八上数学1-2章 易错解答题30题
一、解答题
1．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为．
(1)的度数为 ；
(2)当点D沿射线运动时，若，求t的值；
(3)当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ．
【答案】(1)
(2)或4
(3)或
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识：
（1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题；
（2）作于H，于G．由平分，推出，由，可得，解方程即可解决问题．
（3）存在．由，可知当时，，列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图2中，
①当E在线段上时，作于H，于G．
∵平分，
∴，
∵
∴，
∴.
②当点E运动到延长线上，同法可得时，也满足条件，
∴当或时，满足．
故答案为：或；
（3）解：∵，
∴当时，，
∴
∴
∴时，．
当D在延长线上时，，
综上所述，满足条件的t的值为2或6，
故答案为：或．
2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知在中，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由出发向点运动，同时点在线段上由点出发向A点运动．设运动时间为．
(1)第时，______，______．（用含的代数式表示）
(2)当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，求的值．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了动点问题在实际生活中的运用，全等三角形的性质的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键．
（1）根据距离速度时间分别求得、即可；
（2）分类讨论，当和时，由全等三角形的性质就可以求出结论．
【详解】（1）解：依题意得：，；
（2）解：当时，．
，
，
．
当时，．
点为的中点，
．
，
，
，
，
．
综上所述，当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，或．
3．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）【旧题重现】
（1）《学习与评价》有这样一道习题：
如图①，、分别是和的、边上的中线，，，，求证：．
证明的途径可以用下面的框图（图②）表示，请填写其中的空格．
【深入研究】
（2）如图③，、分别是和的、边上的中线，，，，判断与是否仍然全等，并说明理由．
【类比思考】
（3）下列命题中是真命题的是______（填写相应的序号）
①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等；
②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等；
③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等；
④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等；
⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等．
【答案】（1）①；②；③；④；（2）全等，理由见解析；（3）①②③⑤．
【详解】（1）根据三角形中线的定义及全等三角形的判定与性质可得出答案；
（2）延长至，使，连接，延长至，使，连接，证明．由全等三角形的性质得出，，同理，，证明．得出，，则可证明；
（3）根据全等三角形的判定方法可得出结论．
【解答】（1）证明，如下：
∵是的中线，
∴，
∵分别是的中线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：①；②；③；④；
（2）解：与仍然全等，理由如下：
延长至，使，连接，延长至，使，连接
∵和分别是和的和边上的中线，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又，，
∴．
（3）解：①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等，正确，符合题意；
②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等，正确，符合题意；
③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等，正确，符合题意；
④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等，说法错误，
如图，在与中，，，高相同，但是与不全等．
故④不符合题意；
⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等，正确，符合题意．
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形和四边形中， ，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件： ①； ②； ③； ④
(1)其中，符合要求的条件是 ．（直接写出编号）
(2)选择（1）中的一个条件， 证明四边形四边形
【答案】(1)①②④
(2)选①，证明见解析
【分析】本题考查全等图形的判断，三角形全等的判定和性质：
（1）根据两个完全重合的图形叫全等图形，结合三角形全等直接逐个判断即可得到答案
（2）任选一个，同法（1）即可得出结论．
【详解】（1）解：连接，
∵，，，
∴，
∴，，
当时，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
∵四边形和四边形中， ，，，，，
∴四边形四边形，
∴①符合题意，
当时，
∵，，，
∴，
∴，，，
∵四边形和四边形中， ，，，，，
∴四边形四边形，
∴②符合题意，
当时，不能得到，无法得到四边形四边形，
故③不符合题意，
当时，
∵，，，
∴，
∴，，，
∵四边形和四边形中， ，，，，，
∴四边形四边形，
∴④符合题意，
故答案为：①②④．
（2）选择①；
连接，
∵，，，
∴，
∴，，
当时，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
∵四边形和四边形中， ，，，，，
∴四边形四边形．
5．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，和都是等腰直角三角形，，P是的中点，连接．
(1)如图1，点A，B，D在同一条直线上，将图1中的绕点A逆时针旋转，当落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．
①在图2中，按要求补全图形，并证明；
②连接，交于点F，判断线段与的数量关系，并证明；
