江苏省宿迁市2024年中考数学试卷
1．（2024·宿迁）6的倒数是（ ）
A． B．- C．6 D．﹣6
2．（2024·宿迁）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5 B．a4 a2＝a6
C．a3÷a＝a3 D．（ab2）3＝a3b5
3．（2024·宿迁）地球与月球的平均距离大约为384000km，数据384000用科学记数法表示为（ ）
A．3.84×104 B．3.84×105 C．3.84×106 D．38.4×105
4．（2024·宿迁）如图，直线AB∥CD，直线MN分别与直线AB、CD交于点E、F，且∠1＝40°，则∠2等于（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
5．（2024·宿迁）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．自 B．立 C．科 D．技
6．（2024·宿迁）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ）
A．x﹣4x﹣1 B．x+4x﹣1
C．x﹣4x+1 D．x+4x+1
7．（2024·宿迁）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m≠0
8．（2024·宿迁）如图，点A在双曲线y1（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2024·宿迁）要使有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2024·宿迁）因式分解：x2+4x＝ ．
11．（2024·宿迁）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．
12．（2024·宿迁）点P（a2+1，﹣3）在第 象限．
13．（2024·宿迁）一组数据6，8，10，x的平均数是9，则x的值为 ．
14．（2024·宿迁）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 °．
15．（2024·宿迁）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆心，EF长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ．
16．（2024·宿迁）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF＝ °．
17．（2024·宿迁）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ．
18．（2024·宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线yx上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 ．
19．（2024·宿迁）计算：（π﹣3）0﹣2sin60°+||．
20．（2024·宿迁）先化简，再求值：（1） ，其中x3．
21．（2024·宿迁）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝DCBC，E是BC的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形；
乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
22．（2024·宿迁）某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中C对应圆心角的度数为 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数．
23．（2024·宿迁）某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A彭雪枫纪念馆，B淮海军政大礼堂，C爱园烈士陵园，D大王庄党性教育基地，每名学生只能任意选择一条线路．
（1）小刚选择线路A的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小红选择同一线路的概率．
24．（2024·宿迁）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七风塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG=37°； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE＝24米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45°.
……
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
25．（2024·宿迁）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，AB＝20，CD＝12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD＝2∠B．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求EF的长．
26．（2024·宿迁）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
（1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？
（2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
27．（2024·宿迁）如图①，已知抛物线y1＝x2+bx+c与x轴交于两点O（0，0）、A（2，0），将抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物线y2．点P是抛物线y1在第四象限内一点，连接PA并延长，交抛物线y2于点Q．
（1）求抛物线y2的表达式；
（2）设点P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ，求xQ﹣xP的值；
（3）如图②，若抛物线y3＝x2﹣8x+t与抛物线y1＝x2+bx+c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线y1和y3于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断|m﹣n|是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
28．（2024·宿迁）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．
（1）【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；
操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；
操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF．
把正方形纸片展平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．
根据以上操作，得∠EBF＝ °．
（2）【探究证明】
如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；
（3）【答案】
如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M．求证：EM＝MF．
（4）【深入研究】
若，请求出的值（用含k的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：
∵ ，
∴6的倒数是 .
故答案为：A.
【分析】利用倒数就是1除以这个数来求解.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，A错误；
B、，B正确；
C、a3÷a=a2，C错误；
D、(ab2)3=a3b6，D错误；
故答案为：B.
【分析】根据“合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方”法则逐项进行判断即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：384000=3.84×105，
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为原数的整数位数.
4．【答案】C
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1=40°，
∴∠DFN=∠1=40°，
∴∠2=180°-∠DFN=180°-40°=140°，
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得∠DFN=∠1=40°，再根据平角的定义得∠2=180°-∠DFN.
5．【答案】C
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体的展开图，可知与“强”字所在面相对面上的汉字是“科”，
故答案为：C.
【分析】根据正方体的展开图特征进行求解即可.正方体的展开图中同一行有3个或3个以上时，间隔一个的面为对立面，同一行或同一列只有两个时，隔一个再拐弯所对的面即对立面.
6．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：A.
【分析】设绳长为x尺，根据“把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺”即可列出方程.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意，得【x，x+1】 ★ (mx)=mx2+x+1=0，
∵关于x的方程【x，x+1】 ★ (mx)=0有两个不相等的实数根，
∴12-4m×1=1-4m>0，m≠0，
解得：且m≠0，
故答案为：D.
【分析】根据新定义得关于x的方程mx2+x+1=0，再根据一元二次方程根的判别式得1-4m>0，m≠0，解不等式即可求出m的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
设，直线OA的表达式为y=mx(m≠0)，
∴，
解得：，
∴直线OA的表达式为，
令，
解得：，
∴，
∵AO=AC，AD⊥x轴，
∴OC=2OD=2a，
∵，
∴，
解得：k=4，
故答案为：C.
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，设，然后利用待定系数法求出直线OA的表达式为，然后令，解方程求出x的值，从而得点B的坐标，根据等腰三角形“三线合一”性质得OC=2OD=2a，接下来根据三角形面积公式得关于k的方程，解方程求出k的值即可.
