠CAB＝∠DBA＝20°.
22．【答案】（1）
（2）解：把写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”3张卡片分别记为A、B、C，画树状图如下：
∴共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种，
∴抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，
∴洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率为，
故答案为：.
【分析】（1）根据简单事件的概率计算方法进行求解；
（2）用树状图法求出所有的等可能结果数，从而得满足条件的结果数，最后利用概率公式进行求解.
23．【答案】（1）B；A
（2）解：实践组摸到黄球的频率为：（500-372）÷500＝0.256；
（3）解：实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：（1）B图能更好地反映各组试验的总次数，A图能更好地反映各组试验摸到红球的频数，
故答案为：B，A.
【分析】（1）观察图表直接得出答案；
（2）根据频率公式：进行求解；
（3）观察图表即可求解，比如实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）．
24．【答案】解：BC与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
由折叠的性质得：∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AC∥OD，
∵∠ACB=90°，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】连接OD，根据等腰三角形“等边对等角”、折叠的性质得∠OAD＝∠ODA=∠CAD，从而求出AC∥OD，进而得∠ODB＝∠ACB＝90°，最后根据切线的判定定理即可得证BC与⊙O相切．
25．【答案】（1）解：一次函数y＝2x+m的图象过A（﹣3，0），
∴2×（﹣3）+m＝0，
∴m＝6，
∴y=2x+6，
∵C（1，n）在函数y＝2x+6的图象上，
∴n＝2×1+6＝8，
∵C（1，8）在函数图象上，
∴k＝8；
（2）或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）当x＝0时，y＝6，
∴OB＝6，
∵四边形OEDB是正方形，
∴OE＝OB＝6，
设P的坐标是，
∵△OBP的面积与△OBE的面积相等，
∴，
∴|a|＝OB＝6，
∴a=±6，
∴或，
∴P的坐标是或.
【分析】（1）把A（﹣3，0）代入y＝2x+m求出m=6，从而把C（1，n）代入y＝2x+6求出n=8，然后把C（1，8）代入求出k=8；
（2）先求出OB的值，根据正方形的性质得OE＝OB＝6，设P的坐标是，利用三角形的面积公式得，从而求出a=±6，进而求出P的坐标.
26．【答案】（1）DE
（2）；MN+10＝EN
（3）解：如图，作MW⊥AC于W，
∴∠MWN＝∠MWE＝90°，
∴MW2+WN2＝MN2，
∵EM=30，，
∴，
∴，
设MN＝a，则EN＝a+10，
∴WN＝EN﹣EW＝a+10﹣18＝a﹣8，
∴242+（a﹣8）2＝a2，
∴a＝40，
∴MN＝40cm．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）∵AN=MN+EM+AE，AE=AD-DE，
∴AN=MN+EM+AE=MN+EM+AD-DE，
故答案为：DE；
（2）∵DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行，
∴DE∥FM，
∵DE＝FM＝20，
∴四边形DEMF是平行四边形，
∴EM∥DF，EM=DF，
∴∠MEN＝∠BAC，
∵，
∴，
∵AN＝MN+EM+AD﹣DE，AN＝EN+AD，
∴MN+EM+AD﹣DE＝EN+AD，
∴MN+EM﹣DE＝EN，
∵EM=DF=30，DE=20，
∴MN+30-20＝EN，
∴MN+10＝EN，
故答案为：，MN+10＝EN；
【分析】（1）观察图5，根据线段的和差关系进行求解；
（2）根据平行线的传递性得DE∥FM，从而根据平行四边形的判定证出四边形DEMF是平行四边形，得EM∥DF，EM=DF，从而有∠MEN＝∠BAC，进而求出，接下来根据AN＝MN+EM+AD﹣DE，AN＝EN+AD，得MN+EM+AD﹣DE＝EN+AD，从而代入数据进行化简得MN+10＝EN；
（3）作MW⊥AC于W，得∠MWN＝∠MWE＝90°，根据勾股定理得MW2+WN2＝MN2，然后解直角三角形求出EW的值，利用勾股定理求出EW的值，设MN＝a，则EN＝a+10，利用线段的和差关系得WN=EN-EW=a-8，从而有关于a的方程242+（a﹣8）2＝a2，解方程求出a的值即可.
