2024-2025学年北京四中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京四中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.如图，在 中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
4.某运动品牌专营店店主对上一周新进的某款恤衫销售情况统计如下：
尺码
平均每天销售数量件
该店主决定本周进货时，增加一些码的恤衫，影响该店主决策的统计量是( )
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数
5.已知关于的一次函数，随的增大而增大，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
7.如图，正比例函数和反比例函数的图象交于、两点，若，则的取值范围是( )
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
8.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
9.保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子该农科实验基地两年前有种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有种农作物种子若这两年培育新品种数量的平均年增长率为，则根据题意列出的符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
10.把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流与使用电器的总功率的函数图象如图，插线板电源线产生的热量与的函数图象如图下列结论中错误的是( )
A. 当时，
B. 随的增大而增大
C. 每增加，的增加量相同
D. 越大，插线板电源线产生的热量越多
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.一次函数中两个变量，的部分对应值如下表所示：
那么关于的不等式的解集是______．
12.若反比例函数的图象经过点和，则的值为______．
13.某招聘考试分笔试和面试两部分，按笔试成绩占，面试成绩占计算应聘者的总成绩小明笔试成绩为分，面试成绩为分，那么小明的总成绩为______分
14.我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为 ．
15.如图，正方形的中心在原点上，且正方形的四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象上的四个分支上，则 ______．
16.已知实数，满足，则的最大值为____．
17.如图，四边形是边长为的正方形，点、在边上，且，点是线段上的动点，分别以、为边在线段的同侧作正方形和正方形，、分别为、的中点，连接，设的中点为，则当点从点运动到点时，点移动的路径长等于______．
18.甲乙两人玩一个游戏：将为奇数个数排成一列，记作，甲，乙轮流从这一列数中删除两个相邻的数，剩余的数成为一列新的数甲先开始操作，直至这列数被删到只剩下一个数每次操作时，甲的原则是使最后剩下的数最大化，乙的原则是使最后剩下的数最小化．
对于，被删除一次后可以成为或以及一些其他情况，写出未列举的其他情况______；
对于，最后剩下的数为______．
三、解答题：本题共11小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
解方程：
；
．
20.本小题分
某数学兴趣小组同学定期进行课外扩展讨论，并发现了一些有趣的结论其中他们发现，任意一个三边均不相等，以一边的端点为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点，则以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形基本思路就是利用三角形全等和平行四边形平行线的判定加以解决请根据这个思路完成作图和填空．
如图，在中，点为边上的中点，连接．
尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点不要求写作法，保留作图痕迹；
在所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形请补全下面的证明过程
证明：点为边上的中点，
，在和中，
≌______，
______，
，
______．
四边形是平行四边形．
兴趣小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题：
以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，以则该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是______．
21.本小题分
如图，在中，，点，分别是，的中点连接并延长至点，使得连接，，．
求证：四边形是菱形；
连接，若，，求的长．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交点为，求：
求的值与一次函数的解析式；
求的面积；
在轴上求一点使为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
23.本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点．
求该函数的表达式及点的坐标；
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值范围．
24.本小题分
如图，利用一面墙墙最长可利用米，围成一个矩形花园与墙平行的一边上要预留米宽的入口如图中所示，不用砌墙用砌米长的墙的材料．
当矩形花园的面积为平方米时，求的长；
能否围成平方米的矩形花园，为什么？计算说明
25.本小题分
商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅下面给出了商品售价和成本单位：元的相关公式和部分信息：
计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：
售价涨跌幅，成本涨跌幅；
规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；
甲、乙两种商品成本与售价信息如下：
甲商品的成本与售价信息表
第一周 第二周 第三周 第四周 第五周
成本
售价
根据以上信息，回答下列问题：
甲商品这五周成本的平均数为______，中位数为______；
表中的值为______，从第三周到第五周，甲商品第______周的售价最高；
记乙商品这周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这周新售价的方差为，则 ______填“”“”或“”．
26.本小题分
如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下：
时间
水位高度
根据以上信息，解决下列问题：
描出以表中各组已知对应值为坐标的点；
当 ______时，杯中水位最高，是______；
在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为______；
求停止注水时的值；
从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时______．
27.本小题分
如图，在中，，，点为线段的延长线上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．
如图，当，且点与点关于点对称时，求证：；
如图，若点关于点的对称点为点，连结，依题意补全图形，求证：．
28.本小题分
有如下的一列等式：，，，，，若将记为，其中为正整数，的各项系数均不为那么以下说法正确的是______．
若，则；
若，那么的所有系数之和为；
若，那么当时，．
29.本小题分
对于平面直角坐标系中的点和，我们称为和两点的“亚距离”进一步，对于平面中的点和图形，，我们给出如下定义：点到图形上各点的最短亚距离为，点到图形上各点的最短亚距离为，若，则称点为图形，的一个“亚等距点”．
如图，已知，，，，点、、关于轴的对称点分别为点、、，将正方形向上平移个单位得到正方形．
______；
在点，，，中，哪个点是点和点的亚等距点______；
在坐标系中，画出正方形和正方形的亚等距点所组成的图形；
已知线段上恰好存在个线段和线段的亚等距点，直接写出的取值范围．
参考答案
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17.
