人教版2024-2025学年九年级数学上册第二十二章22.2二次函数与一元二次方程同步练习【培优卷】（含答案解析）

22.2二次函数与一元二次方程同步练习【培优版】
学校:___________ 姓名：___________ 班级：__________
一、单选题
1．抛物线y＝x2﹣9与y轴的交点坐标是（　　）
A．（﹣9，0） B．（0，﹣9） C．（3，0） D．（0，3）
2．已知关于x的方程的两个根分别是-1和3，若抛物线与y轴交于点A，过A作轴，交抛物线于另一交点B，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．1.5
3．如图，抛物线和抛物线，我们可对其中一条抛物线通过平移和对称得到另一条抛物线．则以下变换方式中，错误的是（　　）
A．将抛物线向右平移2个单位后再关于轴进行轴对称变换得到抛物线
B．将抛物线向左平移2个单位后再关于轴进行轴对称变换得到抛物线
C．将抛物线关于轴进行轴对称变换后再向右平移2个单位得到抛物线
D．将抛物线关于轴进行轴对称变换后再向右平移2个单位得到抛物线
4．已知直线由直线平移得到，且直线经过点，则直线与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，若抛物线与关于直线对称，则符合条件的，的值可以为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．对于抛物线y＝ax2+4ax﹣m（a≠0）与x轴的交点为A(﹣1，0)，B(x2，0)，则下列说法：
①一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3；
②原抛物线与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于D点，则CD＝4；
③点E(1，y1)、点F(﹣4，y2)在原抛物线上，则y1＞y2；
④抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+m与原抛物线关于x轴对称．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
判断方程，，，为常数）的一个解x的范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；其中正确的结论有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．已知抛物线 y＝ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为 P（x0，y0），点 A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当 y0≥0 恒成立时，的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
10．在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知二次函数的图象如图所示，则当时或时， 0．
12．抛物线上有三个点，，，则，，从小到大的关系为 ．
13．已知是一元二次方程的两个根，则代数式的值等于
14．如图，将抛物线y= x2+2x+8的图象x轴上方的部分沿x轴折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象(实线部分)；点P(a，ka-1)在该函数上，若这样的点P恰好有3个，则k的值为 .
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋4经过点A（3，0），与y轴交于点B．
（1）k的值为 ；
（2）y轴上有点M（0，），线段AB上存在两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与OMP全等，则符合条件的点P的坐标为 ．
三、解答题
16．已知二次函数．求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点．
17．如图，直线与直线相交于点．
（1）求的值和直线的函数解析式．
（2）当时，的取值范围是__________．
18．已知二次函数与轴有两个交点．
（1）求的取值范围；
（2）当时，求抛物线与轴的交点坐标及顶点坐标；
19．如图1，中，，，cm，点D为AB边上的动点（点D不与点A，B重合），过点D作交直线AC于点E．在点D由点A到点B运动的过程中，设cm，cm．根据学习函数的经验，可对函数y随x的变化而变化的情况进行了探究，请将探究过程补充完整：
(1)通过取点、画图、测量或计算，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm … 1 2 3 …
y/cm … 0.4 0.8 1.0 m 1.0 0 4.0 …
则表中m的值为______．（保留一位小数）
(2)在图2的平面直角坐标系中，以表格中各对x，y的值为坐标描点，并画出该函数的大致图象；
(3)结合（2）中画出的函数图象，解决问题：当时，AD的长度约为______cm．
20．如图，一次函数的图象与坐标轴交于点、，抛物线的图象经过、两点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若点为抛物线上一动点，在直线上方是否存在点使的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及点的坐标，请说明理由．
21．如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点D（0，m）为y轴正半轴上一点，连结AD并延长交抛物线于点E. 若点C（4，n）在抛物线上，且CE∥x轴.
（1）求m，n的值.
（2）连结CD并延长交抛物线于点F，求的值.
1．B
【分析】根据抛物线与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入y＝x2﹣9，求出y的值，即为交点的纵坐标，由此得解.
【详解】x＝0时，y＝﹣9，
所以，抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣9）．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.掌握二次函数图象与坐标轴的交点坐标的求解方法是解决此题的关键.