9．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴x-1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，得关于x的不等式，解不等式求出x的取值范围.
10．【答案】x（x+4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+4x=x(x+4)，
故答案为：x(x+4).
【分析】利用提公因式法进行因式分解即可.
11．【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
12．【答案】四
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵a2+1>0，-3<0，
∴点P在第四象限，
故答案为：四.
【分析】根据平面直角坐标系各象限点的坐标特征进行求解即可.第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-).
13．【答案】12
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵6，8，10，x的平均数是9，
∴，
解得：x=12，
故答案为：12.
【分析】根据平均数的定义得关于x的方程，解方程求出x的值即可.
14．【答案】90
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为n°，
∵圆锥的底面半径为3，母线长为12，
∴，
解得：n=90，
故答案为：90.
【分析】设圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为n°，根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，得关于n的方程，解方程求出n的值即可.
15．【答案】
【知识点】弧长的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，EF=DE=2，
∴的长为，
故答案为：.
【分析】根据正多边形的性质得∠E=120°，EF=DE=2，再根据弧长计算公式：进行计算即可.
16．【答案】10
【知识点】三角形内角和定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵∠B=50°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-30°=100°，
根据题意，得AF平分∠BAC，
∴，
∵AD是的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-50°-90°=40°，
∴∠DAF=∠BAF-∠BAD=50°-40°=10°，
故答案为：10.
【分析】根据三角形内角和定理得∠BAC=100°，根据题意得AF平分∠BAC，从而根据角平分的定义得∠BAF=50°，接下来再次利用三角形内角和定理得∠BAD=40°，最后有∠DAF=∠BAF-∠BAD.
17．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的解为，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】先把所求方程组转化为，观察该方程组与已知解的方程组结构特征，可得，解方程组求出x、y的值即可.
18．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作的外接圆，D为圆心，连接CD，过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵∠ACB=90°，
∴AB是的直径，设AB=2AD=2BD=2r，
∴线段AB最小时，的半径r最小，
∵CD≥DF，
∴当CD⊥x轴时，CD最小，此时C、F重合，与x轴相切，
∵点A在直线上，且点A的横坐标为4，
∴A(4，3)，
∴AE=3，OE=4，
根据勾股定理，得OA=5，
∴OD=5-r，
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴∠DFO=∠AEO=90°，
∴DF∥AE，
∴，
∴，即，
解得：，
∴线段AB的最小值为，
故答案为：.
【分析】作的外接圆，连接CD，过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”得AB是的直径，设AB=2AD=2BD=2r，然后由“CD≥DF”可知当CD⊥x轴时，CD最小，此时C、F重合，与x轴相切，接下来求出点A的坐标，利用勾股定理得OA=5，从而有OD=5-r，易证，根据相似三角形对应边成比例得，解方程求出r的值，即可求出AB=2r的最小值.
19．【答案】解：原式
.
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】利用零指数幂、特殊角的三角函数值、实数的绝对值进行化简，最后进行计算即可.
20．【答案】解：原式
，
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号里的分式进行通分化简，再进行分式的乘法计算，最后代入x的值进行计算即可.
21．【答案】证明：甲：如图，连接AE，
∵E是BC的中点，
∴，
∵，
∴AD＝EC，
∵AD∥BC，即AD∥EC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴四边形ADCE是菱形；
乙：如图，连接AC，AE.
∵E是BC的中点，
∴，
∵，
∴CE=BE=AD=DC，
∵AD∥BC，即AD∥CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AE=DC，
∴AE＝CE＝BE，
∴∠EAC＝∠ECA，∠EAB＝∠B，
∵∠EAC+∠ECA+∠EAB+∠B＝180°，
∴2∠EAC+2∠EAB＝180°，
∴∠EAC+∠EAB＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
【知识点】菱形的判定；直角三角形的判定
【解析】【分析】甲：连接AE，根据中点的定义得，结合题意可得AD＝EC，根据一组对边平行且相等证明四边形ADCE是平行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得证四边形ADCE是菱形；
乙：连接AC，AE，根据中点的定义得，从而结合题目条件得CE=BE=AD=DC，然后根据一组对边平行且相等证明四边形ADCE是平行四边形，得AE＝CE＝BE，接下来根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得∠EAC+∠ECA+∠EAB+∠B＝180°，从而有∠BAC＝90°，得证△ABC是直角三角形．
22．【答案】（1）200；36
（2）解：B项目的人数为：200-54-20-50-46＝30，补全条形统计图如下：
（3）解：（名），
答：估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460名．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）50÷25%=200（人），，
故答案为：200，36.
【分析】（1）根据D类运动项目的人数和所占百分比求出样本容量，再用C类运动项目所占百分比乘360°即可求解；
（2）先计算出B类运动项目的人数，再补全条形统计图；
（3）用样本估计总体，用该校的人数乘最喜欢“E兵乓球”的人数所占百分比即可.
23．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能的结果，其中小刚和小红选择同一线路的结果有4种，
∴小刚和小红选择同一线路的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）小刚选择线路A的概率为：，
故答案为：.
