树德中学高 2022级高三开学数学考试试题
参考答案
1.A 2.B 3.B 4.C 5.A 6. C 7.C 8.D 9.ACD 10.BC 11.ACD
< - < x e
x1
2 -x ex28．【详解】因为 x 1 x1 x21 x2，所以 x1 x2 0，则 - < a可化为 x2e - x1e > a x1-x2 ，x1 x2
x1 x2
整理得 x ex12 + ax2> x1ex2+ ax x e a e a1，因为 1x2> 0，所以 + > + ，x1 x1 x2 x2
f x = e
x
+ a令 ，则函数 f x 在 -1,0 上单调递减，
x x
x
e x-1 -a则 f x = ≤ 0在 -1,0 上恒成立，所以 ex x-1 ≤ a在 -1,0 上恒成立，
x2
令 g x = ex x-1 ，则 g x = ex x-1 + ex= xex< 0在 -1,0 上恒成立，
则 g x = ex x-1 2 在 -1,0 上单调递减，所以 g x ≤ g -1 =- ，
e
故 a≥- 2 2，所以 a得最小值为- .
e e
11．【详解】由双纽线的定义可得： PF PF = x+a 2 +y2 x-a 21 2 +y2= a2，
即 x+a 2 +y2 x-a 2 +y2 = a4，化简得： x2+y2 2 = 2a2 x2-y2 ，
当 a= 1时，点P的轨迹方程为 x2+y2 2 = 2 x2-y2 ，
令 y= 0，解得 x=± 2或 x= 0，所以 AB = 2 2，故A正确；
因为F1 -a,0 ，F2 a,0 ，若满足 PF1 = PF2 ，则点P在 y轴上，
在方程中 x2+y2 2 = 2 x2-y2 令 x= 0，解得 y= 0，
所以满足 PF1 = PF2 的点P为P 0,0 ，只有一个，故B错误；
S 1△FPF = PF1 PF2 sin∠F1PF
1
2= sin∠F 11 2 2 2 1PF2≤ ，故C正确；2
因为C△PFF = PF1 + PF2 + F1F2 = 2+ PF1 + PF2 ，1 2
又 PF1 PF2 = 1，且 PF1 + PF2 > F1F2 = 2，所以C△PFF = 2+ PF1 2 1 + PF2 > 4，
接下来先证明 PO ≤ 2a：
在△F1PF2中，由余弦定理可得 FF 2= PF 2+ PF 21 2 1 2 - 2 PF1 PF2 cos∠F1PF2，
所以 PF 21 + PF2 2= 4a2+ 2a2cos∠F1PF2.
又因为 2PO=PF +PF 2PO 21 2，所以 = PF1+PF 22
= PF 2
+ PF 2
1 2 + 2PF1 PF2= PF 21 + PF 22 + 2 PF1 PF2 cos∠F1PF2.
所以 2 PO 2 + FF 21 2 = PF 21 + PF2 2+ 2 PF1 PF2 cos∠F1PF2+ PF 21 + PF 22 - 2 PF1
PF2 cos∠F 2 21PF2= 2 PF1 + PF2 ，即 4 PO 2+ 4a2= 2× 4a2+2a2cos∠F1PF2 ，
整理可得 |PO|2= a2+ a2cos∠FPF ≤ 2a21 2 ，所以 PO ≤ 2a；所以 PO ≤ 2，
如图以PF1、PF2为邻边作平行四边形PF1GF2，
则 GF1 = PF2 ，所以 PF1 + PF2 = PF1 + GF1 < PG = 2 PO ≤ 2 2，
所以C△PFF = 2+ PF1 + PF2 < 2+ 2 2，1 2
即△PF1F2的周长的取值范围为 4,2+2 2 ，故D正确.