18.和
19.解：，
，
，
，
则，
所以．
，
，
，
，
则或，
所以，．
20.解由：如图即为所求作的角；
证明：点为边上的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形．
21.证明：点是的中点，
．
，
四边形是平行四边形．
在中，，点是的中点，
．
四边形是菱形；
解：过点作交的延长线于点．
，
四边形是菱形，，，
，，
，
，
在中，，，
，
，
．
．
在中，
．
22.解：点在正比例函数图象上，
，解得：，
点，在一次函数图象上，
代入一次函数解析式可得，解这个方程组得，
一次函数的解析式为；
在中，令，解得，
；
点，
，
当时，
，
的坐标为或，
当时，作轴垂足为，
，轴，
，
点，
，
，
的坐标是，
当时，作轴垂足为，
设的坐标为，
在中，，，，
解得，
的坐标是
综上可知，的坐标为或或或
23.解：将，代入中，
得，
解得，
函数的表达式为，
过点且平行于轴的直线为，
点的横坐标为，
在中，令得，
点的坐标为；
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，
，
解得；
的取值范围是．
24.解：设矩形花园的长为米，则其宽为米，依题意得：
，
，
解得：，，
，
不合题意，舍去，
，
米，
答：的长为米；
不能围成平方米的矩形花园，理由如下：
若矩形花园面积为平方米，则：
，
化简得：，
，
该方程无解，
不能围成平方米的矩形花园．
25.，；
，四；
解：由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之”，
改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，
，
26.
；．
．
设从开始向外排水到停止注水，关于的函数表达式为，
把，代入，
即，
解得：，
，
由表格知，排水的速度为，
当时，，
当时，，
可求得，停止注水后，关于的函数表达式为，
可得方程组，
解得：，
时，停止注水．
由知，第停止注水，此时水位的高度为，
所以从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时．
27.证明：如图，连接，
，
，
旋转，
，
为等边三角形，
点与点关于点对称，
，
．
方法一：补全图形如图所示，
连接，取中点，连接、、，
点关于点的对称点为点，
为中点，
为中点，
是的中位线，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，为中点，
，
，
，，
根据三角形内角和得，
，
，
，
即．
方法二：补全图形如图所示，
连接延长到点，使，连接、、，延长，连接，
点关于点的对称点为点，
为中点，
，
是中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，，
垂直平分，
，
，
，
，，
，
旋转，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
28.若，，故正确；
若则令，则的所有系数之和为故正确；
若，
那么当时，，
，
，
，
令得，，
令得，
两式相加的，
．
则正确；
故答案为：．
29.根据“亚距离”的定义可知：
：，，
；
，；
如图所示，分别取，，连接，设点为上一点，作轴交于，则点到正方形上一点的“亚距离”最小时，点一定会在或上，当在上时，过点作于，
将正方形向上平移个单位得到正方形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
，
点到线段上一点的“亚距离”等于，即点到正方形的“亚距离”的最小值即为的长，
同理可证明为等腰直角三角形，
，
又点到正方形上一点的“亚距离”的最小值即为的长，
点即为正方形和正方形的亚等距点，
线段上的点都是正方形和正方形的亚等距点，
由对称性可知线段上的点都是正方形和正方形的亚等距点；
由对称性可知，过点且平行于轴的直线上的点都是正方形和正方形的亚等距点；
综上所述，正方形和正方形的亚等距点组成的图形为线段，，直线；
解：见图所示，
，，点和点关于轴对称的点分别为，
，；
设线段和线段的亚等距点的坐标为，
当时，，
，
或，
解得，
此时点在直线上，且；
当时，如图所示，过点分别作直线和直线的垂线，垂足分别为、，
，
，当时，则，
解得舍去；
当时，则，
，
此时点在直线上运动；
当时，则，
舍去；
综上所述，此时点在直线上运动，且；
当时，如图所示，过点分别作直线和直线垂线，垂足分别为、，
，
，
，
，
当时，则，方程无解，不符合题意；
当时，则，
解得
此时点在直线上运动；
当时，则，此时方程无解，不符合题意；
综上所述，此时点在直线上运动，且；
由对称性可知点的轨迹方程为，
线段上恰好存在个线段和线段的亚等距点，
线段与点的轨迹方程有个不同的交点，如图所示，设经过，两点的直线解析式为，
解得
结合点的轨迹方程可得，．
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