人教版2024-2025学年九年级数学上册第二十二章22.1.4y=ax2bxc的图象与性质同步练习【基础卷】（含答案解析）

22.1.4y=ax2 bx c的图象与性质同步练习【基础卷】
学校:___________ 姓名：___________ 班级：__________
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列抛物线不经过原点的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标如下表所示，则该函数图象的顶点坐标为（　　）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
A．（﹣1，0） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，3）
5．直线（a≠0）与抛物线（a≠0）在同一坐标系内的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
6．将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（ ）
A． B． C． D．
7．下表中列出的是二次函数自变量x与函数y的几组对应值．
x 0 1 2 3
y 3 0 m 3
下列选项中，正确的是（ ）
A． B．这个函数的图象开口向下
C．当时，y随x增大而增大 D．当时，x的取值范围是
8．抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为和，且，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知二次函数（a为非零常数，），图像与y轴负半轴的交点在点的上方，有下列结论：
①；
②关于x的方程有两个不相等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
10．抛物线交x轴于，A两点，将绕点A旋转得到抛物线，交x轴于另一点；将绕点旋转得到抛物线，交x轴于另一点；…，如此进行下去，形成如图所示的图像，则下列各点在图像上的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．把二次函数化为顶点式为 ．
12．把二次函数的图像沿y轴向上平移1个单位长度，与y轴的交点为C，则C点坐标是 ．
13．从-3，-2，-1，0，1，2这六个数中，任意抽取一个数，作为反比例函数和二次函数y=（m+1）x2+mx+1中的m的值，恰好使所得的反比例函数在每个象限内，y随x的增大而增大，且二次函数的图象开口向上的概率为 ．
14．抛物线的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
15．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出符合要求的一个二次函数解析式：
三、解答题
16．求二次函数的最值．
17．已知抛物线顶点为，且经过点，求二次函数解析式．
18．如图，已知二次函数的图象经过点D（-1，0）和C（4，5）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在同一坐标系中画出直线，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．