12． 16 - 40 13． 4,+∞ 14． 2+ 2 2
41
14【. 详解】因为 f x = x3- x，所以 f a = a3- a，f b = b3- b，
又 f a + f b =-2b，所以 a3- a+ b3- b=-2b，即 a3+ b3= a- b，
3 3
因为 a> 0，b> 0，所以 a3+ b3> 0，所以 a> b> 0 a +b，所以
a- = 1，b
a 2
a3+b3 b3+a2b 2 2 1+2 2 2 2 又 a + λb ≤ 1，即 a + λb ≤ - ，所以 λb
2≤ - ，所以 λ≤
b +a = b ，
a b a b ab-b2 a
b -1
1+ a
2
a t= t> 1 b = 1+t
2 2
= t -1+2 2令 ，则 ，所以 = t+ 1+
b a -1 t-1 t-1 t-1b
= t-1 + 2 + 2≥ 2 t-1 2- - + 2= 2+ 2 2，t 1 t 1
当且仅当 t- 1= 2- ，即 t= 2+ 1时取等号，t 1
b2 +a
2
所以 = 2 2+1 ，所以 λ≤ 2+ 2 2，则实数 λ的最大值为 2+ 2 2 .ab-b2 min
15.(1)a< 2时，不等式的解集为 {x ∣-1< x< 1- a};
a= 2时，不等式的解集为 ；
a> 2时，不等式的解集为 {x ∣ 1- a< x<-1}；
(2) 5 ≤ b≤ 2 2；
2
16．【详解】(1)由图可知，第三组和第六组的频数为 100× 0.8× 0.2= 16人
第五组的频数为 100× 1.2× 0.2= 24人
所以前四组的频数和为 100- 24+16 = 60人
而前四组的频数依次成等比数列
故第一组的频数为 4人，第二组的频数为 8人，第四组的频数为 32人
所以中位数落在第四组，设为 x，
x-4.6 = 50-(4+8+16)因此有 (或 1.6(x- 4.6) = 0.22)
0.2 32
解得 x= 4.7375所以中位数是 4.74
( ) 2= 100×(40×20-30×10)
2
2 K = 100因为 ≈ 4.762,所以K 2> 3.841
50×50×70×30 21
因此在犯错的概率不超过 0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系
(3)依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 6人中年级名次在 1~100名和 101~1000名
的分别有 2人和 4人，从 6人中任意抽取 2人的基本事件共 15个至少有 1人来自于 1~100名
9 3
的基本事件有 9个，所以至少有 1人的年级名次在 1~100名的概率为P= = .
15 5
17． (1) ∵BA=BC，且M是AC的中点，则BM⊥AC.
∵CF⊥平面ABC，BM 平面ABC，∴CF⊥BM .
又CF∩AC=C,CF,AC 平面ACFD，∴BM⊥平面ACFD，
因为DC 平面ACFD，∴DC⊥BM .①
∵ CF = MC ,∠CFD=∠MCP= π，∴△CFD∽△MCP，则∠PMC=∠FCD.
DF CP 2
∵∠ACD+∠FCD= π，∴∠PMC+∠ACD= π，∴在平面ACFD中DC⊥PM .②
2 2
∵BM∩PM=M ,BM ,PM 平面PBM，∴由①②知DC⊥平面PBM .
(2)由题意得DM CF，CF⊥平面ABC，
∴DM⊥平面ABC.由 (1)可知BM⊥AC，故M为坐标原点.
如图，以MB，MC，MD所在直线分别为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
∵ CF = DF = λ，CP= 1∴CM=DF= λ，DM=CF= λ2.
DF CP
∴M 0,0,0 ，B λ,0,0 ，C 0,λ,0 ，D 0,0,λ2 .∵AC= 2DF，
∴由棱台的性质得BC = 2EF,BC = -λ,λ,0 ∴ME= λ , λ ， ,λ22 2 .
由 (1)可知平面PBM的一个法向量为CD，且CD= 0,-λ,λ2 .
∵ BC PBM 6直线 与平面 的所成角的正弦值为 ，
6
BC CD
∴ cosBC,CD = = 6 (λ> 0)，
BC CD 6
-λ2
即 = 6 ，解得 λ= 2 .