27．【答案】（1）解：∵二次函数的图象的顶点为C，
∴C（1，4），
令，
解得x＝-2或x＝4，
∴A（-2，0），B（4，0）；
（2）解：①6
②∵二次函数的图象经过C（1，4），M（t，4），
∴二次函数的对称轴为直线，
∴二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为，
∵函数图象与x轴交于点D，B（4，0），
∴B、D两点关于对称轴对称，
∴D（t﹣3，0），
∵点D在线段OB上，且与O、B不重合，
∴，
解得：3＜t＜7，
∵t＝4时，过点B，C，M三点的二次函数不存在，
∴3＜t＜7且t≠4；
③∵D（t﹣3，0），B（4，0），
∴OD＝t﹣3，DB＝4-t+3=7﹣t，
∴OD DB＝（t﹣3） （7﹣t）=﹣t2+10t﹣21＝﹣（t﹣5）2+4，
∵3＜t＜7且t≠4，
∴t＝5时，OD DB有最大值，最大值为4．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用交点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（2）①∵二次函数过点B（4，0），C（1，4），D（3，0），
∴设二次函数的解析式为：y'＝a（x﹣4）（x﹣3），
把C（1，4）代入y'＝a（x﹣4）（x﹣3），得4=a（1-4）×（1-3），
解得：，
∴，
当y'=4时，x=6，
∴x1=6，x2=1，
∵t≠1，
∴t=6，故答案为：6；
【分析】（1）根据二次函数的顶点式直接得C的坐标，令y=0，解得x＝-2或x＝4，从而求出A、B的坐标；
（2）①利用二次函数交点式求出解析式为，令y'=4，求出x的值，从而得t的值；
②根据二次函数对称性得对称轴与x轴的交点坐标为，根据题意得B、D两点关于对称轴对称，从而求出D（t﹣3，0），由点D在线段OB上，且与O、B不重合，得关于t的不等式组，解不等式组求出t的范围3＜t＜7，注意当t=4时，过点B，C，M三点的二次函数不存在，进而有
3＜t＜7且t≠4；
③根据D、B的坐标得OD、DB的值，从而求出OD DB＝﹣（t﹣5）2+4，然后根据二次函数的性质求出最大值.
28．【答案】（1）解：①如图，点M即为所求；
②如图，点P即为所求；
（2）解：如图，点M、N即为所求；
（3）解：如图，点Q即为所求．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） ①根据【阅读理解】的作图方法：在直线上方任取一点A，连接AE、AF交直线于点B、C，连接BF、CE交于点O，连接AO交直线于点N，延长AO交直线于点M，点M即为所求；
②连接FN并延长交AE于点G，连接GC并延长交直线于点P，点P即为所求；
（2）连接P1F、P4E交于点O，连接P2O并延长交直线于点M，连接P3O并延长交直线于点N，点M、N即为所求；
（3）连接CD、BE交于点O，则O是CD三等分点，作射线AO交BC于F，交DE于G，连接CG、EF交于点H，作射线OH交AC于Q，则Q是EC三等分点，点Q即为所求.
1 / 1江苏省镇江市2024年中考数学试卷
1．（2024·镇江）﹣100的绝对值等于 ．
【答案】100
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：-100的绝对值为100，
故答案为：100.
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数进行求解.
2．（2024·镇江）要使分式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x-2≠0，
∴x≠2，
故答案为：x≠2.
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零进行求解.
3．（2024·镇江）一组数据：1、1、1、2、5、6，它们的众数为 ．
【答案】1
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵一组数据1、1、1、2、5、6，
∴它们的众数为1，
故答案为：1.
【分析】根据众数的定义进行求解.
4．（2024·镇江）分解因式：x2+3x= ．
【答案】x（x+3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+3x=x（x+3）．
【分析】观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案．
5．（2024·镇江）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．
【答案】6
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰长为6，底边长为2，
∴2+6>6，能构成三角形，
∴第三边长为6；
当等腰三角形的腰长为2，底边长为6，
∴2+2<6，不能构成三角形，
综上所述，第三边长为6，
故答案为：6.
【分析】先分类讨论：等腰三角形的腰长为6，底边长为2；等腰三角形的腰长为2，底边长为6，再根据三角形的三边关系进行求解.
6．（2024·镇江）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC＝8，CD＝5，则BD＝ ．
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的边AB的垂直平分线交AC于点D，
∴AD=BD，
∵AC=8，CD=5，
∴BD=AD=AC-CD=8-5=3，
故答案为：3.
【分析】根据垂直平分线的性质得AD=BD，再利用线段的和差关系求BD=AD=AC-CD.
