2024-2025学年江苏省南通市启东中学高二第一学期期初反馈检测数学试题（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市启东中学高二第一学期期初反馈检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.过点且与直线平行的直线的方程是( )
A. B. C. D.
3.已知，其中，则( )
A. B. C. D.
4.在区间上任取一个整数，则使函数存在两个不同零点的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知直线：与直线关于直线对称，则的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知空间向量，，且满足，，则( )
A. B. C. D.
7.点在直线上运动，，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.如图，正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误的是( )
A. 是正三棱锥 B. 直线平面
C. 直线与所成的角是 D. 二面角为．
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中真命题是 ．
A. 若存在实数，，使，则与，共面
B. 若与，共面，则存在实数，，使
C. 若存在实数，，使，则，，，共面
D. 若，，，共面，则存在实数，，使
10.对于直线以下说法正确的有( )
A. 的充要条件是 B. 当时，
C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为
11.已知、分别为棱长为的正方体棱，上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 线段长度的最小值为
B. 三棱锥的外接球体积的最大值为
C. 直线与直线所成角的余弦值的范围为
D. 当、为中点时，平面截正方体所形成的图形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，且，那么是 三角形．
13.如果三条直线，和将平面分为六个部分，那么实数的取值集合为 ．
14.已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与，不重合，则的最大值为 ；的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，，求：
边上的高所在直线方程；
的外心坐标；
的面积．
16.本小题分
在中，内角所对的边分别是，已知，，．
求的值；
求的值．
17.本小题分
某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．其中．
估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数同一组数据用该区间的中点值作代表和中位数；精确到
现在要从购车补贴金额的心理预期值在间用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行调查，求抽到人中购车补贴金额的心理预期值都在间的概率．
18.本小题分
已知点，直线
求点关于点对称点的坐标
求点关于直线的对称点的坐标．
已知点，点在直线上，问使取得最小值时点的坐标与使取得最小值时点的坐标是否相同？请说明理由．
19.本小题分
如图，四边形是矩形，平面，平面，，点在棱上．

求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
若点到平面的距离为，求线段的长．
参考答案
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10.
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12.等边
13.
14.
15.解：由 ， 得， ，
所以 边上的高线的斜率为 ，且高线过点 ，
所以 边上的高所在的直线方程为： ，即 ．
由 ， 得， ，边 的中点为 ，即 ，
所以边 的垂直平分线的直线方程为： ，即 ；
由 ， ，得 ，边 的中点为 ，
所以边 的垂直平分线的直线方程为： ，即 ，
由 ，得 ，所以 的外心坐标为 ．
由知， ，则直线 的方程为： ，即 ，
边 上的高为： ， ，
所以 ．

16.解：因为 ，则 ，
即 ，且 ，则 ，又 ，解得 ；
因为 ，且 ，则 ；
又因为 ， ，
则 ．

17.解：由题意知，．
则平均数的估计值为万元．
因为，则中位数在区间内．
设中位数为，则，
得，所以中位数的估计值为万元．
从购车补贴金额的心理预期值在间用分层抽样的方法抽取人，
则购车补贴金额的心理预期值在间的有人，记为，，，，
购车补贴金额的心理预期值在间的有人，记为，，
则基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共种情况．
其中购车补贴金额的心理预期值都在间有，，，，，，共种情况，
所以抽到人中购车补贴金额的心理预期值都在间的概率．
18.解：点关于点对称点可知，为，的中点，
所以解得，，
所以的坐标；
设的坐标，
由题意可得，解得，，
所以的坐标；
不同
理由如下：
证明：设，
则，
显然时，最小，且为，此时；
因为，当且仅当，，三点共线时，取到最小值，
则为与直线的交点，
直线的方程为：，
所以，解得：，，
此时，
所以两个点的坐标不同．
19.解：在矩形中， ，
因为 平面，平面，所以 平面．
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以平面．
又因为平面，平面，，所以平面 平面．
因为平面，所以平面．
因为平面，平面，平面，
所以，又因为是矩形， ，
所以、、两两垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系 ，如图所示
则 、、 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
取，可得 ，
设直线与平面所成角为，所以 ，
即直线与平面所成角的正弦值为．
设，，则 ，所以 ，
设点到平面 的距离为，则 ，
因为 ，解得 ，故 ，
即线段的长为．

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