λ 2 λ λ2+1 6
∴平面PBM的一个法向量为CD，且CD= 0,- 2,2 .
平面EFM n 的法向量为 = x,y,z .
∵ME= 2 , 2 ,2 ，MF = 0, 2,2 ，2 2
n ME= 22 x+ 22 y+2z=0 y=- 2z n ，即 MF= 2y+2z=0 =- ，当 z=-1时，x= 2，y= 2 .x 2z
n
CD
∴ MEF n= 2, 2,-1 . cosn,CD = = 2+2 = 2 30平面 的一个法向量为 . n CD 6× 5 15
∴平面EFM PBM 2 30与平面 所成夹角的余弦值 .
15
18． (1)解：设 F1F2 = 2c，因为△BF1F2与△ABF2的周长之差为 2，
所以 BF1 + F1F2 - AB - AF2 = 2，即 2c- 2a= 2，
x2
2
又因为F1,F2分别为双曲线C2: -
y = 1的左、右顶点，所以 c= 2a，
4a2 4b2
c-a=1联立方程组 = ，解得 a= 1,c= 2，所以 b
2= c2- a2= 1，
c 2a
y2
故双曲线C1的方程为 x
2- = 1.
3
2 2
( y2) x解：①由 (1)知，双曲线C2的方程为 - = 1,F1 -2,0 ,F2 2,0 ，4 12
2 2
设M (x ,y ) x0 - y00 0 ，则 = 1，可得 y2 20= 3(x0- 4)，4 12
2
则 k1
y
k 0
y0 y0
2= x0+
- = = 3.2 x 2 x20 0-4
② DE - AB 为定值 4.
理由如下：
由 (1)得直线AB的方程为 y= k1 x+2 ，
y=k1 x+2 联立方程组 2 2 2 22 y ，整理得 3-k1 x - 4k1x- 4k
2
1- 3= 0，
x - 3 =1
4k2 -4k2-3
设A x1,y1 ,B x2,y2 ，则 x 1 11+ x2= ,x x = ，
3- 1 2k2 21 3-k1
, -4k
2-3
因为A B位于双曲线的左、右两支，所以 x x 1 21 2= < 0，即 k1< 3，
3-k21
2 2 6 1+k2
可得 AB = 1+k21 x1+ 2
36 1+k1 x 12 -4x1x2 = 2 2 = ， 3-k1 3-k21
又因为 k1 k2= 3，所以直线DE的方程为 y= 3 x-2 ，k1
6 1+ 3
2
k1 2 9+k2DE = = 1 根据双曲线的对称性，同理可得 ，
3- 3 2 3-k
2
1
k1
2 9+k21 6-
1+k21
所以 DE AB = - = 4，故 DE - AB 为定值 4.
3-k21 3-k21
19． (1)证明：因为方程 ax3+ bx2+ cx+ d= 0 a≠0 有三个根 x1,x2,x3，
所以方程 ax3+ bx2+ cx+ d= 0 a≠0 即为 a x-x1 x-x2 x-x3 = 0，
变形为 ax3- a x1+x2+x3 x2+ a x1x2+x2x3+x3x1 x- ax1x2x3= 0，
x1+x2+x3=-
b
a
比较两个方程可得 x1x2+x2x3+x3x1=
c
a .
x1x2x3=- da
(2) (i)证明：∵ f x 有两个零点，
∴ xf x = 0有一个二重根 x ，一个一重根 x ，且 1≠0,1 2 x2≠0,
2x +x =- b 1 2 a
由 (1) 1可得 2 1 2 x1+2x1x2= a ，由 x1+ 2x1x2= < 0可得 x1xa 2< 0. x2 11x2=- a
1
由 x21 x2=- > 0可得 xa 2> 0，∴ x1< 0< x2.
x
联立上两式可得 x21+ 2x x 2 11 2=-x1 x2，解得 x2=- ，x1+2
又 x2> 0,x1< 0∴ x1>-2，综上-2< x1< 0< x2.