7．（2024·镇江）点A（1，y1）、B（2，y2）在一次函数y＝3x+1的图象上，则y1 y2（用“＜”、“＝”或“＞”填空）．
【答案】＜
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵在一次函数y=3x+1中，k=3>0，
∴y随x的增大而增大，
∵1<2，
∴y1故答案为：<.
【分析】根据“一次函数的增减性：对于一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小”进行求解即可.
8．（2024·镇江）小丽6次射击的成绩如图所示，则她的射击成绩的中位数为 环．
【答案】7.5
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：根据题意，得小丽6次射击的成绩为：4、5、7、8、9、10环，
∴她的射击成绩的中位数为：环，
故答案为：7.5.
【分析】先根据图表把小丽6次射击成绩从小到大进行排列，再根据中位数的定义进行求解.
9．（2024·镇江）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB＝18°，则n＝ ．
【答案】10
【知识点】圆周角定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=18°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×18°=36°，
∴n=360÷36=10，
故答案为：10.
【分析】根据圆周角定理得∠AOB=2∠ACB，然后根据正多边形的性质求出n的值.
10．（2024·镇江）关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为 .
【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，
， ， ，
∴Δ=62-4×1×m=0，
解得m=9，
故答案为：9.
【分析】利用一元二次方程有两个相等的实数根，可得到b2-4ac=0，由此建立关于m的方程，解方程求出m的值.
11．（2024·镇江）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB＝1，∠D＝60°，则的长l＝ （结果保留π）．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得AB=AE=1，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=60°，
∴∠ABE=∠D=60°，
∴是等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∴的长，
故答案为：.
【分析】根据作图步骤得AB=AE=1，然后利用平行四边形对角相等得∠ABE=∠D=60°，接下来根据等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，从而有∠BAE=60°，最后根据弧长的计算公式进行求解即可.
12．（2024·镇江）对于二次函数y＝x2﹣2ax+3（a是常数），下列结论：①将这个函数的图象向下平移3个单位长度后得到的图象经过原点；②当a＝﹣1时，这个函数的图象在函数y＝﹣x图象的上方；③若a≥1，则当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①②④
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：①∵将二次函数的图像向下平移3个单位长度后得到的解析式为，
∴当x=0时，y=0，
∴平移后的函数图象经过原点，①正确；
②当a=-1时，，
令，整理得，
∴，
∴二次函数与函数y=-x的图像没有交点，
∵二次函数的图像开口向上，
∴当a=-1时，这个函数的图象在函数y=-x图像的上方，②正确；
③∵二次函数解析式为，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=a，
∴当x>a时，y随x的增大而增大，③错误；
④二次函数解析式为，
∴顶点坐标为，
∵3-a2≤3，二次函数的图象开口向上，
∴这个函数的最小值不大于3，④正确；
故答案为：①②④.
【分析】①根据二次函数平移的规律：上加下减常数项，左加右减自变量得平移后的函数解析式y=x2-2ax，再令x=0，得y=0，即可判断选项①；
②求出当a=-1时的二次函数解析式，然后确定二次函数与函数y=-x是否有交点，即可判断选项②；
③求出二次函数的开口方向、对称轴，根据二次函数的增减性，即可判断选项③；
④求出二次函数的顶点坐标，即可判断选项④.
13．（2024·镇江）早在几年前“嫦娥五号”探测器就从月球带着1731克月球样品回到了地球．数据1731用科学记数法表示为 （ ）
A．1.731×104 B．17.31×103 C．1.731×103 D．17.31×102
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1731=1.731×103，
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数.
14．（2024·镇江）下列运算中，结果正确的是 （ ）
A．m3 m3＝m6 B．m3+m3＝m6 C．（m3）2＝m5 D．m6÷m2＝m3
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D错误；
故答案为：A.
【分析】根据“合并同类项、幂的乘方、同底数幂乘除法”法则进行计算即可.
15．（2024·镇江）下列各项调查适合普查的是 （ ）
A．长江中现有鱼的种类 B．某班每位同学视力情况
C．某市家庭年收支情况 D．某品牌灯泡使用寿命
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、长江中现有鱼的种类是比较多的，进行普查不符合实际，A不符合题意；
B、某班同学人数不算多，适合普查，B符合题意；
C、某市家庭数量是比较多的，进行普查不符合实际，C不符合题意；
D、某品牌灯泡生产数量是比较多的，进行普查不符合实际，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据普查的特点：全面调查，进行求解.
