八上数学1-2章 单元测试（压轴题）
一、单选题
1．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别在边及其延长线上，，F为外一点，且，，则结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②
3．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
5．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连结，作 的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，任意画一个的，再分别作的两角的角平分线和，、相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ）
A．84° B．88° C．90° D．96°
8．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DEAB，DFAC，E、F为垂足，则下列五个结论：①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD；⑤△ABD与△ACD的面积相等．其中，正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，等边中，，为内一点，且，为外一点，且，连接、，则下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在等腰中，，平分，平分，M、N分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．10
二、填空题
11．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为、、、，若，则 ．
12．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在锐角中，AC＝10，，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是
13．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为12，，则的长是 ．
14．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D=，E、F分别是AD、BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形，交AD于点G，若△EFG有两个相等的角，则∠EFG = ．
15．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是边长为6的等边三角形，直线于，点是直线上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，则的最小值为 ．
16．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，点为射线上的一个动点，分别以，为直角边，为直角顶点，在两侧作等腰、等腰，连接交于点，当点在射线上移动时，的长为 ．
17．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下五个结论：①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中正确的有 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上）
18．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接为边上的高线，延长交于点N，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有 (填序号)．
19．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是 ．
20．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，点D为延长线上一点．当点D在延长线上运动时，的最小值为 ．
三、解答题
21．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
(1)_____（用t的代数式表示）
(2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？
(3)当点在边上运动时，出发 秒后，是以或为底边的等腰三角形？
22．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”．
(1)请在图2三个图中，分别画出的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
①；②，；③，
(2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是________．
(3)如图3，中，，．画出所有可能的“三等腰线”，使得对取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充）
23．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
(1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度；
(2)设，．
①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）．
24．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：如图1，在中，点D是上一定点，点E是上一动点．
(1)设．
①当时，求的度数；
②在图2中，作出点E使与β互补(要求尺规作图，保留作图痕迹．不写作法)；
(2)把沿着所在的的直线折叠，使A的对应点落在的外部，如图3，和相邻的外角的平分线相交于点G．①求证：；
②当时，试探究是否为定值，若是定值，求出的度数，若不是定值，请说明理由．
25．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：．
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．
【方法应用】
(1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接．
①如图2，若点在边上，求证：．
②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）
(2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明．
(3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页八上数学1-2章 单元测试（压轴题）
一、单选题
1．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答．
【详解】解：在正方形和中，，，
，即，
在和中，，，
，
，故①正确；
设相交于点N，
，
，
，
，
，故②正确；
过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示：
，
，
，
，
，
在和中，
，，
，
，故④正确；
同理可得，
，
在和中，
，，
，
，
是的中线，故③正确．
综上所述，①②③④结论都正确，共4个．
故选：D．
2．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别在边及其延长线上，，F为外一点，且，，则结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质，证明和全等，即可得到；连接如图见解析，证明和全等，即可得到；延长交于如图见解析，利用等腰直角三线合一的性质，，，可知，，，即可判断③；在和中，利用勾股定理以及等式的性质，即可判断④．
【详解】解：，
即
在和中
，故①正确；
连接，如图：
在中，
，
，故②正确；
延长交于，如图：
，
，
，故③正确；
在中，
，
，故④正确，
综上所述，正确的有①②③④，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识．
3．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解体的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后找规律．根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数．
