人教版2024-2025学年九年级数学上册第二十二章22.2二次函数与一元二次方程同步练习【基础卷】（含答案解析）

22.2二次函数与一元二次方程同步练习【基础卷】
学校:___________ 姓名：___________ 班级：__________
一、单选题
1．抛物线y=﹣x2-4x+4的对称轴是（　　）
A．x=4 B．x=2 C．x=﹣2 D．x=﹣4
2．如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
3．已知抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，则点C的坐标为（　　）
A．（3，6） B．（0，8）
C．（0，﹣1） D．（4，0）或（2，0）
4．二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，则的面积为(　 )
A．6 B．4 C．3 D．1
5．在平面直角坐标系 中，二次函数 的图像如图所示，则方程 的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
6．关于二次函数的性质，下列描述错误的是（　　）
A．开口向上 B．与y轴交于x轴下方
C．与x轴没有交点 D．时y随x的增大而减小
7．如表给出了二次函数（）的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（　　）
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … 1 0.49 ﹣0.04 ﹣0.59 ﹣1.16 …
A．0.09 B．1.19 C．1.29 D．1.39
8．已知抛物线与直线，无论取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点，那么，抛物线的解析式是　　
A． B． C． D．
9．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则，；④若为任意实数，则．正确结论的序号为（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
10．抛物线与轴交于两点（在左侧），其对称轴与轴交于点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，则线段的最大值与最小值的比值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．抛物线与x轴的交点坐标为 ，与y轴交点坐标为 ．
12．二次函数的图象最高点在轴上，则的值为 ．
13．如图，一男生推铅球，铅球行进高度（米）与水平距离（米）之间的关系是，则铅球推出距离 米．
14．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如1．若y关于x的函数的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
15．若函数，则当自变量取1，2，…，15，16，17这17个自然数时，函数值的和为 ．
三、解答题
16．已知抛物线．
（1）求它的对称轴和顶点坐标；
（2）写出一种将它平移成抛物线的方法．
17．如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求与的值．
(2)观察图象，直接写出不等式的解集是______．
(3)如图2，点在抛物线上，且点在第四象限，轴，交轴于点，若，求点的坐标．
18．已知函数（为常数）．
（1）证明：无论m取何值，该函数与轴总有两个交点；
（2）设函数的两交点的横坐标分别为和，且，求此函数的解析式．
19．窑洞（如图1）是黄土高原的产物，是陕北地方劳动人民的象征，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息，它除了坚固及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然优点.小明家的窑洞（如图2）的门窗上面部分可以看成一个抛物线，下面部分是矩形，已知矩形的长，宽，门窗最高点D与地面垂直距离为，以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1)求出该抛物线的函数表达式；
(2)春节前夕，小明想对家里的窑洞门窗进行装饰，准备在门窗上面的抛物线上悬挂两个灯笼，使它们离地面的高度相等，且均为，请求出两个灯笼的水平距离.（结果保留根号）
20．设二次函数（a，c是常数）的图象与x轴有交点．
(1)若图象与x轴交于A，B两点的坐标分别为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
(2)若图象与x轴只有一个交点，且过，求此时a，c的值．
(3)已知，若函数的表达式还可以写成（m，n为常数，且），设二次函数，求的最小值．
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1．C
【详解】试题分析：根据对称轴公式：，即可求解.
解：∵
∴抛物线y=﹣x2-4x+4的对称轴是直线x=﹣2.
故选C.