【分析】（1）根据题意可知有4种等可能的结果，其中小刚选择路线A的结果有1种，然后根据概率公式进行求解即可；
（2）用列表的方法求出所有的等可能结果数，得小刚和小红选择同一路线的结果数，然后利用概率公式进行求解.
24．【答案】解：由题意得，DF＝CE＝24米，AG＝EF＝CD＝1.2米，∠BDG＝37°，∠BFG＝45°，
在Rt△BDG中，，
∴，
在Rt△BFG中，∠BFG＝45°，
∴FG＝BG，
∵DF＝24米，
∴，
解得：BG＝72，
∴AB＝BG+AG=72+1.2＝73.2（米），
答：塔AB的高度为73.2米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意，得DF=CE=24，AG=EF=CD=1.2，∠BDG=37°，∠BFG=45°，然后在Rt△BDG中，解直角三角形得，在Rt△BFG中，根据等腰直角三角形的性质得FG=BG，从而有，求出BG的长，最后求出AB=BG+AG的值即可.
25．【答案】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO，
∴∠AOC＝∠B+∠BCO＝2∠B，
∵∠FCD＝2∠B，
∴∠FCD＝∠AOC，
∵AB⊥CD，
∴∠CEO＝90°，
∴∠AOC+∠OCE＝90°，
∴∠FCD+∠OCE＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，CD=12，
∴，
∵AB＝20，
∴OC＝10，
∴，
∵∠OCF＝∠OEC＝90°，∠COE＝∠FOC，
∴△OCE∽△OFC，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】垂径定理；切线的判定；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质得∠AOC＝∠B+∠BCO=2∠B，从而得∠FCD＝∠AOC，根据直角三角形的两锐角互余得∠AOC+∠OCE＝90°，从而有∠OCF=∠FCD+∠OCE＝90°，最后根据切线的判定定理进行求证；
（2）根据垂径定理得，利用勾股定理求出OE=8，根据两组对角分别相等的两个三角形相似，得△OCE∽△OFC，从而有，进而求出OF的值，最后求EF=OF-OE的值.
26．【答案】（1）解：设纪念品B的单价为m元，则纪念品A的单价为（m+10）元，
根据题意得：，
解得m＝20，
经检验m＝20是原方程的根，
∴m+10＝30，
答：纪念品A的单价为30元，纪念品B的单价为20元；
（2）解：设总费用为w元，计划购买A纪念品t件，则B纪念品（400﹣t）件，
根据题意，w＝30t+20（400﹣t）＝10t+8000，
∴w与t的函数关系式为w＝10t+8000，
∵纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，
∴t≥2（400﹣t），
解得：，
∵t为整数，
∴t最小值取267，
在w＝10t+8000中，w随t的增大而增大，
∴当t＝267时，w取最小值，最小值为10×267+8000＝10670（元），
∵10670＜11000，符合题意，
此时400-t＝400-267＝133，
∴购买A纪念品267件，B纪念品133件，才能使总费用最少，最少费用为10670元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设纪念品B的单价为m元，则纪念品A的单价为（m+10）元，根据” 用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相“得关于m的分式方程，解分式方程求出m的值并检验，从而得m+10的值，即可求解；
（2）设总费用为w元，计划购买A纪念品t件，则B纪念品（400﹣t）件，根据题意得w与t的函数关系式，再根据”纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍“得关于t的不等式，解不等式求出t的取值范围，从而确定t的值，再根据一次函数的性质进行求解即可.
27．【答案】（1）解：∵抛物线y1=x2+bx+c与x轴交于O（0，0）、A（2，0），将抛物线y1向右平移两个单位长度得抛物线y2，
∴y2与x轴交于（2，0）、（4，0），
∴ 抛物线y2的表达式 为：y2＝（x-2）（x-4）＝x2-6x+8；
（2）解：∵抛物线y1=x2+bx+c与x轴交于O（0，0）、A（2，0），
∴抛物线y1的表达式 为：y1＝（x-0）（x-2）＝x2-2x，
设点P（xP ，xP2﹣2xP），xP 满足0∵A（2，0），
∴设直线PA的表达式为：y＝k（x-2）（k≠0），
将点P的坐标代入上式得：xP2-2xP＝k（xP-2），
解得：k＝xP ，
∴直线AP的表达式为：y＝xP （x-2），
联立直线AP和抛物线y2的表达式得：x2-6x+8=xP （x-2），
解得x1=4+xP，x2=2（舍去），
∴点Q的横坐标xQ＝4+xP，
∴xQ-xP＝4+xP-xP＝4；
（3）解：|m﹣n|是定值，|m﹣n|＝6.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）联立抛物线y1、y3的表达式，得x2-2x＝x2-8x+t，
解得：，
∴，
∵点M的横坐标为m，y1＝x2-2x，
∴M（m，m2-2m），
∴直线CM的表达式为：，
∵点N的横坐标为n，y3=x2-8x+t，
∴N（n，n2-8n+t），
将点N的坐标代入直线CM的表达式，得：，
整理得：t（m-n+6）=6n（m-n+6），
又∵M、N均不与C重合，
∴t≠6n，
∴m-n+6=0，
∴m-n=-6，
∴|m﹣n|是定值，|m﹣n|＝6.
