6.4多边形的内角和与外角和 知识点分类练习题（含答案）北师大版八年级数学下册

北师大版八年级数学下册《6.4多边形的内角和与外角和》
知识点分类练习题（附答案）
一．多边形的对角线
1．在研究多边形的几何性质时．我们常常把它分割成三角形进行研究．从八边形的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如果一个多边形从一个顶点出发最多能画四条对角线，则这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如果一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有　 　 条．
4．多边形的每一个内角都等于108°，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以将该多边形分成 　 　个三角形．
5．请你分别从下列多边形的同一顶点出发画对角线：
想一想：依此规律可以把十边形分成　 　个三角形．
二．多边形内角与外角
6．已知一个多边形的内角和是360°，则这个多边形是（　　）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
7．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是（　　）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
8．把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图所示的方式叠合在一起，连接AD，则∠DAG＝（　　）
A．18° B．20° C．28° D．30°
9．某n边形的每个外角都等于与它相邻内角的，则n的值为（　　）
A．7 B．8 C．10 D．9
10．如图，小明将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为720°，则对应的图形是（　　）
A． B．
C． D．
11．如果一个多边形的内角和等于它的外角和，那么这个多边形是（　　）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
12．如图，直线MN经过一个正多边形的顶点A，若∠1＝∠2＝22.5°，则此正多边形为（　　）
A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形
13．如图，如果∠A＝50°，那么∠1+∠2的大小为（　　）
A．130° B．180° C．230° D．260°
14．如图，已知正六边形ABCDEF，连接AC，CE，则∠ECA＝　 　°．
15．如图，在正六边形ABCDEF的外侧，作正方形EFGH，则∠DFH的度数为　 　．
16．如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，…这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．小明一共走了　 　米？这个多边形的内角和是　 　度？
17．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　度．
18．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　 　度．
19．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝　 　度．
20．如图，在四边形ABCD中，BE和DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，BE与DF相交于点G，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．
（1）如图1，若α+β＝168°，求∠MBC+∠NDC的度数．
（2）如图1，若∠BGD＝35°，试猜想α、β所满足的数量关系式，并说明理由．
（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．
21．如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD＝　 　°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀．剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD＝　 　°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD＝　 　°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出（n+1）个角，那么这（n+1）个角的和是　 　°．
22．探究与发现：
【探究一】我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
已知：如图①，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系，并证明你探究的数量关系．
【探究二】三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图②，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠A与∠P的数量关系，并证明你探究的数量关系．
【探究三】若将△ADC改成任意四边形ABCD呢？
已知：如图③，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠BDC和∠ACD，试利用上述结论直接写出∠A+∠B与∠P的数量关系　 　．
23．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．
（1）将下面的表格补充完整：
正多边形的边数 3 4 5 6 …… 18
∠α的度数 　 　 　 　 　 　 　 　 …… 　 　
（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝20°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
（3）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝21°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
24．（1）如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝30°，∠C＝70°．
①∠BAC＝　 　°，∠DAE＝　 　°；
②如图2．若把“AE⊥BC”变成“点F在AD的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；
（2）如图3，AD平分∠BAC，AE平分∠BEC，∠C﹣∠B＝40°，求∠DAE的度数．
25．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为　 　；
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．
①图中有　 　个“8字形”；
②若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；
（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，求∠P、∠B、∠D之间的数量关系．
26．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．
