人教版2024-2025学年九年级数学上册第二十二章22.1.4y=ax2bxc的图象与性质同步练习【培优卷】（含答案解析）

22.1.4y=ax2 bx c的图象与性质同步练习【培优卷】
学校:___________ 姓名：___________ 班级：__________
一、单选题
1．将抛物线向右平移1个单位，得到抛物线表达式为（ ）
A． B．y =2 C． D．
2．如图，直线l为二次函数的图象的对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．以上说法都不对
3．关于抛物线的判断，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的开口方向向上 B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小
4．用配方法将二次函数化为的形式为（ ）
A． B．
C． D．
5．二次函数图象上部分点的坐标满足下表∶
x … 0 1 2 3 4 …
y … 8 3 0 m 3 …
下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线；②；③不等式的解集为；④方程有两个不相等的实数根，正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．二次函数的图象如图所示，观察得出了下面4条信息：①；②；③；④．你认为其中正确的结论有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（1，－1）和（3，0），则下列关于这个二次函数的描述，正确的是（ ）
A．y的最小值大于－1 B．当x＝0时，y的值大于0
C．当x＝2时，y的值等于－1 D．当x＞3时，y的值大于0
8．二次函数的图象（局部）如图所示，则下列四个判断中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为（ ）．
A．2 B． C．6 D．
10．在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下新定义，若，则称点是点的限变点，例如：点的限变点是，点的限变点是，若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算：= ,=
12．抛物线的顶点坐标为 ．
13．如果某个二次函数的图象经过平移后能与的图象重合，那么这个二次函数的解析式可以是 ．（只要写出一个）．
14．已知抛物线C1：y=﹣x2+4x﹣3，把抛物线C1先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线C2 ，将抛物线C1和抛物线C2这两个图象在x轴及其上方的部分记作图象M．若直线y=kx+ 与图象M至少有2个不同的交点，则k的取值范围是 ．
15．如图为函数：y=x2﹣1，y=x2+6x+8，y=x2﹣6x+8，y=x2﹣12x+35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y=x2﹣6x+8的图象的序号是 ．
16．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2＋bx＋1上的两点，b＝ ；m＝ ；将抛物线y＝x2＋bx＋1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为 ．
三、解答题
17．如图，已知二次函数的图象分别经过点，，求该函数的解析式．
18．已知二次函数的表达式为y＝x2﹣(2m﹣1)x+m2﹣m试判断该二次函数的图象与x轴交点的个数？并说明理由．
19．抛物线与直线交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，直线与抛物线的对称轴交于点C．

(1)求点C的坐标；
(2)当时，二次函数的最大值为8，求t的值；
(3)点D是抛物线上A、B两点之间的一动点（包括A、B），点D的坐标为，，求当n取何值时，m的值最小，最小值是多少？
20．如图,二次函数的图像经过点A(﹣1,﹣1)和点B(3,﹣9).
(1)求该二次函数的表达式.
(2)求该抛物线的对称轴及顶点坐标.
(3)点C(m,m),D都在该函数图像上(其中m>0),且点C与点D关于抛物线的对称轴对称,求点D的坐标.
21．已知抛物线．
(1)直接写出抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
(2)若点，在抛物线上，直接写出a的取值范围；
(3)若，，都在抛物线上，是否存在实数m，使得恒成立 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
1．C
【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
【详解】解：二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位，
得：y=2（x-1）2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
2．C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象与系数符号的关系是解题关键．由二次函数对称轴位置可知，、异号，即可得到答案．
【详解】解：由图像可知，二次函数对称轴l在轴右侧，
、异号，
，
故选：C．
3．C
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性逐项分析即可解答；掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，
∴时，y随x的增大而增大，
∴选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意．
故选：C．
4．D
【分析】先把二次项的系数化为1，再配方，从而可得答案．
【详解】解：
，
故选：D.