【详解】解：是的平分线，
，
在和中，
，
，
图中有对三角形全等；
同理图中，
，
又，
，
又，
，
图中有对三角形全等；
同理图中有对三角形全等；
由此发现：第个图形中有全等三角形的对数是．
故选：D．
4．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【分析】①根据将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），证明直线垂直平分，故①正确；
②证明与不一定相等，得到与不一定相等，故②错误；
③先由①得，直线垂直平分，则，，再根据”等边对等角“证明，，则，再根据是的一个外角，是的一个外角，证明，，进一步证明，根据，得到，则，然后根据，证明，从而得到，故③正确；
④先根据是的中点，证明，再由①得，直线垂直平分，则，再证明，最后证明，即，故④正确．
【详解】解：①∵将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），
∴直线垂直平分，
故①正确；
②∵，
∴，
∴
又∵，
∴与不一定相等，
∴与不一定相等，
∴与不一定相等，
故②错误；
③由①得，直线垂直平分，
∴，，
∴，，
∴
∵是的一个外角，是的一个外角，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴
即，
又∵(已证)，
∴，
故③正确；
④∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
综上所述，一定正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是能够根据题意的条件，进行恰当的推理论证．
5．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连结，作 的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作，，，作射线，由角平分线的性质得，可得平分，进而知，，当时，最小，此时点C在处，再由可得答案．
【详解】作于点E，作于点G，作于点H，作射线．
∵平分，，，，
∴．
同理：，
∴，
∴平分，
∴．
∵，
∴．
根据题意可知点C在的平分线上运动，当时，最小，此时点C在处．
在中，．
所以，当线段最小时，的度数是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理和逆定理，垂线段最短，角的和差等，构造辅助线是解题的关键．
6．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，任意画一个的，再分别作的两角的角平分线和，、相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出即可判定①；如图所示，过点P作于F，于G，于H，利用角平分线的性质得到即可判断②；证明，得到，，即可判断④；再证明，得到，同理可证， 推出即可判断⑤；根据现有条件无法证明③．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵的两条角平分线和交于，
∴，
，
，故①正确；
，
如图所示，过点P作于F，于G，于H，
∴，
∴，
∴是的角平分线，故②正确；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，故④正确；
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证，
∵，
∴，
∴，故⑤正确；
根据现有条件，无法证明，故③错误，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质及判定，三角形内角和定理等等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ）
A．84° B．88° C．90° D．96°
【答案】B
【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点 ,,即可得出，进而得出 即可得出答案．
【详解】解：如图示，作关于和的对称点， ，连接，交于，交于 ，则即为的周长最小值．
延长，作于点，
，
，
，
，，
且， ，
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
8．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DEAB，DFAC，E、F为垂足，则下列五个结论：①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD；⑤△ABD与△ACD的面积相等．其中，正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后证明△ADE与△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可以证明AD垂直平分EF，根据等底等高的三角形的面积相等可得△ABD与△ACD的面积相等不正确．
【详解】解：平分，，，、为垂足，
，
，故①正确；
在与中，
，
，
，故②正确；
，，
垂直平分，故③正确；
与，与不一定相等，
不一定垂直平分，故④错误，
根据图形，，
平分时，，
与等高不等底，面积不相等，故⑤错误．
综上所述，①②③共3个正确．
故选：．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的面积，是小综合题，但难度不大，仔细分析图形是解题的关键．
9．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，等边中，，为内一点，且，为外一点，且，连接、，则下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】连接，证得出①；再证，得出，进而即可逐一判断．
【详解】解：连接，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
由此得出①③正确．
，
，
，，
设，
，
，
，
在中三角的和为，
，
，
，这时是边上的中垂线，即结论不一定成立，是错误的．
边上的高是，
，结论正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
10．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在等腰中，，平分，平分，M、N分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．10
【答案】C
【分析】过点C作，交的延长线于点F，则的最小值为．延长两线交于点G，证明，，根据全等三角形的性质，得到．
【详解】过点C作，交的延长线于点F，则的最小值为，
延长两线交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴的最小值为5，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定性质，垂线段最短原理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理是解题的关键．
二、填空题
11．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为、、、，若，则 ．
【答案】
【分析】把图中四块阴影部分的面积转化为三角形面积，通过三角形全等即可转化为，即可得到答案．
【详解】解：连接，过点E作于点，记的交点为，的交点为，
∵，而，
∴，
∴，
故；
又∵， 而，
∴，
∴，
∴，
而，则，
∵，
∴， 而，
∴，
同理可证，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用（或）证明三角形全等是解本题的关键．
12．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在锐角中，AC＝10，，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是
【答案】5
【分析】如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为BE，然后根据垂线段最短可得当时，BE取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】如图，在AC上取一点E，使，连接ME，
是的平分线，
，
在和中，，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为BE，