【分析】根据题意，得y2与x轴交于（2，0）、（4，0），利用”交点式“求抛物线y2的表达式；
（2）利用”交点式“求出抛物线y1的表达式，得点P（xP ，xP2﹣2xP），然后求出直线PA的表达式为y＝xP （x-2），联立直线AP和抛物线y2的表达式得：x2-6x+8=xP （x-2），求出点Q的横坐标xQ＝4+xP，最后计算xQ-xP的值；
（3）联立抛物线y1、y3的表达式，得点，根据题意求出M（m，m2-2m），利用待定系数法求出直线CM的表达式为：，根据题意得N（n，n2-8n+t），接下来将N点坐标代入直线CM的表达式，整理得6（m-n+6）=6n（m-n+6），从而结合题意得t≠6n，
m-n+6=0，进而求出m-n=-6，最后即可求|m﹣n|=6.
28．【答案】（1）45
（2）解：△BFG为等腰直角三角形，证明如下：
由题意可得∠EBF＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，
∴∠BCA＝∠ACD＝45°，
∵∠EBF＝45°，
∴∠EBF=∠ACD，
∵∠BHG=∠CHF，
∴△BHG∽△CHF，
∴，
∴，
∵∠GHF＝∠BHC，
∴△BHC∽△GHF，
∴∠BCH＝∠GFH＝45°，
又∵∠GBF=45°，
∴∠BGF=90°，BG=GF，
∴△GBF为等腰直角三角形；
（3）证明：∵翻折的性质，
∴∠AEB=∠BEF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BAD=90°，
∵PQ⊥CD，
∴∠GQF=90°，
∴∠D=∠GQF，
∴AD∥PQ，
∴∠AEB=∠EGM，
∴∠AEB=∠BEF=∠EGM，
∴EM=GM，
∵△GBF为等腰直角三角形，
∴∠BGF＝90°=∠EGF，
∴∠BEF+∠GFE=90°，∠EGM+∠MGF=90°，
∴∠GFE=∠MGF，
∴GM=MF，
∴EM＝MF；
（4）解：将△AGB旋转至△CNB，连接HN，如图，
∴△AGB≌△CNB，
∴∠BAC＝∠BCN＝45°，AG＝CN，BG＝BN，∠5=∠6，
∵∠ACB＝45°，
∴∠HCN＝90°，
∴CH2+CN2＝HN2，
∵∠EBF＝45°，∠ABC=90°，
∴∠5+∠FBC=45°，
∵∠5＝∠6，
∴∠6+∠FBC=∠NBH=45°，
∴∠GBH＝∠NBH，
∴△GBH≌△NBH（SAS），
∴GH＝NH，
∴CH2+AG2＝GH2，
易证△PBG≌△QGF，四边形APQD为矩形，
∵∠BAC＝45°，
∴AP＝PG＝DQ＝FQ，
设AP＝PG＝DQ＝FQ＝a，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵CH2+AG2＝GH2，
∴GH2﹣CH2＝（CH+GH）（GH﹣CH）＝2a2，
∴，
又∵，
解得：，，
∴．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；图形的旋转；等腰直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图，
由翻折可得，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴2∠2+2∠3=90°，
∴∠2+∠3=∠EBF=45°，
故答案为：45.
【分析】（1）根据翻折的性质、正方形的性质，得2∠2+2∠3=90°，从而有∠EBF=45°；
（2）根据正方形的性质得∠BCA＝∠ACD＝45°，从而有∠EBF=∠ACD，根据对顶角相等得∠BHG=∠CHF，根据相似三角形的判定证得△BHG∽△CHF，从而有，进而得，根据对顶角相等得∠GHF＝∠BHC，根据相似三角形的判定证得△BHC∽△GHF，从而得∠BCH＝∠GFH＝45°，进而得∠BGF=90°，BG=GF，即可得证；
（3）根据翻折的性质得∠AEB=∠BEF，根据正方形的性质、垂直的定义得∠D=∠GQF=90°，从而有AD∥PQ，进而得∠AEB=∠EGM=∠BEF，根据”等角对等边“证出EM=GM，根据△GBF为等腰直角三角形，得∠BGF=90°=∠EGF，根据直角三角形两锐角互余可得∠BEF+∠GFE=∠EGM+∠MGF=90°，从而有∠MGF=∠GFE，进而求出GM=MF，最后证得EM=MF；
（4）将△AGB旋转至△BNC，连接HN，得△AGB≌△CNB，求出∠HCN＝90°，利用勾股定理得CH2+CN2＝HN2，接下来根据旋转的性质证△GBH≌△NBH（SAS），得GH＝NH，从而有CH2+AG2＝GH2，易证△PBG≌△QGF，四边形APQD为矩形，然后设AP＝PG＝DQ＝FQ＝a，得，从而得，进而求出，接下来根据GH2﹣CH2＝（CH+GH）（GH﹣CH）＝2a2求出，然后利用加减消元法求出GH、CH的值，最后代入求的值即可.