16．（2024·镇江）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD＝3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是 （ ）
A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
【答案】D
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：根据题意，可知小杰到达点C处转身按原路回到点B处会离点光源A越来越近，
∵CD=3，
∴返回过程中小杰在灯光下的影长小于3米，
故答案为：D.
【分析】根据中心投影的特点：①等高物体垂直地面放置，离点光源越近，影子越短，离点光源越远，影子越长；②等长物体平行地面放置，离点光源越近，影子越长，离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度；③点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一直线上，即可求解.
17．（2024·镇江）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量y（单位：L）关于行驶路程x（单位：百公里）的函数图象分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是 （ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据函数图象得甲、乙两车行驶m百公里时，甲车耗油为：40-24=16（升），乙车耗油为：40-20=20（升），
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意得甲、乙两车行驶m百公里的耗油量，再根据“甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L”列出方程.
18．（2024·镇江）如图，在平面直角坐标系中，过点A（m，0）且垂直于x轴的直线l与反比例函数y的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是 （ ）
A．m＜﹣2或m＞2 B．﹣2＜m＜2且m≠0
C．﹣2＜m＜0或m＞2 D．m＜﹣2或0＜m＜2
【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵过点A（m，0）且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点B，
∴，
∵将直线l绕点B逆时针旋转45°，
∴旋转后的直线l与直线y=-x平行，
∴设旋转后的直线l解析式为y=-x+b，
∵直线y=-x+b经过第一、二、四象限，
∴b>0，
∵在直线y=-x+b上，
∴，
∴，
∴，
当m>0时，则m2-4>0，
解得：m>2，
当m<0时，则m2-4<0，
解得：-2故答案为：C.
【分析】先求出，然后利用旋转45°这个条件得旋转后的直线l与直线y=-x平行，由一次函数中平行直线“k”相同，设旋转后的直线l解析式为y=-x+b，从而有b>0，将点B的坐标代入y=-x+b求出b的值，从而有，接下来进行分类讨论：m>0或m<0时，得m2-4>0或m2-4<0，解不等式求出m的取值范围即可.
19．（2024·镇江）（1）计算：（）0﹣4cos30°；
（2）化简：（1）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）利用零指数幂、特殊角的三角函数值、算数平方根进行化简，然后进行加减运算；
（2）先将括号里的算式进行通分，再把除法变成乘法，最后进行乘法计算.
20．（2024·镇江）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）解：方程两边同乘x（x+1），得3（x+1）＝2x，
解得x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，x（x+1）≠0，
∴原分式方程的解是x＝﹣3；
（2）解：，
解不等式①，得x≤4，
解不等式②，得x＞1，
∴不等式组的解集是1＜x≤4．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据分式方程的解法进行计算即可；
（2）根据解不等式组的解法进行计算即可.
21．（2024·镇江）如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△BAD；
（2）若∠DAB＝70°，则∠CAB＝ °．
【答案】（1）证明：在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS）；
（2）20
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）∵∠DAB＝70°，∠D＝90°，
∴∠DBA＝90°-70°＝20°，
由（1）知△ABC≌△BAD，
∴∠CAB＝∠DBA＝20°，
故答案为：20．
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理“AAS”证明△ABC≌△BAD；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠DAB=20°，由（1）得△ABC≌△BAD，根据全等三角形对应角相等得∠CAB＝∠DBA＝20°.
22．（2024·镇江）3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上．
（1）洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于 ；
（2）洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率．
【答案】（1）
（2）解：把写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”3张卡片分别记为A、B、C，画树状图如下：
∴共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种，
∴抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，
∴洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率为，
故答案为：.
【分析】（1）根据简单事件的概率计算方法进行求解；
（2）用树状图法求出所有的等可能结果数，从而得满足条件的结果数，最后利用概率公式进行求解.
23．（2024·镇江）有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图：
（1） 图能更好地反映各组试验的总次数， 图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）；
（2）求实践组摸到黄球的频率；
（3）根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？
【答案】（1）B；A
（2）解：实践组摸到黄球的频率为：（500-372）÷500＝0.256；
（3）解：实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：（1）B图能更好地反映各组试验的总次数，A图能更好地反映各组试验摸到红球的频数，
故答案为：B，A.