又由垂线段最短得：当时，BE取得最小值，
，
，
解得，
即的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时BE的位置是解题关键．
13．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为12，，则的长是 ．
【答案】3
【分析】过点作于，证，得，再证，同理，得6，进而得到的长．
【详解】解：过点作于，如图所示：
在和中，
，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
同理：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等．
14．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D=，E、F分别是AD、BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形，交AD于点G，若△EFG有两个相等的角，则∠EFG = ．
【答案】或
【分析】根据题意△EFG有两个角相等，于是有三种情况，分别令不同的两个角相等，利用折叠的性质和四边形的内角和列方程，最后综合得出答案．
【详解】解：分三种情况：
（1）当∠FGE＝∠FEG时，
设∠EFG＝x，则∠EFC＝x，∠FGE＝∠FEG＝，
在四边形GFCD中，由内角和为得：
，
∵∠C+∠D＝，
∴，
解得：；
（2）当∠GFE＝∠FEG时，
在四边形GFCD中，由内角和为得：，
得，显然不成立，
即此种情况不存在；
（3）当∠FGE＝∠GFE时，
同理有：，
∵∠C+∠D＝，
∴，
解得：，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了图形的翻折，三角形和四边形的内角和，有一定难度，熟悉三角形和四边形的内角和定理以及正确的分情况讨论是解题关键．
15．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是边长为6的等边三角形，直线于，点是直线上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形．根据题意确定点的运动轨迹是解题的关键．
如图，连接，证明，则，可知点在与夹角为的直线上运动，如图，直线即为点的运动轨迹，作于，即为的最小值，由，可得，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，是等边三角形，，
∴，，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴点在与夹角为的直线上运动，如图，直线即为点的运动轨迹，作于，即为的最小值，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
16．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，点为射线上的一个动点，分别以，为直角边，为直角顶点，在两侧作等腰、等腰，连接交于点，当点在射线上移动时，的长为 ．
【答案】4
【分析】过点作，垂足为点，首先证明，得到；进而证明，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作，垂足为点，
，
，
，
、均为等腰直角三角形，
，；
在与中，
，
，
，；
，
，
在与中，
，
，
；而，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．
17．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下五个结论：①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中正确的有 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上）
【答案】①②④⑤
【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出，①正确．
④先证明，即可判断出，,即可得④正确；
②根据，可得为等边三角形，证出，得出，②正确．
③没有条件证出，得出③错误；
⑤，⑤正确；即可得出结论．
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
，
∵，，，
∴，
∴，结论①正确．
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，结论④正确；
∴，
∴，结论②正确．
∵，
∴，
∴，
∴结论⑤正确．
没有条件证出，③错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
18．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接为边上的高线，延长交于点N，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有 (填序号)．
【答案】①③④
【分析】由题可得，根据同角的余角相等得，即，可判定①；由与不一定相等，则不一定成立，即可判定②；如图：作交于点H，交延长线于点K，构造三对全等三角形，，根据全等三角形对应边相等可判断③；由可得，，，根据再结合图形推理得④．
【详解】解： ∵，
∴，
∴，故①正确；
∵与不一定相等，
∴与不一定全等，故②错误；
如图：作交于点H，交延长线于点K，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，故③正确．
∵
∴，
∴，
即，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质的应用等知识点，作辅助线构造三对全等三角形、并理解注意全等三角形对应边相等、面积相等是解答本题的关键．
19．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是 ．
【答案】3
【分析】如图，取的中点Q，连接，由，推出，推出当时，最小，此时的值最小．
【详解】解：如图， 取的中点Q，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，最小，此时的值最小，
在中，∵，
∴，
∴的最小值为3．
故答案为：3
【点睛】本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
20．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，点D为延长线上一点．当点D在延长线上运动时，的最小值为 ．
【答案】
【分析】作平分，交于点F，过点D作交于点E，根据含30度角的直角三角形性质及线段的和差得出，过点A作于点G，根据斜边大于垂边可知，再次根据根据含30度角的直角三角形性质求出的值，即可得出答案．
【详解】解：作平分，交于点F，过点D作交于点E
∴在中，，
过点A作于点G
在中，，
的最小值为．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、线段的和差，根据已知条件作出合适的辅助线是解题的关键．
三、解答题
21．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
(1)_____（用t的代数式表示）
(2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？
(3)当点在边上运动时，出发 秒后，是以或为底边的等腰三角形？
【答案】(1)
(2)秒
(3)11秒或12秒
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
（1）根据题意即可用可分别表示出；
（2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得；
（3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值．
【详解】（1）由题意可知，，
，
，
故答案为：；
（2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有，
即，解得，
出发秒后，能形成等腰三角形；
（3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，
则，
，
．
，
，
，
，
，
；
②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，
则，
，
综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形．
故答案为：11秒或12．