(2)将绕点A逆时针旋转，连接．当时，在旋转过程中的最大值为______．
【答案】(1)①见解析；②，证明见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）①根据等腰直角三角形的性质得到，再结合已知条件即可证明结论；②先证明，得到，再证明，即可得到；
（2）当时，的面积最大，根据当进行计算即可．
【详解】（1）证明：①补全图形如下：
∵，
∴，
∵等腰直角三角形，P是的中点，
∴，
∴，
∴；
②如图，过点B作，垂足为H，
∵，
∴，
∴
∵等腰直角三角形，P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设在边上的高为h，得，
∵，
∴当时，的面积最大，
∵
∴
∵，
∴的最大值为：，
故答案为：．
6．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图①，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且于点于点，证明：；
（2）迁移应用：如图②，点在的边、上，点在内部的射线上，分别是的外角，已知，猜想与的关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．
（1）先根据同角的余角相等得出，再根据证明即可；
（2）先根据已知条件证明，再根据证明即可求解．
【详解】（1）证明∶，
在和中，
，
（2）解∶．理由如下：
，
，
，
在和中，
7．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动，同时点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动，设运动时间为秒．
(1)若点、的运动速度相等，时，与是否相等？请说明理由；
(2)若点、的运动速度不相等，与全等时，求与的值．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)，
【分析】本题考查了全等三角形的判定性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
（1）根据题意即可判定，根据全等三角形的性质、平角的定义、三角形内角和定理即可得解；
（2）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
时，，，
，
，
，
，，
，
，
，，
；
（2）解：点、的运动速度不相等，
，
又与全等，，
，，
，，
解得：，．
8．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图在和中，，，．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由证得，即可得出结论；
（2）延长交于点G，由（1）得，则，再由，即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
延长交于点G，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
．
9．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，垂足分别是D、E．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键．
（1）利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质得到，证明，则，即可证明结论．
【详解】（1）证明∵，
∴，
∴在和中，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
10．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）学习与探究：
如图1，是的平分线，点A是上任意一点，用圆规分别在、上截取，连接、，则，判定方法是_________．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在中，是直角，，、分别是和的平分线，、相交于点F，求的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）题中所得结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由．
【答案】；（1）；（2），证明见解析；（3）成立，证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，作出相应的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键，本题的综合性较强，难度较大．
根据可知：可证明两个三角形全等；
（1）根据三角形内角和定理可求，是的外角，根据外角的性质计算求解；
（2）根据图1的作法，在上截取，则；根据证明，得，故判断；
（3）只要的度数不变，结论仍然成立．证明同（2）．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
在与中，
，
∴；
（1）如图2，∵，°，
∴，
∵、分别是和的平分线，
∴，，
∴；
（2）．理由如下：
在上截取，连接，如图2所示：
∵是的平分线，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）在（2）中的结论仍然成立．
在上截取，连接，如图所示：
同（2）可得：，
∴，，
又由（1）知，，
∴，
∴，
∴，
同（2）可得，
∴，
∴．
11．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，，，图中、有怎样的数量与位置关系？并证明你的结论．
【答案】，；证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，首先根据已知可证得，再根据全等三角形的判定定理，即可证得，可得，，据此可证得．
【详解】解：，，
理由如下：如图所示，设交于点，交于点，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
．
12．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．
【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键．
（1）由条件可证明，可得，，可得结论；
（2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，同（1）可得出结论；
（3）过作于，，交的延长线于由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论是的中点．
【详解】解：（1）如图，
直线，直线，
，
，
，
，
.
在和中，
，
，，
；
（2）成立：．
如图，
，
，
，
在和中．
．
≌，
，，
；
（3）如图，
过作于，，交的延长线于，
，
由（1）和（2）同理可证，，
.