【分析】（1）观察图表直接得出答案；
（2）根据频率公式：进行求解；
（3）观察图表即可求解，比如实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）．
24．（2024·镇江）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C'落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB＝90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】解：BC与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
由折叠的性质得：∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AC∥OD，
∵∠ACB=90°，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】连接OD，根据等腰三角形“等边对等角”、折叠的性质得∠OAD＝∠ODA=∠CAD，从而求出AC∥OD，进而得∠ODB＝∠ACB＝90°，最后根据切线的判定定理即可得证BC与⊙O相切．
25．（2024·镇江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝2x+m的图象与x轴、y轴交于A（﹣3，0）、B两点，与反比例函数y（k≠0）的图象交于点C（1，n）．
（1）求m和k的值；
（2）已知四边形OBDE是正方形，连接BE，点P在反比例函数y（k≠0）的图象上．当△OBP的面积与△OBE的面积相等时，直接写出点P的坐标 ．
【答案】（1）解：一次函数y＝2x+m的图象过A（﹣3，0），
∴2×（﹣3）+m＝0，
∴m＝6，
∴y=2x+6，
∵C（1，n）在函数y＝2x+6的图象上，
∴n＝2×1+6＝8，
∵C（1，8）在函数图象上，
∴k＝8；
（2）或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）当x＝0时，y＝6，
∴OB＝6，
∵四边形OEDB是正方形，
∴OE＝OB＝6，
设P的坐标是，
∵△OBP的面积与△OBE的面积相等，
∴，
∴|a|＝OB＝6，
∴a=±6，
∴或，
∴P的坐标是或.
【分析】（1）把A（﹣3，0）代入y＝2x+m求出m=6，从而把C（1，n）代入y＝2x+6求出n=8，然后把C（1，8）代入求出k=8；
（2）先求出OB的值，根据正方形的性质得OE＝OB＝6，设P的坐标是，利用三角形的面积公式得，从而求出a=±6，进而求出P的坐标.
26．（2024·镇江）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在AC上，已知AB＝AC，sin，点D、F、G、J在AB上，DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行，DE＝FM＝GH＝JK＝20cm，DF＝FG＝GJ＝30cm．点N在AC上，AN、MN的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时AB、AC重合，点E、M、H、N、K、C在AB上的位置如图所示．
（1）【分析问题】
如图5，用图中的线段填空：AN＝MN+EM+AD﹣ ；
（2）如图4，sin∠MEN≈ ，由 AN＝EN+AE＝EN+AD，且AN的长度不变，可得MN与EN之间的数量关系为 ；
（3）【解决问题】
求MN的长．
【答案】（1）DE
（2）；MN+10＝EN
（3）解：如图，作MW⊥AC于W，
∴∠MWN＝∠MWE＝90°，
∴MW2+WN2＝MN2，
∵EM=30，，
∴，
∴，
设MN＝a，则EN＝a+10，
∴WN＝EN﹣EW＝a+10﹣18＝a﹣8，
∴242+（a﹣8）2＝a2，
∴a＝40，
∴MN＝40cm．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）∵AN=MN+EM+AE，AE=AD-DE，
∴AN=MN+EM+AE=MN+EM+AD-DE，
故答案为：DE；
（2）∵DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行，
∴DE∥FM，
∵DE＝FM＝20，
∴四边形DEMF是平行四边形，
∴EM∥DF，EM=DF，
∴∠MEN＝∠BAC，
∵，
∴，
∵AN＝MN+EM+AD﹣DE，AN＝EN+AD，
∴MN+EM+AD﹣DE＝EN+AD，
∴MN+EM﹣DE＝EN，
∵EM=DF=30，DE=20，
∴MN+30-20＝EN，
∴MN+10＝EN，
故答案为：，MN+10＝EN；
【分析】（1）观察图5，根据线段的和差关系进行求解；
（2）根据平行线的传递性得DE∥FM，从而根据平行四边形的判定证出四边形DEMF是平行四边形，得EM∥DF，EM=DF，从而有∠MEN＝∠BAC，进而求出，接下来根据AN＝MN+EM+AD﹣DE，AN＝EN+AD，得MN+EM+AD﹣DE＝EN+AD，从而代入数据进行化简得MN+10＝EN；
（3）作MW⊥AC于W，得∠MWN＝∠MWE＝90°，根据勾股定理得MW2+WN2＝MN2，然后解直角三角形求出EW的值，利用勾股定理求出EW的值，设MN＝a，则EN＝a+10，利用线段的和差关系得WN=EN-EW=a-8，从而有关于a的方程242+（a﹣8）2＝a2，解方程求出a的值即可.