22．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”．
(1)请在图2三个图中，分别画出的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
①；②，；③，
(2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是________．
(3)如图3，中，，．画出所有可能的“三等腰线”，使得对取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充）
【答案】(1)见解析
(2)或或
(3)见解析
【分析】本题主要考查三角形综合题和作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质．
（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可；
（2）设底角度数为，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可；
（3）根据两种情况、利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【详解】（1）解：如图2，取的中点，则，
∴和是等腰三角形；
如图3，取，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴和是等腰三角形；
如图4，作的垂直平分线，交于，交于，连接，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴和是等腰三角形；
（2）解：①设是以、为腰的锐角三角形，为“双等腰线”，如图5，
当，时，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
②设是以、为腰的钝角三角形，为“双等腰线”，如图6，
当，时，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
③设是以、为腰的直角三角形，为“双等腰线”，如图7，
当，时，为的垂直平分线，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或或；
（3）解：∵要画出使得对取值范围内的任意值都成立的“三等腰线”，
∴不能使等于具体的数值，
∴只需要使分割后的三个等腰三角形的底角成比例即可，
第一种画法：如图8，
∵，、
设，，
当、将分成，，的三个等腰三角形时，
则有，，
∵，
∴，
∴，
∴“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为，
即可使得对取值范围内的任意值都成立，
第二种画法：
∵，
设，，
当、将分成，，的三个等腰三角形时，
则，，
∵，
∴，
因此，“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为，即可使得对取值范围内的任意值都成立，
综上所述，如图所示的两种“三等腰线”可以使得对取值范围内的任意值都成立．
23．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
(1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度；
(2)设，．
①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）．
【答案】(1)90
(2)①，证明见解析；②，图见解析
【分析】（1）根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据直角三角形两个锐角互余即可求解；
（2）①根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形内角和是180°即可求解；
②根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和推得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）①解：，理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
∴；
②如图：；
证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质；熟练掌握两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等是解题的关键．
24．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：如图1，在中，点D是上一定点，点E是上一动点．
(1)设．
①当时，求的度数；
②在图2中，作出点E使与β互补(要求尺规作图，保留作图痕迹．不写作法)；
(2)把沿着所在的的直线折叠，使A的对应点落在的外部，如图3，和相邻的外角的平分线相交于点G．①求证：；
②当时，试探究是否为定值，若是定值，求出的度数，若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)①；②见解析
(2)①见解析；②是定值，
【分析】（1）①利用三角形内角和定理即可解答；②分别以点为圆心，小于的长为半径画弧与点，连接，再以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E，即作，连接，点E即为所求；
（2）①利用三角形内角和定理及邻补角的定义结合角平分线的定义即可证明；②如图，利用三角形外角的性质及三角形内角和定理得到，，由折叠的性质得到，即可求出，由①得，即可得出结论．
【详解】（1）①解： ，，
，
，，
；
②解：如图，作，点E即为所求，
由①可得，
，
，
，
，
与β互补；
（2）①证明：如图3，
根据题意得：平分，平分，
，
，
，
，
，
；
②是定值，
如图，
，，
由折叠的性质得到，
，即，
，
由①得．
【点睛】本题考查尺规作图-作角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
25．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：．
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．
【方法应用】
(1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接．
①如图2，若点在边上，求证：．
②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）
(2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明．
(3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由．
【答案】(1)①见解析；②；
(2)
(3)有最小值，最小值为2
【分析】（1）①过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，再证明
，得出，即可得出结论；②过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论；
（2）先证明，在上截取，通过证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论；
（3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答．
【详解】（1）证明：①过点E作，交与点G，
∵是等边三角形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
②过点E作，交与点G，
∵是等边三角形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵，是等边三角形，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在上截取，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：有最小值，最小值为2
以为边，在下方构造等边三角形，连接，
∵，点D为中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点Q在直线上，
∴当时，取最小值，
此时，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角性是解题的关键．
试卷第1页，共3页
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