（1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数；
（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．
27．阅读材料：
我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论．这一方法也可以用来解决其他求角度的问题，如图，四边形ABCD是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线AC，则四边形内角和就转化为△ACB和△ACD内角和的和，为360°．
解决问题：
（1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC（∠BDC＜180°）与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系．
小明得出的结论是：∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整；
证明：连接AD并延长AD到点E．
联系拓广：
（2）图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的
（即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，
连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的）．
请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：
①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　 　°；
②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　 　°．
参考答案
一．多边形的对角线
1．解：过八边形的一个顶点可以引（8﹣1﹣2）＝5条对角线，
所以可组成6个三角形．
故选：B．
2．解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，设多边形边数为n，
∴n﹣3＝4，
解得n＝7．
故选：C．
3．解：多边形的边数n＝720°÷180°+2＝6；
对角线的条数：6×（6﹣3）÷2＝9．
故答案为：9．
4．解：180°﹣108°＝72°，
360°÷72°＝5，
则从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以将该多边形分成5﹣2＝3个三角形．
故答案为：3．
5．解：∵四边形可分割成4﹣2＝2个三角形；
五边形可分割成5﹣2＝3个三角形；
六边形可分割成6﹣2＝4个三角形；
七边形可分割成7﹣2＝5个三角形
∴10边形可分割成10﹣2＝8个三角形．
二．多边形内角与外角
6．解：设这个多边形的边数为n，
则有（n﹣2）180°＝360°，
解得：n＝4，
故这个多边形是四边形．
故选：A．
7．解：180﹣108＝72，
多边形的边数是：360÷72＝5．
则这个多边形是五边形．
故选：B．
8．解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠E＝×540°＝108°，∠BAE＝108°
又∵EA＝ED，
∴∠EAD＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BAD＝∠BAE﹣∠EAD＝72°，
∵正方形GABF的内角∠BAG＝90°，
∴∠DAG＝90°﹣72°＝18°，
故选：A．
9．解：n边形的外角和是360°
∵每个外角都等于与它相邻内角的，
∴该n边形的内角和为360°×4＝1440°
∴（n﹣2）×180＝1440
解得，n＝10．
故选：C．
10．解：设n边形的内角和为720°，
则（n﹣2）×180＝720
解得n＝6
小明减掉部分后A是七边形，B是六边形，C是五边形，D是四边形．
故选：B．
11．解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，
（n﹣2） 180°＝360°，
n﹣2＝2，
n＝4．
故选：C．
12．解：22.5°+22.5°＝45°，
360÷45＝8．
故此正多边形为正八边形．
故选：B．
13．解：360°﹣（180°﹣50°）
＝360°﹣130°
＝230°
∴∠1+∠2＝230°
故选：C．
14．解：∵正六边形ABCDEF，
∴ED＝CD，AB＝BC，∠D＝∠B＝120°，
∴∠DCE＝∠BCA＝30°，
∴∠ECA＝60°，
故答案为：60．
15．解：观察图形可知，
△EFH是等腰直角三角形，
则∠EFH＝45°，
△DEF是等腰三角形，
∵∠DEF＝120°，
∴∠EFD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
∴∠DFH＝45°+30°＝75°．
故答案为：75°．
16．解：设他所走的路径构成了正n多边形，
则n＝＝24，
5×24＝120（m），
多边形的内角和＝（24﹣2）×180°＝3960°，
故答案为：120；3960．
17．解：如右图所示，
∵∠AHG＝∠A+∠B，∠DNG＝∠C+∠D，∠EGN＝∠E+∠F，
∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，
又∵∠AHG、∠DNG、∠EGN是△GHN的三个不同的外角，
∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故答案为：360°．
18．解：如图连接CE，
根据三角形的外角性质得∠1＝∠A+∠B＝∠2+∠3，
在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED＝180°，
∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED＝180°．
19．解：由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
故答案为：360°．
20．解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β），
∵∠MBC+∠ABC＝180°，∠NDC+∠ADC＝180°，
∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠ADC）＝360°﹣[360°﹣（α+β）]＝α+β，
∵α+β＝168°，
∴∠MBC+∠NDC＝168°；
（2）β﹣α＝70°．
理由：如图1，连接BD，
由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG＝∠MBC，∠CDG＝∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β），
在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，
在△BDG中，∠BGD＝35°，
∴∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，
∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°，
∴（α+β）+180°﹣β+35°＝180°，
∴β﹣α＝70°；
（3）平行．
理由：如图2，延长BC交DF于H，
由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE＝∠MBC，∠CDH＝∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β），