2．A
【分析】由求不等式的解集即求二次函数的图象在x轴上方时x的取值范围，再结合图象即可得出答案．
【详解】解：∵求不等式的解集即求二次函数的图象在x轴上方时x的取值范围，
又∵当时，二次函数的图象在x轴上方，
∴不等式的解集为．
故选：A．
【点睛】本题考查图象法解一元二次不等式．利用数形结合的思想是解题关键．
3．B
【分析】y轴上的点的横坐标为0，所以把x＝0代入二次函数式即可求解．
【详解】解：当x＝0时，y＝（0﹣3）2﹣1＝8，
所以抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交点C的坐标是（0，8）．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点坐标，牢记y轴上点的坐标x=0是本题的关键
4．A
【分析】根据题意，令分别等于0，求得的坐标，进而根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，
在中，当时，
解得：
当时，，
即，
∴
故的面积为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，求得的坐标是解题的关键．
5．B
【分析】二次函数图像与轴有两个交点，由一元二次方程的根的判别式，一元二次方程有两个不相等是实根，即可求出答案．
【详解】解：一元二次方程的根的判别式，一元二次方程有两个不相等实根，即二次函数与轴有两个交点，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数与x轴的交点个数，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
6．B
【分析】根据二次函数的开口方向、与y轴交点位置、与x轴交点个数、y随x的变化情况逐项进行分析即可得到答案．
【详解】解：A、中，所以开口向上，说法正确，该选项不符合题意；
B、当时，，与y轴交于x轴上方，说法错误，该选项符合题意；
C、令，，与x轴没有交点，说法正确，该选项不符合题意；
D、二次函数开口向上，对称轴为，所以在对称轴左侧，即时y随x的增大而减小，说法正确，该选项不符合题意；
故答案选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数解析式进行正确的判断是解题的关键．
7．B
【分析】观察表中数据得到二次函数与x轴的一个交点在和之间，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的一个根的近似值．
【详解】当时，，
当时，，
二次函数与x轴的一个交点在和之间，
方程的一个根在1.1到1.2之间，
故选：B．
【点睛】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，通过表中数据确定与x轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根．
8．C
【分析】抛物线与直线有且只有一个公共点，也就是说方程只有一个解，即△．
【详解】联立方程组，
，
整理得，，
无论为何实数，直线与抛物线都只有一个交点，
△，
可得，，，
解得，，，
抛物线的解析式是，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
9．B
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，熟练运用数形结合思想．
首先对称性的得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后画出示意图，将代入解析式根据图象即可判断①；根据题意得到，进而可判断②；根据题意画出直线的图象，然后根据图象即可判断③；首先有对称轴得到，然后将代入解析式得到，进而得到，然后由时，y有最大值，即可判断④．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
∴开口向下，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴画出示意图如下，
∴当时，，故①正确；
∵
∴，故②错误；
如图所示，抛物线和直线有两个交点，
∴方程的两个实数根为，，且，
∴，，故③正确；
∵对称轴为直线，
∴
∴
∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，
∴
∴
∴
∴
∵抛物线开口向下，对称轴为
∴当时，y有最大值
∴若为任意实数，，故④正确．
综上可知，正确的有①③④，
故选B．
10．D
【分析】本题考查求线段最大值，最小值的问题，关键是把求的最大值，最小值转化成求的最大值，最小值，由三角形中位线定理，把求的最大值，最小值转化成求的最大值，最小值，连接交圆于，延长交圆于，由二次函数的性质求出，的长即可．
【详解】解：连接，
∵抛物线的对称轴与轴交于点，
∴是的中点，
∵是中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当取最大值，最小值时，取得最大值，最小值，
连接交圆于，延长交圆于，
当与重合时，长最小，当与重合时，长最大，
抛物线，
∴当时，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
∴，
∵点的坐标是，
∴，
∴，
∵的半径是
∴长的最大值是，最小值是，
∴的最大值是，最小值是，
∴线段的最大值与最小值的比值是，
故选：D．
11．
【分析】令 则解方程求解抛物线与x轴的交点坐标，令 则 可得抛物线与y轴的交点坐标.
【详解】解：令 则
∴
解得：
∴抛物线与x轴的交点坐标为
令 则
∴抛物线与y轴交点坐标为
故答案为：；
【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点坐标，掌握“根据坐标轴上点的坐标特点建立方程”是解本题的关键.
12．4或
【分析】根据题意可得二次函数的顶点在x轴上，即二次函数的图象与x轴只有一个交点，令得到关于x的一元二次方程其判别式为0，可求得a．
【详解】解：二次函数的图象最高点在x轴上
二次函数的图象与x轴只有一个交点
令得，则该一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得：
故答案为：4或
【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的顶点在x轴上则二次函数与x轴的交点只有一个．
13．10.