，
在和中，
，
≌，
，
是的中点．
13．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，的角平分线相交于点O，．
(1)求的度数．
(2)点P是线段上的一个动点，作点P关于的对称点Q，当点P从点B运动到点E的过程中，求：
①点Q运动的路径长为______
②的最小值．
【答案】(1)
(2)①6；②的最小值为4
【分析】（1）由，平分，即可得；
（2）①当P与B重合时，，连接，根据平分，点P与关于对称，可知在直线上，且，同理当P与E重合时，在直线上，且，当点P从点B运动到点E的过程中，Q的轨迹是线段，即可得点Q运动的路径长为6；
②由，可得，，故当Q运动到O时，最小，的最小值为4．
【详解】（1）解：∵，
，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：①当P与B重合时，，连接，如图：
∵平分，点P与关于对称，
∴在直线上，且，
同理当P与E重合时，在直线上，且，
当点P从点B运动到点E的过程中，Q的轨迹是线段，如图：
，
∴点Q运动的路径长为6；
故答案为：6；
②由（1）知，，
，
由对称性可得，，
，
，
∴当Q运动到O时，最小，最小值即为的长，
∴的最小值为4．
【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及动点问题，直角三角形性质等知识，解题的关键是根据已知求出Q的轨迹．
14．（22-23八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、．
(1)吗？为什么？
(2)是的垂直平分线吗？为什么？
【答案】(1)．见解析；
(2)是的垂直平分线．见解析
【分析】此题考查角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质．
（1）．由于点是平分线上一点，根据角平分线的性质可以推出，然后利用等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件首先容易证明，从而得到，由（1）有，利用线段的垂直平分线的判定即可证明结论．
【详解】（1）解：．
理由：是的平分线，
且，，
，
；
（2）解：是的垂直平分线．
理由：，
在和中，
，
，
，
由，，可知点、都是线段的垂直平分线上的点，
是线段的垂直平分线．
15．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，是中边上的高，点D是上一点，连接交于点F，．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)如图2，在（2）的条件下，延长至点G，连接，，若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查垂直的定义、全等三角形的判定和性质和角平分线的定义，
（1）有题意得，则，即有结论成立；
（2）由（1）知，即可得，进一步证明，则有；
（3）根据面积公式得，即，由（2）知：，则，过点G作交的延长线于点H，则，可证明，有，由（2）知：，利用，即可得，解得即可．
【详解】（1）证明：是中边上的高，
，
，
，
，
，
即：．
（2）证明：由（1）知：，，
，，
，
又，
，
即：，
，
即：，
，
，
在和中，，
，
．
（3）解：是中边上的高，
，
，，
，
，
，
即，
，
由（2）知：，
，
，
过点G作交的延长线于点H，如图，
则，由（1）知：，
，
，
由（2）知：，即：，
在和中，，
，
，
由（2）知：，
，
，
，
，
即：，
，
．
16．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的角平分线，、分别是和的高．
(1)与有什么样的位置关系？并证明．
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)垂直平分，证明见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）由角平分线的性质得，再由，得，从而根据垂直平分线的判定即可解答；
（2）由，代入计算即可．
【详解】（1）解：垂直平分，证明如下：
是的角平分线，分别是和的高，
，
在与中，
，
，
，
垂直平分；
（2）解：，
，
，
．
17．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，垂足分别为A、D，分别平分交点 E恰好在上．
(1)成立吗？ 为什么？
(2)求证：．
【答案】(1)成立，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）过点作，证明，，得到，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质，即可得证．
【详解】（1）解：成立，理由如下：
过点作，
∵分别平分
∴，，
又∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，即：，
∴．
18．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，于E，于F，若，平分；
(1)求证：；
(2)已知，，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)128
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定：
（1）根据角平分线的性质得出，再由直角三角形全等的判定和性质即可证明；
（2）先求出，，再由全等三角形的性质得到，证明，得到，则，即可得到．
【详解】（1）证明：∵于E，于F，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∴．．
19．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，是高，是中线，点G是的中点，，点G为垂足．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由是的中点，得到是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到由是的斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可得到．
（2）由得到，由得到 根据三角形外角性质得到 则 由此根据外角的性质来求的度数．
【详解】（1）连接．
∵是的中点，，
∴是的垂直平分线，
∴．
∵是高，是中线，
∴是的斜边上的中线，
∴．
∴；
（2），
，，
，
．
是高，
，即．
，
．
【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．正确的连接辅助线是解题关键．
20．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：是的角平分线，点E为直线上一点，，过点E作交直线于点F，当点F在边的延长线上时，如图①，延长、交于点G，易证；
(1)当点F在边上，如图②，写出、与的数量关系，并证明；
(2)当点F在边的延长线上，是的外角平分线时，如图③，直接写出、与的数量关系．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
（1）延长、相交于点，证明，推出，利用证明即可得到；
（2）当点在边的延长线上，是的外角平分线时，延长交于点，同理得到．
【详解】（1）结论：．