1 / 1江苏省宿迁市2024年中考数学试卷
1．（2024·宿迁）6的倒数是（ ）
A． B．- C．6 D．﹣6
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：
∵ ，
∴6的倒数是 .
故答案为：A.
【分析】利用倒数就是1除以这个数来求解.
2．（2024·宿迁）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5 B．a4 a2＝a6
C．a3÷a＝a3 D．（ab2）3＝a3b5
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，A错误；
B、，B正确；
C、a3÷a=a2，C错误；
D、(ab2)3=a3b6，D错误；
故答案为：B.
【分析】根据“合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方”法则逐项进行判断即可.
3．（2024·宿迁）地球与月球的平均距离大约为384000km，数据384000用科学记数法表示为（ ）
A．3.84×104 B．3.84×105 C．3.84×106 D．38.4×105
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：384000=3.84×105，
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为原数的整数位数.
4．（2024·宿迁）如图，直线AB∥CD，直线MN分别与直线AB、CD交于点E、F，且∠1＝40°，则∠2等于（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】C
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1=40°，
∴∠DFN=∠1=40°，
∴∠2=180°-∠DFN=180°-40°=140°，
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得∠DFN=∠1=40°，再根据平角的定义得∠2=180°-∠DFN.
5．（2024·宿迁）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．自 B．立 C．科 D．技
【答案】C
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体的展开图，可知与“强”字所在面相对面上的汉字是“科”，
故答案为：C.
【分析】根据正方体的展开图特征进行求解即可.正方体的展开图中同一行有3个或3个以上时，间隔一个的面为对立面，同一行或同一列只有两个时，隔一个再拐弯所对的面即对立面.
6．（2024·宿迁）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ）
A．x﹣4x﹣1 B．x+4x﹣1
C．x﹣4x+1 D．x+4x+1
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：A.
【分析】设绳长为x尺，根据“把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺”即可列出方程.
7．（2024·宿迁）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m≠0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意，得【x，x+1】 ★ (mx)=mx2+x+1=0，
∵关于x的方程【x，x+1】 ★ (mx)=0有两个不相等的实数根，
∴12-4m×1=1-4m>0，m≠0，
解得：且m≠0，
故答案为：D.
【分析】根据新定义得关于x的方程mx2+x+1=0，再根据一元二次方程根的判别式得1-4m>0，m≠0，解不等式即可求出m的取值范围.
8．（2024·宿迁）如图，点A在双曲线y1（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
设，直线OA的表达式为y=mx(m≠0)，
∴，
解得：，
∴直线OA的表达式为，
令，
解得：，
∴，
∵AO=AC，AD⊥x轴，
∴OC=2OD=2a，
∵，
∴，
解得：k=4，
故答案为：C.
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，设，然后利用待定系数法求出直线OA的表达式为，然后令，解方程求出x的值，从而得点B的坐标，根据等腰三角形“三线合一”性质得OC=2OD=2a，接下来根据三角形面积公式得关于k的方程，解方程求出k的值即可.
9．（2024·宿迁）要使有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴x-1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，得关于x的不等式，解不等式求出x的取值范围.
10．（2024·宿迁）因式分解：x2+4x＝ ．
【答案】x（x+4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+4x=x(x+4)，
故答案为：x(x+4).
【分析】利用提公因式法进行因式分解即可.
11．（2024·宿迁）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
12．（2024·宿迁）点P（a2+1，﹣3）在第 象限．
【答案】四
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵a2+1>0，-3<0，
∴点P在第四象限，
故答案为：四.
【分析】根据平面直角坐标系各象限点的坐标特征进行求解即可.第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-).
13．（2024·宿迁）一组数据6，8，10，x的平均数是9，则x的值为 ．
【答案】12
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵6，8，10，x的平均数是9，
∴，
解得：x=12，
故答案为：12.
【分析】根据平均数的定义得关于x的方程，解方程求出x的值即可.
14．（2024·宿迁）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 °．
【答案】90
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为n°，
∵圆锥的底面半径为3，母线长为12，
∴，
解得：n=90，
故答案为：90.
【分析】设圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为n°，根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，得关于n的方程，解方程求出n的值即可.
15．（2024·宿迁）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆心，EF长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ．
【答案】
【知识点】弧长的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，EF=DE=2，
∴的长为，
故答案为：.
【分析】根据正多边形的性质得∠E=120°，EF=DE=2，再根据弧长计算公式：进行计算即可.
16．（2024·宿迁）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF＝ °．
【答案】10
【知识点】三角形内角和定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵∠B=50°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-30°=100°，
根据题意，得AF平分∠BAC，
∴，
∵AD是的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-50°-90°=40°，
∴∠DAF=∠BAF-∠BAD=50°-40°=10°，
故答案为：10.
【分析】根据三角形内角和定理得∠BAC=100°，根据题意得AF平分∠BAC，从而根据角平分的定义得∠BAF=50°，接下来再次利用三角形内角和定理得∠BAD=40°，最后有∠DAF=∠BAF-∠BAD.