∵∠BCD＝∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH＝∠BCD﹣∠DHB＝β﹣∠DHB，
∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（α+β），
∵α＝β，
∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（β+β）＝β，
∴∠CBE＝∠DHB，
∴BE∥DF．
21．解：（1）过E作EF∥AB（如图②）．
∵原四边形是长方形，
∴AB∥CD，
又∵EF∥AB，
∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵EF∥AB，
∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CD∥EF，
∴∠2+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
又∵∠1+∠2＝∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD＝540°；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD＝720°；
（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．
22．解：探究一：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A．理由如下：
∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC＝180°+∠A；
探究二：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A．理由如下：
∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，
∴∠DPC＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD，
＝180°﹣（∠ADC+∠ACD），
＝180°﹣（180°﹣∠A），
＝90°+∠A；
探究三：2∠P＝∠B+∠A．理由如下：
∵DP，CP分别平分∠BDC和∠ACD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，
∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD
＝180°﹣∠ADC﹣∠BCD
＝180°﹣（∠ADC+∠BCD）
＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）
＝（∠A+∠B）．
即2∠P＝∠B+∠A．
故答案为：2∠P＝∠B+∠A．
23．解：（1）填表如下：
正多边形的边数 3 4 5 6 …… 18
∠α的度数 60° 45° 36° 30° …… 10°
故答案为：60°，45°，36°，30°，10°；
（2）存在一个正n边形，使其中的∠α＝20°，
理由是：根据题意得：°＝20°，
解得：n＝9，
即当多边形是正九边形，能使其中的∠α＝20°；
（3）不存在，理由如下：
假设存在正 n 边形使得∠α＝21°，得 ，
解得：，又 n 是正整数，
所以不存在正 n 边形使得∠α＝21°．
24．解：（1）①∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣（30°+70°）＝80°，
∵AD平分∠ABC，
∴∠CAD＝∠BAC＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAD＝20°．
故答案为80，20．
②∵∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠FDE＝∠ADC＝70°，
∵FE⊥BC，
∴∠FED＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣∠FDE＝20°．
（3）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AE平分∠BEC，
∴∠AEB＝∠AEC，
∵∠C+∠CAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BAE+∠AEB＝180°，
∴∠C+∠CAE＝∠B+∠BAE，
∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE，
∴∠C+∠CAD﹣∠DAE＝∠B+∠BAD+∠DAE，
∴2∠DAE＝∠C﹣∠B＝40°，
∴∠DAE＝20°．
25．解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）①图中，有6个“8字形”．
故答案为6．
②∵AP平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵PC平分∠BCD，
∴∠3＝∠4，
∵∠1+∠B＝∠3+∠P①，∠2+∠P＝∠4+∠D②，
①﹣②得，2∠P＝∠B+∠D＝50°，
∴∠P＝25°．
（3）结论：2∠P＝∠B+∠D．
理由：∵CP平分∠BCE，
∴∠3＝∠4，
∵AG平分∠DAF，
∴∠1＝∠2，
∵∠PAB＝∠1，
∴∠2＝∠PAB，
∵∠P+∠PAB＝∠B+∠4，
∴∠P+∠2＝∠B+∠4 ③，
∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
∴∠P+（180°﹣∠2）＝∠D+（180°﹣∠3）④，
③+④得，2∠P＝∠B+∠D．
26．解：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
∴∠ACD+∠ECD＝∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE＝∠D+∠DBC，
又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠ECD，
∴∠A＝2（∠DCE﹣∠DBC），∠D＝∠DCE﹣∠DBC，
∴∠A＝2∠D，
∵∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，
∴∠A＝60°，
∴∠D＝30°；
（2）∠D＝（∠M+∠N﹣180°）；
理由：延长BM、CN交于点A，
则∠A＝∠BMN+∠CNM﹣180°，
由（1）知，∠D＝A，
∴∠D＝（∠M+∠N﹣180°）．
27．解：（1）证明：连接AD并延长AD到点E．
则∠BDE为△ABD的外角，∠CDE为△ACD的外角，
∴∠BDE＝∠B+∠BAD，
∠CDE＝∠C+∠CAD．
∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE，
∴∠BDC＝∠B+∠BAD+∠C+∠CAD．
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC．
（2）①如图2，由（1）得，∠CFD＝∠A+∠C+∠D，
∴∠BFE＝∠CFD＝∠A+∠C+∠D，
∵∠BFE+∠B+∠E＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
故答案为：180．
②如图3，由（1）得，∠DHE＝∠A+∠D+∠E，
∴∠CHF＝∠DHE＝∠A+∠D+∠E，
∵∠F+∠B+∠C+∠CHF＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，
故答案为：360．