证明：如图②，延长、交于点G，
平分，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
，
；
（2）结论：．
证明：如图③，延长AD交EF于点G，
平分，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
21．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线、上．
活动一：如图甲所示，从点开始，依次向右摆放小棒，若小棒与小棒在端点处互相垂直、为第1根小棒．
数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：__________．（填“能”或“不能”）
（2）设，__________．
活动二：如图乙所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，且．
数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，__________．（用含的式子表示）
（4）若只能摆放6根小棒，则的范围为__________．
【答案】（1）能；（2）；（3）；（4）．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．
（1）先根据已知条件小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去．
（2）利用等腰直角三角形的性质求解即可．
（3）本题需先根据，得出和相等，即可得出的值，同样道理得出、的值；
（4）根据（3）的结论，和三角形外角的性质，即可推出不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）根据已知条件小棒两端能分别落在两射线上，
小棒能继续摆下去．
故答案为：能；
（2），，
，
，
，
；
（3），
，
，
，
同理可得：，
．
故答案为：；
（4）由题意得：
，
．
故答案为：．
22．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的中线，点E是的中点，．
(1)求证：；
(2)若，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形的形状是菱形，理由见解析
【分析】本题考查了四边形综合题，平行的性质，全等三角形的判定与性质，中线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定．综合运用以上知识点是解题的关键．
（1）点E是的中点，则有；，可得，；根据证明，可得与；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形是平行四边形．根据直角三角形的性质，可得,最后根据菱形的判定即可．
【详解】（1）证明：点E是的中点,
．
，
，，
在与中，
，
，
．
（2）是的中线，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
，
是直角三角形，
，
,
,
四边形是菱形．
23．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，于点，，，过点作于点，交于点．
(1)求线段的长度；
(2)连接，求证：；
(3)如图，若点为的中点，点为线段延长线上一动点，连接，过点作交线段延长线于点，则的值是否发生改变？如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)的值不发生改变，等于．见解析
【分析】
（1）证，即可得出；
（2）过分别作于点，作于点，证，得出得出平分，即可得出结论；
（3）连接，由等腰直角三角形的性质得出，，，则，证出，证≌，得，进而得出答案．
【详解】（1）
解：，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）
证明：过分别作于点，作于点，如图所示：
在四边形中，，
．
在与中，
，
，
．
，，
平分，
；
（3）
解：的值不发生改变，等于理由如下：
连接，如图所示：
，，为的中点，
，，
，，
．
，
即，
．
在和中，
，
，
，
．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
24．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，于点C，E为上一点，连接的延长线交于点F，已知．
(1)求证：；
(2) _____；（填位置关系，这个结论可以直接用于证明过程）
(3)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明：已知：如图，在中，，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)⊥
(3)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用面积法证明勾股定理．
（1）首先证明，再根据证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等得，再证明即可得到结论．
（3））利用，结合三角形的面积公式，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：⊥；
（3）证明：∵，
∴，
∴．
25．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）在中，，平分交于D，E、F分别在上，且．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，由三角形的外角性质即可得出答案；
（2）由（1）得，得出，证出，得出，证明，得出，即可得出结论．
此题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
；
（2）证明：由（1）得：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
26．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）感知：如图1，平分，，求证：．
探究：如图2，平分，求证：．
应用：如图3，四边形中，，，若，则的值为 (用的代数式表示)．
【答案】感知：见解析；探究：见解析；应用：
【分析】感知：根据，可得，再根据角平分线的性质得到，即可证明，即可解答；
探究：延长到点F，使，连接，先证明，得，，再证明，则，即可解答；
应用：作交的延长线于点G，连接，先证明，则，再证明，得，然后根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，变形为
，则．
本题主要考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确的作出所需要的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
【详解】感知：证明：，
，
，
平分∠BAC，
，
在与中，
，
，
；
探究：证明：延长到点F，使，连接，如图所示：
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
；
应用：如图3，作交的延长线于点G，连接，如图所示：
，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