17．（2024·宿迁）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的解为，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】先把所求方程组转化为，观察该方程组与已知解的方程组结构特征，可得，解方程组求出x、y的值即可.
18．（2024·宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线yx上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作的外接圆，D为圆心，连接CD，过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵∠ACB=90°，
∴AB是的直径，设AB=2AD=2BD=2r，
∴线段AB最小时，的半径r最小，
∵CD≥DF，
∴当CD⊥x轴时，CD最小，此时C、F重合，与x轴相切，
∵点A在直线上，且点A的横坐标为4，
∴A(4，3)，
∴AE=3，OE=4，
根据勾股定理，得OA=5，
∴OD=5-r，
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴∠DFO=∠AEO=90°，
∴DF∥AE，
∴，
∴，即，
解得：，
∴线段AB的最小值为，
故答案为：.
【分析】作的外接圆，连接CD，过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”得AB是的直径，设AB=2AD=2BD=2r，然后由“CD≥DF”可知当CD⊥x轴时，CD最小，此时C、F重合，与x轴相切，接下来求出点A的坐标，利用勾股定理得OA=5，从而有OD=5-r，易证，根据相似三角形对应边成比例得，解方程求出r的值，即可求出AB=2r的最小值.
19．（2024·宿迁）计算：（π﹣3）0﹣2sin60°+||．
【答案】解：原式
.
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】利用零指数幂、特殊角的三角函数值、实数的绝对值进行化简，最后进行计算即可.
20．（2024·宿迁）先化简，再求值：（1） ，其中x3．
【答案】解：原式
，
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号里的分式进行通分化简，再进行分式的乘法计算，最后代入x的值进行计算即可.
21．（2024·宿迁）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝DCBC，E是BC的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形；
乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
【答案】证明：甲：如图，连接AE，
∵E是BC的中点，
∴，
∵，
∴AD＝EC，
∵AD∥BC，即AD∥EC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴四边形ADCE是菱形；
乙：如图，连接AC，AE.
∵E是BC的中点，
∴，
∵，
∴CE=BE=AD=DC，
∵AD∥BC，即AD∥CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AE=DC，
∴AE＝CE＝BE，
∴∠EAC＝∠ECA，∠EAB＝∠B，
∵∠EAC+∠ECA+∠EAB+∠B＝180°，
∴2∠EAC+2∠EAB＝180°，
∴∠EAC+∠EAB＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
【知识点】菱形的判定；直角三角形的判定
【解析】【分析】甲：连接AE，根据中点的定义得，结合题意可得AD＝EC，根据一组对边平行且相等证明四边形ADCE是平行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得证四边形ADCE是菱形；
乙：连接AC，AE，根据中点的定义得，从而结合题目条件得CE=BE=AD=DC，然后根据一组对边平行且相等证明四边形ADCE是平行四边形，得AE＝CE＝BE，接下来根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得∠EAC+∠ECA+∠EAB+∠B＝180°，从而有∠BAC＝90°，得证△ABC是直角三角形．
22．（2024·宿迁）某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中C对应圆心角的度数为 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数．
【答案】（1）200；36
（2）解：B项目的人数为：200-54-20-50-46＝30，补全条形统计图如下：
（3）解：（名），
答：估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460名．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）50÷25%=200（人），，
故答案为：200，36.
【分析】（1）根据D类运动项目的人数和所占百分比求出样本容量，再用C类运动项目所占百分比乘360°即可求解；
（2）先计算出B类运动项目的人数，再补全条形统计图；
（3）用样本估计总体，用该校的人数乘最喜欢“E兵乓球”的人数所占百分比即可.
23．（2024·宿迁）某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A彭雪枫纪念馆，B淮海军政大礼堂，C爱园烈士陵园，D大王庄党性教育基地，每名学生只能任意选择一条线路．
（1）小刚选择线路A的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小红选择同一线路的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能的结果，其中小刚和小红选择同一线路的结果有4种，
∴小刚和小红选择同一线路的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）小刚选择线路A的概率为：，
故答案为：.
【分析】（1）根据题意可知有4种等可能的结果，其中小刚选择路线A的结果有1种，然后根据概率公式进行求解即可；
（2）用列表的方法求出所有的等可能结果数，得小刚和小红选择同一路线的结果数，然后利用概率公式进行求解.
24．（2024·宿迁）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七风塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG=37°； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE＝24米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45°.
……
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】解：由题意得，DF＝CE＝24米，AG＝EF＝CD＝1.2米，∠BDG＝37°，∠BFG＝45°，
在Rt△BDG中，，
∴，
在Rt△BFG中，∠BFG＝45°，
∴FG＝BG，
∵DF＝24米，
∴，
解得：BG＝72，
∴AB＝BG+AG=72+1.2＝73.2（米），
答：塔AB的高度为73.2米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意，得DF=CE=24，AG=EF=CD=1.2，∠BDG=37°，∠BFG=45°，然后在Rt△BDG中，解直角三角形得，在Rt△BFG中，根据等腰直角三角形的性质得FG=BG，从而有，求出BG的长，最后求出AB=BG+AG的值即可.