【点睛】本题考查的是利用配方法化抛物线为顶点式，熟练掌握“配方法”是解本题的关键．
5．C
【分析】
本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与方程、不等式的关系．利用待定系数法求得二次函数解析式，然后利用二次函数的性质，二次函数与方程、不等式的关系逐个进行判断．
【详解】由表可知，二次函数图象经过点，，，
∴，解得，
∴二次函数为，
∵，
∴该二次函数的对称轴为直线，故①正确；
∵，
∴，故②错误；
把代入二次函数中，得，
∴
∵二次函数的图象开口向上，与x轴的交点坐标为，，
∴不等式的解集为，故③正确；
∵方程即为，
整理为，
解得，，
∴方程有两个不相等的实数根．故④正确．
综上所述，说法正确的共有3个．
故选：C
6．C
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行分析，进而对所得结论进行判断．
【详解】①由二次函数的图象开口向上可知a＞0，图象与y轴交点在负半轴，c＜0，对称轴，＜0，因此，故正确；
②由图象可知x＝ 1时，y＝a b＋c＞0，故正确；
③对称轴，，故错误；
④由图象与x轴有两个交点，可知，故正确．
所以①②④三项正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c系数符号的确定．
7．D
【详解】试题分析：观察二次函数图象可得：
A、y的最小值小于－1，故本选项错误；
B、当x=0时，二次函数的图象与y轴交于0，－1之间，即y的值小于0，故本选项错误；
C、当x=2时，二次函数的值不一定等于－1，故本选项错误；
D、当x＞3时，二次函数的图象在x上方，即y的值大于0，故本选项正确.
故选D.
考点：二次函数的图象.
8．C
【分析】根据二次函数的性质，利用数形结合的思想一一判断即可；
【详解】解：A、抛物线的开口向上，
，
对称轴在轴的右侧，
，异号，选项正确，不符合题意；
B、抛物线与轴有两个交点，
△，选项正确，不符合题意；
C、时，，
，
，
对称轴在轴的右侧，
可得：，
即，
不能推出，故选项错误，符合题意；
D、时，，
，
，选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想解决问题．
9．D
【分析】本题主要考查了中心对称、菱形的性质、中心对称的性质等知识点，熟记相关性质是解题关键．
根据菱形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）确定m、n的值，最后求和即可．
【详解】解：∵四边形菱形且对角线交于原点O，
∴点D与点B关于原点成中心对称，
∴，
∴．
故选：D．
10．D
【分析】分别求出当和时n的取值范围即可．
【详解】解：∵点在二次函数的图象上，
∴，
由题意知：当时，，
∴，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
当时，，
∴当时，取得最小值：，
当时，取得最大值：，
∴，
当时，，
∴当时，，
当时，
又∵
∴，
综上：当时，其限变点的纵坐标的取值范围是．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是理解题意，利用二次函数的性质和分类讨论的思想进行求解．
11．
【分析】根据二次根式的性质逐项化简，再合并同类二次根式即可.
【详解】解：；
.
故答案为，.
【点睛】本题考查了二次根式的化简和合并同类二次根式的知识，属于基本题型，熟练掌握化简的方法和合并同类二次根式的法则是关键.
12．
【分析】本题考查二次函数的顶点式：，其中对称轴为直线，顶点坐标为；本题据此解答即可．
【详解】解：，
，，
顶点坐标为，
故答案为：．
13．（答案不唯一）
【分析】先设原抛物线的解析式为，根据二次函数的图像平移性质知a=3，据此写出符合要求的解析式即可．
【详解】解:先设原抛物线的解析式为，
经过平移后能与抛物线重合，
∴，
∴这个二次函数的解析式可以是（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次函数的图像与几何变换，熟知二次函数图像平移中不变的性质是解答的关键．
14．
【分析】首先配方得出二次函数顶点式，求得抛物线C1的顶点坐标，进而利用二次函数平移规律得出抛物线C2，分求出直线与两条抛物线有且只有一个交点得k值．
【详解】y=﹣x2+4x﹣3= +1，
∴抛物线C1的顶点(2,1)
则将抛物线y=﹣x2+4x﹣3先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，
得到的新的抛物线C2的解析式为：
由消去y得到
由题意Δ=0，（k-4）2-14=0，
解得（舍去）
由消去y得到
由题意Δ=0，（k-10）2-86=0，
∴k（舍去）
∵两抛物线交于点（3，0），当直线经过该点时也满足条件，此时斜率为
又直线y=kx+与图象M至少有2个不同的交点，
观察图象可知，则k的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系.