【详解】试题分析：成绩就是当高度y=0时x的值，所以解方程可求解．
试题解析：当y=0时，,解之得x1=10，x2=-2（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是10米．
考点：二次函数的应用．
14．
【分析】由定义的新运算求得y关于x的函数为：，再由y关于x函数的图象与x轴仅有一个公共点得到，求解即可．
【详解】解：∵，
∴
即，
∵的图象与x轴仅有一个公共点，令，得，
∴，
∴，
解得：（舍去）或．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与二次函数图像和x轴交点坐标的关系，解题关键是熟记：一元二次方程有两个根，说明二次函数图像和x轴的横坐标有两个交点；一元二次方程有一个根，说明二次函数图像和x轴的横坐标有一个交点；一元二次方程（在实数范围）无解，说明二次函数图像和x轴的横坐标没有交点．
15．227
【分析】令，求得，，可得当时，，只需求出、、时，对应的函数值，即可求解．
【详解】解：令，
解得，，
∵
∴
∵，
∴
∴当时，，
∴，
所以当、、时，的值分别为，，，
∴函数值的和为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，无理数的估算，绝对值的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，确定当时，对应的函数值为0．
16．（1）对称轴为 ，顶点坐标为；（2）先向左平移 个单位，再向上平移2个单位（答案不唯一）．
【分析】（1）利用配方法将抛物线 解析式化为顶点式，即可求解；
（2）将抛物线先向左平移 个单位，再向上平移2个单位，即可求解
【详解】解：（1）∵
∴抛物线的对称轴为 ，顶点坐标为 ；
（2）可将抛物线先向左平移 个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，顶点坐标，以及抛物线的平移，熟练掌握二次函数的解析式是解题的关键．
17．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数和一次函数的综合，以及一元二次方程的应用．
（1）根据对称轴即可求出b的值，再把代入抛物线即可求出c的值．
（2）设一次函数，可知一次函数经过B，C点，根据二次函数和一次函数的图像即可求解．
（3）设，，则，然后根据题意列出关系a的一元二次方程，解方程即可求a 的值，进一步即可求出点的坐标
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴对称轴，
又∵对称轴，
∴，
∴，
把代入得：，
∵
∴．
（2）由（1）可知抛物线为：．
设一次函数，当时，，正好过C点
当时，则，正好过B点， 如下图：
根据函数图像可知，当时，则，
即当时，，
故答案为：．
（3）设，，
∵点在抛物线上，且轴
∴，
∵
∴，
即，
解得，（舍去）
当时，，
∴
18．（1）见解析（2）y＝x2－2x－8．
【详解】试题分析：（1）证明△＝b2－4ac＞0即可；（2）利用根与系数的关系得到x1＋x2＝2m，x1x2＝－2（m＋3）代入，解方程得出m=1即可．
试题解析：（1）令y＝0，得△＝（－2m）2－4[－2（m＋3）]＝4（m＋1）2＋20＞0
∴无论m取何值，方程x2－2mx－2（m＋3）＝0总有两个不相等的实数根．
即无论m取何值，该函数与轴总有两个交点．
（2）依题意有x1＋x2＝2m，x1x2＝－2（m＋3）
由，解得m＝1．∴函数的解析式为y＝x2－2x－8．
考点：二次函数与一元二次方程．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
（1）由题意知拋物线顶点D坐标，设二次函数解析式为：，把代入求解；
（2）当时计算对应的横坐标，由此即可求解．
【详解】（1）解：由题意知拋物线顶点D坐标，
则抛物线的函数表达式为：，
把代入得：，
，
；
（2）由题意知：，
解得， ，
两灯笼的水平距离：米．
20．(1)；
(2)当时，；当时，
(3)
【分析】（1）将代入，可求，进而可得，化成顶点式可得顶点坐标；
（2）令，由图象与x轴只有一个交点，则，即，将代入得，，可求或或（舍去），然后求解作答即可；
（3）当时，，由，，可得，即，，然后求最值即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：令，
∵图象与x轴只有一个交点，
∴，即，
将代入得，，
解得，或或（舍去），
∴当时，；当时，；
（3）解：当时，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最小，最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的最值是解题的关键．
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