25．（2024·宿迁）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，AB＝20，CD＝12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD＝2∠B．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求EF的长．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO，
∴∠AOC＝∠B+∠BCO＝2∠B，
∵∠FCD＝2∠B，
∴∠FCD＝∠AOC，
∵AB⊥CD，
∴∠CEO＝90°，
∴∠AOC+∠OCE＝90°，
∴∠FCD+∠OCE＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，CD=12，
∴，
∵AB＝20，
∴OC＝10，
∴，
∵∠OCF＝∠OEC＝90°，∠COE＝∠FOC，
∴△OCE∽△OFC，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】垂径定理；切线的判定；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质得∠AOC＝∠B+∠BCO=2∠B，从而得∠FCD＝∠AOC，根据直角三角形的两锐角互余得∠AOC+∠OCE＝90°，从而有∠OCF=∠FCD+∠OCE＝90°，最后根据切线的判定定理进行求证；
（2）根据垂径定理得，利用勾股定理求出OE=8，根据两组对角分别相等的两个三角形相似，得△OCE∽△OFC，从而有，进而求出OF的值，最后求EF=OF-OE的值.
26．（2024·宿迁）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
（1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？
（2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
【答案】（1）解：设纪念品B的单价为m元，则纪念品A的单价为（m+10）元，
根据题意得：，
解得m＝20，
经检验m＝20是原方程的根，
∴m+10＝30，
答：纪念品A的单价为30元，纪念品B的单价为20元；
（2）解：设总费用为w元，计划购买A纪念品t件，则B纪念品（400﹣t）件，
根据题意，w＝30t+20（400﹣t）＝10t+8000，
∴w与t的函数关系式为w＝10t+8000，
∵纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，
∴t≥2（400﹣t），
解得：，
∵t为整数，
∴t最小值取267，
在w＝10t+8000中，w随t的增大而增大，
∴当t＝267时，w取最小值，最小值为10×267+8000＝10670（元），
∵10670＜11000，符合题意，
此时400-t＝400-267＝133，
∴购买A纪念品267件，B纪念品133件，才能使总费用最少，最少费用为10670元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设纪念品B的单价为m元，则纪念品A的单价为（m+10）元，根据” 用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相“得关于m的分式方程，解分式方程求出m的值并检验，从而得m+10的值，即可求解；
（2）设总费用为w元，计划购买A纪念品t件，则B纪念品（400﹣t）件，根据题意得w与t的函数关系式，再根据”纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍“得关于t的不等式，解不等式求出t的取值范围，从而确定t的值，再根据一次函数的性质进行求解即可.
27．（2024·宿迁）如图①，已知抛物线y1＝x2+bx+c与x轴交于两点O（0，0）、A（2，0），将抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物线y2．点P是抛物线y1在第四象限内一点，连接PA并延长，交抛物线y2于点Q．
（1）求抛物线y2的表达式；
（2）设点P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ，求xQ﹣xP的值；
（3）如图②，若抛物线y3＝x2﹣8x+t与抛物线y1＝x2+bx+c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线y1和y3于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断|m﹣n|是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y1=x2+bx+c与x轴交于O（0，0）、A（2，0），将抛物线y1向右平移两个单位长度得抛物线y2，
∴y2与x轴交于（2，0）、（4，0），
∴ 抛物线y2的表达式 为：y2＝（x-2）（x-4）＝x2-6x+8；
（2）解：∵抛物线y1=x2+bx+c与x轴交于O（0，0）、A（2，0），
∴抛物线y1的表达式 为：y1＝（x-0）（x-2）＝x2-2x，
设点P（xP ，xP2﹣2xP），xP 满足0∵A（2，0），
∴设直线PA的表达式为：y＝k（x-2）（k≠0），
将点P的坐标代入上式得：xP2-2xP＝k（xP-2），
解得：k＝xP ，
∴直线AP的表达式为：y＝xP （x-2），
联立直线AP和抛物线y2的表达式得：x2-6x+8=xP （x-2），
解得x1=4+xP，x2=2（舍去），
∴点Q的横坐标xQ＝4+xP，
∴xQ-xP＝4+xP-xP＝4；
（3）解：|m﹣n|是定值，|m﹣n|＝6.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）联立抛物线y1、y3的表达式，得x2-2x＝x2-8x+t，
解得：，
∴，
∵点M的横坐标为m，y1＝x2-2x，
∴M（m，m2-2m），
∴直线CM的表达式为：，
∵点N的横坐标为n，y3=x2-8x+t，
∴N（n，n2-8n+t），
将点N的坐标代入直线CM的表达式，得：，
整理得：t（m-n+6）=6n（m-n+6），
又∵M、N均不与C重合，
∴t≠6n，
∴m-n+6=0，
∴m-n=-6，
∴|m﹣n|是定值，|m﹣n|＝6.