27．（2024·镇江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y（x﹣1）2+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）一个二次函数的图象经过B、C、M（t，4）三点，其中t≠1，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为（3，0），则t＝ ▲ ；
②求t的取值范围；
③求OD DB的最大值．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象的顶点为C，
∴C（1，4），
令，
解得x＝-2或x＝4，
∴A（-2，0），B（4，0）；
（2）解：①6
②∵二次函数的图象经过C（1，4），M（t，4），
∴二次函数的对称轴为直线，
∴二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为，
∵函数图象与x轴交于点D，B（4，0），
∴B、D两点关于对称轴对称，
∴D（t﹣3，0），
∵点D在线段OB上，且与O、B不重合，
∴，
解得：3＜t＜7，
∵t＝4时，过点B，C，M三点的二次函数不存在，
∴3＜t＜7且t≠4；
③∵D（t﹣3，0），B（4，0），
∴OD＝t﹣3，DB＝4-t+3=7﹣t，
∴OD DB＝（t﹣3） （7﹣t）=﹣t2+10t﹣21＝﹣（t﹣5）2+4，
∵3＜t＜7且t≠4，
∴t＝5时，OD DB有最大值，最大值为4．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用交点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（2）①∵二次函数过点B（4，0），C（1，4），D（3，0），
∴设二次函数的解析式为：y'＝a（x﹣4）（x﹣3），
把C（1，4）代入y'＝a（x﹣4）（x﹣3），得4=a（1-4）×（1-3），
解得：，
∴，
当y'=4时，x=6，
∴x1=6，x2=1，
∵t≠1，
∴t=6，故答案为：6；
【分析】（1）根据二次函数的顶点式直接得C的坐标，令y=0，解得x＝-2或x＝4，从而求出A、B的坐标；
（2）①利用二次函数交点式求出解析式为，令y'=4，求出x的值，从而得t的值；
②根据二次函数对称性得对称轴与x轴的交点坐标为，根据题意得B、D两点关于对称轴对称，从而求出D（t﹣3，0），由点D在线段OB上，且与O、B不重合，得关于t的不等式组，解不等式组求出t的范围3＜t＜7，注意当t=4时，过点B，C，M三点的二次函数不存在，进而有
3＜t＜7且t≠4；
③根据D、B的坐标得OD、DB的值，从而求出OD DB＝﹣（t﹣5）2+4，然后根据二次函数的性质求出最大值.
28．（2024·镇江）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，仅用一把无刻度的直尺作DE、BC的中点．
操作：如图2，连接BE、CD交于点P，连接AP交DE于点M，延长AP交BC于点N，则M、N分别为DE、BC的中点．
理由：由DE∥BC可得△ADM∽△ABN及△AEM∽△ACN，所以，，所以，同理，由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP，可得，，所以，所以，则BN＝CN，DM＝EM，即M、N分别为DE、BC的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3，l1∥l2，点E、F在直线l2上．
①作线段EF的中点；
②在①中作图的基础上，在直线l2上位于点F的右侧作一点P，使得PF＝EF；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…、k倍（k为正整数）的线段．如图4，l1∥l2，已知点P1、P2在l1上，他利用上述方法作出了P2P3＝P3P4＝P1P2.点E、F在直线l2上，请在图4中作出线段EF的三等分点；
（3）【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
如图5，DE是△ABC的中位线．请在线段EC上作出一点Q，使得QECE（要求用两种方法）．
【答案】（1）解：①如图，点M即为所求；
②如图，点P即为所求；
（2）解：如图，点M、N即为所求；
（3）解：如图，点Q即为所求．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） ①根据【阅读理解】的作图方法：在直线上方任取一点A，连接AE、AF交直线于点B、C，连接BF、CE交于点O，连接AO交直线于点N，延长AO交直线于点M，点M即为所求；
②连接FN并延长交AE于点G，连接GC并延长交直线于点P，点P即为所求；
（2）连接P1F、P4E交于点O，连接P2O并延长交直线于点M，连接P3O并延长交直线于点N，点M、N即为所求；
（3）连接CD、BE交于点O，则O是CD三等分点，作射线AO交BC于F，交DE于G，连接CG、EF交于点H，作射线OH交AC于Q，则Q是EC三等分点，点Q即为所求.
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