．
故答案为：．
27．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，，，求的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键．
（1）首先依据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可证明，故此可证明为等腰三角形；
（2）首先证明，从而得到的长，然后可求得的长，于是可求得的周长．
【详解】（1）证明：，
，．
平分，
．
．
．
是等腰三角形．
（2）是的中点，
．
，
．
由对顶角相等可知：．
在和中，
，
．
．
，
．
．
，
的周长．
28．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，、是的两条高，是边的中点，连接、、．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)24°
【分析】此题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质，三角内角和定理的应用，
（1）利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，进而可得结论；
（2）根据可得，利用等边对等角得到，，然后利用三角形的内角和定理即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵是的两条高，
∴和是直角三角形，
又∵P为的中点，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∵P为的中点，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
29．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D、E为边上的两点，且，，是等边三角形．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理：
（1）先由三角形内角和定理得到，由等边对等角得到，进而利用三角形内角和定理得到，则可证明，据此可得；
（2）由等边三角形的性质得到，证明得到，再证明，可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
30．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图1，点、分别是边长为的等边边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为．
(1)连接、交于点，则在、运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
(2)何时是直角三角形？
(3)如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
【答案】(1)不变，
(2)当第秒或第秒时，为直角三角形
(3)不变，
【分析】本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
(1)利用等边三角形的性质可证明，则可求得，再利用三角形外角的性质可证得；
(2)可用分别表示出和，分和两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于的方程，则可求得的值；
(3)同(1)可证得，再利用三角形的性质即可得到．
【详解】（1）解：不变，．
为等边三角形，
，．
点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，
，
，
，
，
不变，；
（2）设时间为秒，则，，
①当时，
，
，
即，
解得：；
②当时，
，
，
得，
解得：；
当第秒或第秒时，为直角三角形；
（3）不变，．
在等边中，，，
，
点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，
，
，
，
又，
，
不变，．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页八上数学1-2章 易错解答题30题
一、解答题
1．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为．
(1)的度数为 ；
(2)当点D沿射线运动时，若，求t的值；
(3)当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ．
2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知在中，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由出发向点运动，同时点在线段上由点出发向A点运动．设运动时间为．
(1)第时，______，______．（用含的代数式表示）
(2)当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，求的值．
3．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）【旧题重现】
（1）《学习与评价》有这样一道习题：
如图①，、分别是和的、边上的中线，，，，求证：．
证明的途径可以用下面的框图（图②）表示，请填写其中的空格．
【深入研究】
（2）如图③，、分别是和的、边上的中线，，，，判断与是否仍然全等，并说明理由．
【类比思考】
（3）下列命题中是真命题的是______（填写相应的序号）
①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等；
②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等；
③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等；
④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等；
⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等．
4．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形和四边形中， ，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件： ①； ②； ③； ④
(1)其中，符合要求的条件是 ．（直接写出编号）
(2)选择（1）中的一个条件， 证明四边形四边形
5．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，和都是等腰直角三角形，，P是的中点，连接．
(1)如图1，点A，B，D在同一条直线上，将图1中的绕点A逆时针旋转，当落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．
①在图2中，按要求补全图形，并证明；
②连接，交于点F，判断线段与的数量关系，并证明；
(2)将绕点A逆时针旋转，连接．当时，在旋转过程中的最大值为______．
6．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图①，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且于点于点，证明：；