a=- 1 = x1+2 2 3 =
1
2 + 2
( x x x x x
3
ii)解：由 (i)可得 1 2 1 1 1 b= 2x1+x2= 2 + 1 = -2x1-4 ，12 x x 2 2 + 2=- 2x - 3x1x2 1 2 x1 x1 x1 1 x21
∴ a+ b= 2 - 2 - 2 .
x3 x21 1 x1
t= 1令 , ∵ x1∈ -2,0 , ∴ t∈ -∞,- 1 ，则 g t = 2 t3-t2-t ，x1 2
∵ g t = 2 3t2-2t-1 = 2 3t+1 t-1 > 0，当 t<- 1 时，g t > 0，2
∴ g 1 1 1 t 在 -∞,- 上单调递增，∴ g t < g - = ，2 2 4
∴ a+ b∈ -∞, 1 .4树德中学高 2022级高三开学数学考试试题
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1“. x∈R，x2+ 2x+ 1> 0”的否定是 ( )
A. x0∈R，使得 x20+ 2x0+ 1≤ 0 B. x∈R，x2+ 2x+ 1< 0
C. x0∈R，使得 x20+ 2x0+ 1< 0 D. x∈R，x2+ 2x+ 1≤ 0
2.已知全集U= 1,2,3,4,5,6,7 ，集合A= 1,2,3,4,5 ，B= 3,4,5,6 ，
则图中阴影部分表示的集合的子集个数为 ( )
A. 2 B. 4
C. 8 D. 16
3.已知等差数列 an 的公差为 d，前n项和为Sn，则“d≥ 0”是“ Sn 是递增数列”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.在同一平面直角坐标系中，直线mx- y+ 1= 0(m∈R)与圆 x2+ y2= 2的位置不可能为 ( )
5.一堆苹果中大果与小果的比例为 9:1，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果
的概率为 5%，把小果筛选为大果的概率为 2%．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面
随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为 ( )
A. 855 B. 857 C. 171 D. 9
857 1000 200 10
6.某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、
物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B+，B，C+，C，
D+，D，E共 8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为 3%，7%，16%，24%，24%，
16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分
别转换到 91,100 ， 81,90 ， 71,80 ， 61,70 ， 51,60 ， 41,50 ， 31,40 ， 21,30 八个分数区间，得到考生的
等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X~N 50,256 ，那么B+等级的原始分最低大约
为 ( )
X-μ
参考数据：对任何一个正态分布X~N μ,σ2 来说，通过 Z= 转化为标准正态分布 Z~N 0,1 ，从而查标σ
准正态分布表得到P X≤X1 =P Z≤Z0 ．可供查阅的 (部分)标准正态分布表：
Z0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
P Z≤Z0 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713
Z0 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
P Z≤Z0 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974
A. 57 B. 64 C. 71 D. 77
7.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性
质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中
于它的焦点．已知一束平行于反射镜对称轴的入射光线与抛物线
y2= 2px的交点为A 4,4 ，则反射光线所在直线被抛物线截得的
弦长为 ( )
A. 27 B. 21
4 4
C. 25 D. 29
4 4
x1 x2
8.若对任意的 x ,x ∈ -1,0 ,x < x ,
x2e -x1e
1 2 1 2 - < a恒成立，则 a的最小值为 ( )x1 x2
A. - 1 B. - 1 C. - 2 D. - 2
e2 e e2 e
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选
对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9.某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下
数据：
单价x(元) 40 50 60 70 80 90
销量 y(件) 50 44 43 m 35 28
由表中数据，求得线性回归方程为 y=-0.4x+ 66，则下列说法正确的是 ( )
A.产品的销量与单价成负相关
B.为了获得最大的销售额 (销售额=单价×销量)，单价应定为 70元或 80元
C. m= 40
D. 1若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为
3
10.已知 a，b，c∈R，则下列结论正确的是 ( )