19．已知二次函数的图象为抛物线C．
(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围；
(3)将抛物线C先向右平移2个单位长度、再向上平移1个单位长度后，所得抛物线为，请直接写出抛物线的函数解析式．
20．已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3.
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数的图象平行于直线y＝3x－3，求m的值；
（3）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
21．已知二次函数
（1）将化成的形式；
（2）在所给坐标系中画出二次函数的图象；
（3）当时，利用图象直接写出的取值范围．
1．A
【分析】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上；②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，据此判断即可．
【详解】解：A．∵a＝＞0，
∴y＝x2的图象开口向上，故本选项符合题意；
B．∵a＝﹣1＜0，
∴y＝﹣x2+2x+1的图象开口向下，故本选项不符合题意；
C．∵a＝﹣2＜0，
∴y＝﹣2x2+x的图象开口向下，故本选项不符合题意；
D．∵a＝﹣0.5＜0，
∴y＝﹣0.5x2+x的图象开口向下，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．C
【分析】代入原点坐标到抛物线解析式，等式成立即说明抛物线经过原点．
【详解】A选项，代入原点坐标，等式依然成立，抛物线经过原点，不符合题意；
B选项，代入原点坐标，等式依然成立，抛物线经过原点，不符合题意；
C选项，代入原点坐标，得，等式不成立，抛物线不经过原点，符合题意；
D选项，代入原点坐标，等式依然成立，抛物线经过原点，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查验证抛物线图象经过一定点，解题关键是代入点的坐标到抛物线解析式，等式成立说明抛物线经过此点．
3．D
【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用积的乘方运算法则、单项式乘多项式、完全平方公式分别判断，进而得出答案．
【详解】解：A．，故此选项不合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项符合题意．
故选：D．
4．C
【分析】根据二次函数的对称性解答即可．
【详解】解：∵x＝0、x＝2时的函数值都是3，
∴函数图象的对称轴为直线x＝＝1，
∴顶点坐标为（1，4）．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．
5．C
【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意．
【详解】解：选项A中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，故选项A不符合题意；
选项B中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，故选项B不符合题意；
选项C中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，故选项C符合题意；
选项D中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．C
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．
【详解】解：因为y=x2-2x+3=（x-1）2+2．
所以将抛物线y=（x-1）2+2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=（x-1+2）2+2-1，即y=（x+1）2+1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．
7．D
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【详解】解：由表格可得，和3时，函数值都为3，
∴该函数的对称轴为直线，
∴和对应的函数值相等，
∴，故选项A错误，不符合题意；
时，y随x的增大而减小，
抛物线的开口向上，故选项B错误，不符合题意；
时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，故选项C错误，不符合题意；
当时，x的取值范围是，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
8．A
【分析】依照题意画出二次函数及的大致图象，观察图象即可得出结论．
【详解】解：二次函数与x轴交点的横坐标为，将其图象往上平移2个单位长度可得出二次函数的图象．
观察图象，可知：．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
9．B
【分析】根据函数的对称性，性质，建立不等式逐一判断即可．
【详解】∵（a为非零常数，），图像与y轴负半轴的交点在点的上方，
∴，a＞0，，
∴a＞0，b＞0，at＜1，b=2a-at，
∴b-a=a(1-t)，
∵a＞0，，
∴a(1-t)＜0，
∴，
故①正确；
关于x的方程的判别式△=，无法确定属性，
故②错误；
∵b=2a-at，
∴2a-b=at，
∴2a-b-1=at-1，
∵at＜1，
∴，
故结论③正确，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，对称轴，性质，与方程，不等式的联系，熟练掌握二次函数的对称性，与方程的联系是解题的关键．
10．C
【分析】根据抛物线的旋转，找到图像的循环特征，由循环特性分别找到当、时，对应的函数值，进行判定即可．
【详解】解：由已知，
则抛物线的顶点为，
由旋转可知，抛物线的顶点为，
则抛物线解析式为：，
由题意可知，题干中的复合图像，每4个单位循环一次，
由可知，
的函数值等于时的函数值，
∴时，，
由可知，
的函数值等于时的函数值，
∴时，，
故可知，点在图像上．
故选：C
【点睛】本题考查了与二次函数图像的旋转有关的规律探究问题，解答关键是通过图像的旋转要找到对应的函数解析式以及图像的循环规律．
11．
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：，，是常数，，该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与轴的交点坐标是；
②顶点式：，，是常数，，其中为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为；
③交点式：，，是常数，，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与轴的两个交点坐标，．
直接用配方法将二次函数解析式化成顶点式即可求解．
【详解】解：，
故答案是：．
12．
【分析】本题考查二次函数图像的平移及其与坐标轴的交点，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键．先根据抛物线的平移规律得到平移后的二次函数的解析式，即可求得图像与y轴的交点C的坐标．
【详解】解：把二次函数的图像沿y轴向上平移1个单位长度得到新图像的解析式为：
当时，，
所以C点坐标是．
13．，
【详解】试题解析：∵反比例函数恰好使所得的反比例函数在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴m2-5＜0，
解得：-＜m＜，
∵二次函数y=（m+1）x2+mx+1的开口向上，
∴m+1＞0，
解得：m＞-1，
∴满足条件的m的值有0，1，2三个，
∴恰好使所得的反比例函数在每个象限内，y随x的增大而增大，且二次函数的图象开口向上的概率为，
考点：1．概率公式；2．反比例函数的性质；3．二次函数的性质．
14． 下
【分析】根据二次项系数确定开口方向，利用配方法转化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标．
【详解】∵，而，
∴开口方向向下．
∵，
∴对称轴是，顶点坐标是．
故答案为：下，，．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴是直线，顶点坐标为．
15．y=-x2+1(答案不唯一)
【分析】可以在y轴取一点，x轴上取两点让它们能组成直角三角形的三个顶点，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
【详解】根据如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个是直角三角形，
所以可以取C（0，1），A（-1，0），B（1，0）三点，
设抛物线的表达式是y=ax2+1，抛物线过（1，0），
所以a+1=0，a=-1．
抛物线是：y=-x2+1．
故答案为y=-x2+1(答案不唯一)
【点睛】本题是开放性题目，答案不唯一，考查了利用待定系数法求抛物线的表达式．
16．有最小值，为
【分析】先将二次函数解析式转化为顶点式，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：
，
∵二次项系数，二次函数的图像开口向上，
∴二次函数有最小值，当时，．
∴二次函数有最小值，为．
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求抛物线的解析式．
先设抛物线的解析式为：，然后把点代入，得关于的方程，求出即可．
【详解】解：设抛物线的解析式为：，
把点代入得：
即
解得
∴抛物线的解析式为：．
18．（1）；（2）-1＜x＜4．
【分析】（1）根据二次函数的图象过D（-1，0）和C（4，5）两点，代入得出关于a，b的二元一次方程组，求得a，b，从而得出二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，令y=0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；画出图象，再根据图象直接得出答案．
【详解】（1）∵二次函数的图象过D（-1，0）和C（4，5）两点，
∴，
∴，，
∴二次函数的解析式为；
（2）当时，得：，
解得，
当时，得：，
解得，
∴直线经过点D（-1，0）和C（4，5）两点，
∴图象如图，

观察图象，当-1＜x＜4时，直线在抛物线的上方，
∴当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是-1＜x＜4．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x轴的交点问题，数形结合是解题的关键．
19．(1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为
(2)
(3)
【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
根据二次函数的性质可得出答案；
根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式.
【详解】（1）解：
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 ；
（2），
∴当 时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小，
当 时, ；
当 时, ；
∴当时，二次函数的函数值的取值范围为
（3）∵抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到抛物线
即．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
20．（1）m=3；（2）m=1；（3）m＜﹣
【分析】（1）把原点坐标（0，0）代入函数关系式，即可求得m的值；
（2）根据图象平行的一次函数的一次项系数相同即可得到关于m的方程，解出即可；
（3）根据一次函数的性质即可得到关于m的不等式，解出即可．
【详解】解：（1）由题意得，，解得：；
（2）由题意得，，解得：；
（3）由题意得，，．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
21．（1）；（2）如图所示；（3）0≤y≤4．
【分析】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可；
（2）根据（1）所得的顶点式解析式直接画出图像即可；
（3）根据函数图像确定当时对应的y的取值范围即可．
【详解】解：（1），则；
（2）由（1）可得，画出函数图像如图所示：
（3）∵
∴函数图像的对称轴为x=-1
∵，
∴当x=-1时，函数图像有最大值，即=4
当x=1时，函数图像有最小值，即=0
∴当时对应的y的取值范围为0≤y≤4．
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键．
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