（2）迁移应用：如图②，点在的边、上，点在内部的射线上，分别是的外角，已知，猜想与的关系，并说明理由．
7．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动，同时点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动，设运动时间为秒．
(1)若点、的运动速度相等，时，与是否相等？请说明理由；
(2)若点、的运动速度不相等，与全等时，求与的值．
8．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图在和中，，，．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并证明．
9．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，垂足分别是D、E．
(1)求证：；
(2)求证：．
10．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）学习与探究：
如图1，是的平分线，点A是上任意一点，用圆规分别在、上截取，连接、，则，判定方法是_________．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在中，是直角，，、分别是和的平分线，、相交于点F，求的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）题中所得结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由．
11．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，，，图中、有怎样的数量与位置关系？并证明你的结论．
12．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．
13．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，的角平分线相交于点O，．
(1)求的度数．
(2)点P是线段上的一个动点，作点P关于的对称点Q，当点P从点B运动到点E的过程中，求：
①点Q运动的路径长为______
②的最小值．
14．（22-23八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、．
(1)吗？为什么？
(2)是的垂直平分线吗？为什么？
16．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的角平分线，、分别是和的高．
(1)与有什么样的位置关系？并证明．
(2)若，，，求的长．
17．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，垂足分别为A、D，分别平分交点 E恰好在上．
(1)成立吗？ 为什么？
(2)求证：．
18．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，于E，于F，若，平分；
(1)求证：；
(2)已知，，，求四边形的面积．
19．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，是高，是中线，点G是的中点，，点G为垂足．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
20．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：是的角平分线，点E为直线上一点，，过点E作交直线于点F，当点F在边的延长线上时，如图①，延长、交于点G，易证；
(1)当点F在边上，如图②，写出、与的数量关系，并证明；
(2)当点F在边的延长线上，是的外角平分线时，如图③，直接写出、与的数量关系．
21．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线、上．
活动一：如图甲所示，从点开始，依次向右摆放小棒，若小棒与小棒在端点处互相垂直、为第1根小棒．
数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：__________．（填“能”或“不能”）
（2）设，__________．
活动二：如图乙所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，且．
数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，__________．（用含的式子表示）
（4）若只能摆放6根小棒，则的范围为__________．
22．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的中线，点E是的中点，．
(1)求证：；
(2)若，试判断四边形的形状，并说明理由．
23．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，于点，，，过点作于点，交于点．
(1)求线段的长度；
(2)连接，求证：；
(3)如图，若点为的中点，点为线段延长线上一动点，连接，过点作交线段延长线于点，则的值是否发生改变？如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
24．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，于点C，E为上一点，连接的延长线交于点F，已知．
(1)求证：；
(2) _____；（填位置关系，这个结论可以直接用于证明过程）
(3)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明：已知：如图，在中，，求证：．
25．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）在中，，平分交于D，E、F分别在上，且．
(1)求的度数；
(2)求证：．
26．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）感知：如图1，平分，，求证：．
探究：如图2，平分，求证：．
应用：如图3，四边形中，，，若，则的值为 (用的代数式表示)．
27．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，，，求的周长．
28．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，、是的两条高，是边的中点，连接、、．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的度数．
29．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D、E为边上的两点，且，，是等边三角形．
(1)求证：；
(2)求的度数．
30．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图1，点、分别是边长为的等边边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为．
试卷第1页，共3页
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