【分析】根据题意，得y2与x轴交于（2，0）、（4，0），利用”交点式“求抛物线y2的表达式；
（2）利用”交点式“求出抛物线y1的表达式，得点P（xP ，xP2﹣2xP），然后求出直线PA的表达式为y＝xP （x-2），联立直线AP和抛物线y2的表达式得：x2-6x+8=xP （x-2），求出点Q的横坐标xQ＝4+xP，最后计算xQ-xP的值；
（3）联立抛物线y1、y3的表达式，得点，根据题意求出M（m，m2-2m），利用待定系数法求出直线CM的表达式为：，根据题意得N（n，n2-8n+t），接下来将N点坐标代入直线CM的表达式，整理得6（m-n+6）=6n（m-n+6），从而结合题意得t≠6n，
m-n+6=0，进而求出m-n=-6，最后即可求|m﹣n|=6.
28．（2024·宿迁）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．
（1）【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；
操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；
操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF．
把正方形纸片展平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．
根据以上操作，得∠EBF＝ °．
（2）【探究证明】
如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；
（3）【答案】
如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M．求证：EM＝MF．
（4）【深入研究】
若，请求出的值（用含k的代数式表示）．
【答案】（1）45
（2）解：△BFG为等腰直角三角形，证明如下：
由题意可得∠EBF＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，
∴∠BCA＝∠ACD＝45°，
∵∠EBF＝45°，
∴∠EBF=∠ACD，
∵∠BHG=∠CHF，
∴△BHG∽△CHF，
∴，
∴，
∵∠GHF＝∠BHC，
∴△BHC∽△GHF，
∴∠BCH＝∠GFH＝45°，
又∵∠GBF=45°，
∴∠BGF=90°，BG=GF，
∴△GBF为等腰直角三角形；
（3）证明：∵翻折的性质，
∴∠AEB=∠BEF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BAD=90°，
∵PQ⊥CD，
∴∠GQF=90°，
∴∠D=∠GQF，
∴AD∥PQ，
∴∠AEB=∠EGM，
∴∠AEB=∠BEF=∠EGM，
∴EM=GM，
∵△GBF为等腰直角三角形，
∴∠BGF＝90°=∠EGF，
∴∠BEF+∠GFE=90°，∠EGM+∠MGF=90°，
∴∠GFE=∠MGF，
∴GM=MF，
∴EM＝MF；
（4）解：将△AGB旋转至△CNB，连接HN，如图，
∴△AGB≌△CNB，
∴∠BAC＝∠BCN＝45°，AG＝CN，BG＝BN，∠5=∠6，
∵∠ACB＝45°，
∴∠HCN＝90°，
∴CH2+CN2＝HN2，
∵∠EBF＝45°，∠ABC=90°，
∴∠5+∠FBC=45°，
∵∠5＝∠6，
∴∠6+∠FBC=∠NBH=45°，
∴∠GBH＝∠NBH，
∴△GBH≌△NBH（SAS），
∴GH＝NH，
∴CH2+AG2＝GH2，
易证△PBG≌△QGF，四边形APQD为矩形，
∵∠BAC＝45°，
∴AP＝PG＝DQ＝FQ，
设AP＝PG＝DQ＝FQ＝a，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵CH2+AG2＝GH2，
∴GH2﹣CH2＝（CH+GH）（GH﹣CH）＝2a2，
∴，
又∵，
解得：，，
∴．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；图形的旋转；等腰直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图，
由翻折可得，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴2∠2+2∠3=90°，
∴∠2+∠3=∠EBF=45°，
故答案为：45.
【分析】（1）根据翻折的性质、正方形的性质，得2∠2+2∠3=90°，从而有∠EBF=45°；
（2）根据正方形的性质得∠BCA＝∠ACD＝45°，从而有∠EBF=∠ACD，根据对顶角相等得∠BHG=∠CHF，根据相似三角形的判定证得△BHG∽△CHF，从而有，进而得，根据对顶角相等得∠GHF＝∠BHC，根据相似三角形的判定证得△BHC∽△GHF，从而得∠BCH＝∠GFH＝45°，进而得∠BGF=90°，BG=GF，即可得证；
（3）根据翻折的性质得∠AEB=∠BEF，根据正方形的性质、垂直的定义得∠D=∠GQF=90°，从而有AD∥PQ，进而得∠AEB=∠EGM=∠BEF，根据”等角对等边“证出EM=GM，根据△GBF为等腰直角三角形，得∠BGF=90°=∠EGF，根据直角三角形两锐角互余可得∠BEF+∠GFE=∠EGM+∠MGF=90°，从而有∠MGF=∠GFE，进而求出GM=MF，最后证得EM=MF；
（4）将△AGB旋转至△BNC，连接HN，得△AGB≌△CNB，求出∠HCN＝90°，利用勾股定理得CH2+CN2＝HN2，接下来根据旋转的性质证△GBH≌△NBH（SAS），得GH＝NH，从而有CH2+AG2＝GH2，易证△PBG≌△QGF，四边形APQD为矩形，然后设AP＝PG＝DQ＝FQ＝a，得，从而得，进而求出，接下来根据GH2﹣CH2＝（CH+GH）（GH﹣CH）＝2a2求出，然后利用加减消元法求出GH、CH的值，最后代入求的值即可.
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