15．第三个
【分析】根据二次函数的对称轴：，可得答案．
【详解】解：y=x2-1对称轴是x=0，图象中第二个，
y=x2+6x+8对称轴是x=-3，图象中第一个，
y=x2-6x+8对称轴是x=3，图象中第三个，
y=x2-12x+35对称轴是x=6，图象中第四个，
故答案为第三个．
【点睛】本题考查了二次函数图象，利用二次函数图象的对称轴确定函数图象是解题关键．
16． -4 6 4
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，则﹣＝2，解得b＝﹣4，再把（﹣1，m）代入y＝x2﹣4x＋1中求出m的值；利用二次函数图象平移的规律得到抛物线向上平移n个单位后的解析式为y＝x2﹣4x＋1＋n，根据判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4（1＋n）＜0，然后解不等式后可确定n的最小值．
【详解】解：∵A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2＋bx＋1上的两点，
∴点A和点B为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
即﹣＝2，解得b＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x＋1，
把（﹣1，m）代入得m＝1＋4＋1＝6；
抛物线向上平移n个单位后的解析式为y＝x2﹣4x＋1＋n，
∵抛物线y＝x2﹣4x＋1＋n与x轴没有交点，
∴△＝（﹣4）2﹣4（1＋n）＜0，
解得n＞3，
∵n是正整数，
∴n的最小值为4.
故答案为﹣4，6；4．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质以及抛物线的平移，解题关键是熟练运用二次函数知识，求出二次函数解析式，利用二次函数的性质解决问题．
17．
【分析】利用待定系数法把，代入二次函数中，即可算出、 的值，进而得到函数解析式．
【详解】解：∵二次函数过点，，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
18．二次函数与轴有两个交点．
【分析】首先求出的值，进而得出答案．
【详解】解：二次函数与轴有两个交点．理由如下：
，
方程有两个不相等的实数根，
二次函数与轴有两个交点．
【点睛】此题主要考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是得出的值，再进行判断．
19．(1)
(2)
(3)，最小值为
【分析】（1）先求解抛物线的对称轴，再利用可得答案；
（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线，可得当时，随x的增大而减小，可得当时，取得最大值，再列方程可得答案；
（3）把代入，可得，结合，说明，结合，则，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线，
∴当时，随x的增大而减小，
∴当时，取得最大值，
∴，
解得：或（舍），
∴．
（3）把代入得：，∴，
，
当时，，由（1）可知抛物线的顶点为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，m取得最小值．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，列二次函数关系式，勾股定理的应用，熟练的建立二次函数模型是解本题的关键．
20．(1)
(2)对称轴为直线,顶点坐标:
(3)
【分析】由条件可知和的坐标,代入解析式可得到关于和的二元一次方程组,解得和,可得出二次函数解析式;
化成顶点式,即可求得结论;
把点的坐标代入可求得的值,得到的坐标,进而求得的坐标．
【详解】（1）解:(1)将代入,
得,
解得, ,
∴二次函数的表达式为;
（2）(2)∵,
∴对称轴是直线顶点坐标:;
（3）(3)∵点C(m,m)在函数图像上,
∴,
∴或-1,
∵,
∴,
∴,
∴．
【点睛】本题考查二次函数综合题 一次函数 待定系数法 顶点式等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用顶点坐标解决最值问题,属于中考压轴题．
21．(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】（1）由，可得抛物线的顶点坐标为；
（2）令，则，解得，或，则二次函数图象与轴的两个交点为，，分当时，，，由，，可知符合要求；当时，，，由，，计算求解即可；
（3）由，可知二次函数图象开口向下，当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小；由，可知当，且时，即，此时；当，且时，无解； 然后作答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：令，则，
解得，或，
∴二次函数图象与轴的两个交点为，，
当时，，，
∵，，
∴符合要求；
当时，，，
∵点，在抛物线上，
∴，，
解得，；
综上，a的取值范围为或；
（3）解：存在，；
∵，
∴二次函数图象开口向下，
当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小，
∵，
∴当，且时，即，此时；
当，且时，无解；
综上，时，．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，二次函数的图象与性质，不等式组的解集，二次函数与轴的交点．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
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