A. a> b> 0 b < b+c若 ，则 + B.若 ac
2> bc2，则 a> b
a a c
C. a> b> 0 a+b ≥ 1 2a
2
D. +3若 ， 的最小值为 2 2
a+2 2ab 2 a2+1
11.伯努利双纽线最早于 1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系
xOy中，把到定点F1 -a,0 ，F2 a,0 距离之积等于 a2 a>0 的点的轨迹称为双纽线，已知点P x,y 是 a= 1
的双纽线C上一点，下列说法正确的是 ( )
A.若直线F1F2交双纽线C于A，B，O三点 (O为坐标原点)，则 AB = 2 2
B.双纽线C上满足 PF1 = PF2 的点有 2个
C. △PF 11F2的面积的最大值为 2
D. △PF1F2的周长的取值范围为 4,2+2 2
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分．
12.若 (x- 2)4= a 44x +
a +a
a3x
3+ a2x2+ a1x+ a0，则 a0= ； 1 3 = .a0+a2+a4
13.若不等式 x-3 ≤ a成立的一个充分不必要条件是-1≤ x≤ 7，则实数 a的取值范围为 ．
14.设函数 f x = x3- x，正实数 a,b满足 f a + f b =-2b，若 a2+ λb2≤ 1，则实数 λ的最大值为
四、解答题：共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.已知函数 f x = x+ 1,g x = x2- 1.
(1)若 a∈R，求不等式 af x + g x < 0的解集；
(2)若 b≤ 3，对 x1∈ 1,2 , x2∈ 4,5 ，使得 bf x1 + f x2 = g x1 + b+ 8成立，求 b的取值范围.
16. 2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力
情况进行调查，在高三年级 1000名学生中随机抽取了 100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方
图.
年级名次
1~100 101~1000
是否近视
近视 40 30
不近视 10 20
(1)若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数 (精确到 0.01)；
(2)该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对
抽取的 100名学生名次在 1~100名和 101~1000名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的
数据，能否在犯错的概率不超过 0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系
(3)在 (2)中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了 6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这 6人
中任取 2人，至少有 1人的年级名次在 1~100名的概率.
P K 2≥k 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
n(ad-bc)2
K 2= ，其中n= a+ b+ c+ d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
17.在三棱台DEF-ABC中，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，且BA=BC，AC= 2DF，M为AC的中点，P是
CF CF MC上一点，且 = = λ(λ> 1).
DF CP
(1)求证：CD⊥平面PBM；
(2)已知CP= 1，且直线BC与平面PBM 6的所成角的正弦值为 时，
6
求平面EFM与平面PBM所成夹角的余弦值.
2 y2 2 y2
18. x如图，双曲线C1: - = 1(a> 0,b> 0) x的左、右焦点F2 2 1，F2分别为双曲线C2: - = 1的左、右顶a b 4a2 4b2
点，过点F1的直线分别交双曲线C1的左、右两支于A,B两点，交双曲线C2的右支于点M (与点F2不重合)，且
△BF1F2与△ABF2的周长之差为 2.
(1)求双曲线C1的方程；
(2)若直线MF2交双曲线C1的右支于D,E两点.
①记直线AB的斜率为 k1，直线DE的斜率为 k2，求 k1k2的值；
②试探究： DE - AB 是否为定值？并说明理由.
19.设实系数一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0 a≠0 ①，有两根 x1,x2，则方程可变形为 a x-x1 x-x2 = 0，
x1+x2=- b ,
展开得 ax2- a x1+x2 x+ ax1x2= 0②，比较①②可以得到 a c 这表明，任何一个一元二次方程的x1x2= a ,
根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次
项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达
定理.
x1+x2+x
b
3=-
a
设方程 ax3+ bx2+ cx+ d= 0 a≠0 有三个根 x1,x c2,x3，则有 x1x2+x2x3+x3x1= a ③
x d1x2x3=- a
(1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；
(2)已知函数 f x = ax3+ bx2+ x+ 1(a< 0)恰有两个零点.
(i)求证：f x 的其中一个零点大于 0，另一个零点大于-2且小于 0；
(ii)求 a+ b的取值范围.