2．A
【分析】根据方程的两根求出b、c的值，代入抛物线解析式，求出点A坐标，A、B两点纵坐标相同，从而求出B点坐标，AB的长即可求出．
【详解】将-1，3分别代入，
，
解得，
∴抛物线解析式为：，
∴与y轴交点为：A（0，6），
∵AB⊥y轴，∴B的纵坐标为6，
代入抛物线解得，，
∴B（2，6）
∴AB=2-0=2．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握根与系数的关系是解题的关键．
3．D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，观察图象即可判断．掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
【详解】解：观察图象，
将抛物线向右平移2个单位后再关于轴进行轴对称变换得到抛物线，故正确；
将抛物线向左平移2个单位后再关于轴进行轴对称变换得到抛物线，故正确；
将抛物线关于轴进行轴对称变换后再向右平移2个单位得到抛物线，故正确；
将抛物线关于轴进行轴对称变换后再向左平移2个单位得到抛物线，故错误；
故选：．
4．B
【分析】由直线由直线平移而得推出，再将代入求出直线的解析式，令即可求解．
【详解】解：∵ 直线由直线平移得到，
∴，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴直线与y轴的交点坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数的平移，一次函数与坐标轴交点，掌握“一次函数图象平移前后k值不变”是解题的关键．
5．D
【分析】由两抛物线关于直线对称，可知两抛物线的对称轴也关于直线对称，与直线交于同一点，据此求解即可得．
【详解】解：当时，，
，
由题意得，解得，
两抛物线的解析式为与，
对称轴分别为与，
由题意得，解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了关于直线对称的抛物线的解析式间的关系，弄清系数间的关系是解题的关键．
6．B
【分析】由抛物线的对称轴x＝﹣2及其与x轴的交点A（﹣1，0），利用对称性可得另一交点即可判断①；根据抛物线的对称性及对称轴x＝﹣2可得CD的长，即可判断②；根据抛物线与x轴的交点及二次函数的增减性，结合开口方向可判断③；根据关于x轴的对称的图形横坐标相等、纵坐标为相反数可判断④．
【详解】解：①∵抛物线y＝ax2+4ax﹣m的对称轴为x＝﹣＝﹣2，
∴由抛物线与x轴的交点A（﹣1，0）知抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0），
则一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3，故①正确，符合题意；
②根据题意，设C（0，﹣m），D（n，﹣m），
由抛物线的对称轴为x＝﹣2知（0+n）＝﹣2，得n＝﹣4，
∴CD＝|n﹣0|＝|n|＝4，故②正确；
③由题意知，当x＝﹣3时，y1＝0，
而当抛物线开口向上时，若x＝1，则y2＞0，即y2＞y1，
当抛物线开口向下时，若x＝1，则y2＜0，即y2＜y1，故④错误，不符合题意；
④抛物线y＝ax2+4ax﹣m关于x轴对称的抛物线为﹣y＝ax2+4ax﹣m，即y＝﹣ax2﹣4ax+m，故④正确，符合题意；
综上，正确的是①②④，
故选：B．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
7．C
【分析】根据表中数据得到时，；时，，则取2.24到2.25之间的某一个数时，使，于是可判断关于的方程的一个解的范围是．
【详解】解：时，；时，，
关于的方程的一个解的范围是．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
8．B
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性，逐项判断即可．
【详解】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x=1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，故①不正确；
当x=2时，>0，
∴4a+2b+c＞0，因此②正确；
∵抛物线与x轴交点（3，0），
∴，
整理得，
又对称轴为x=1．
∴，即b=-2a
∴
∵a＜0
∴2a+c=-a＞0，故③错误，
所以，正确的结论有：②，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的a、b、c的值决定抛物线的位置是正确判断的关键．
9．D
【分析】利用点、、在抛物线上得，，，，，再利用得到，所以，从而得到的最小值．
【详解】解：点、、在抛物线上，
得，，，，
，
恒成立，，
，
，
即，
而，
，
即的最大值为．
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图像上的点，以及各系数的符号判断式子的符号是解题的关键．
10．D
【分析】设原方程为，两个根为和．新方程为，两个根为2和．则可得，，．将①②联立可解得．则可得或，再与联立可得a、b、c之间的关系．由根与系数的关系可求出与的值，进而可求出的值．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，推导出a、b、c之间的关系是解题的关键．
【详解】解：设原方程为，两个根为和．
新方程为，两个根为2和．
则，，，
得，
由题意得，
∴，
∴，
∴．
当时，，
联立，得，
则，，
则．
当时，，
联立，得，
则，，
则．
综上，原方程两根的平方和是．
故选：D．
11．
【分析】根据或，可得抛物线的图象在轴的下方，从而可得答案．
【详解】解：当时或时，抛物线的图象在轴的下方，
∴此时，
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用二次函数的图象确定不等式的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是解本题的关键．
12．
【分析】将各点代入确定各个函数值，进行比较即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查二次函数值的比较，理解题意，掌握二次函数的基本性质是解题关键．
13．6
【分析】欲求的值，先把此代数式变形为两根之积与两根之和的形式，代入数值计算即可．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个根，
∴a+b=3，ab=2，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程 的根与系数的关系：若方程两个根为，，则，．
14．或.
【分析】根据题意可得，点p是直线y=kx-1上的点，直线必过（0，-1），然后根据点P个数讨论情况.
【详解】∵，当y=0时，x=-2或4，
∴抛物线与x轴的交点为（-2，0）或（4，0），
由题可得，点p是直线y=kx-1上的点，直线必过（0，-1），
当直线y=kx-1经过抛物线与x轴的交点（-2，0）或（4，0）时恰好有3个p点，
将（-2，0）代入y=kx-1得，0=-2k-1，解得，
将（4，0）代入y=kx-1得，0=4k-1，解得，
故k的值为或.
【点睛】本题主要考查抛物线的顶点及相关性质，熟练掌握其顶点求法然后观察交点个数规律是关键
15． ﹣ （，）或（，）
【分析】（1）将点A（3，0）代入y＝kx＋4即可求出k；
（2）分两种情况分别讨论：①过点O作OQ⊥AB于Q，过点M作MP⊥OB于M，用面积法求出OQ，证明OPM≌OPQ，从而得P点纵坐标，代入一次函数解析式求出横坐标即可；②如图②，当OB＝BP，OM＝PQ，过点P作PF⊥OB于F，过点O作OE⊥AB于E，先证明MOP≌QPO，进而可得这两个三角形面积相等，由此可得PF＝OE＝，从而得P点横坐标，代入一次函数解析式求出纵坐标即可．
【详解】解：（1）把（3，0）代入y＝kx＋4，
得：0＝3k＋4，
解得：k＝﹣，
故答案为：﹣；
（2）由（1）得：直线AB的解析式为y＝﹣x＋4，
①如图①，过点O作OQ⊥AB于Q，过点M作MP⊥OB于M，
∴∠PMO＝∠OQP＝90°，
令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝3，
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5，
∵×AB OQ＝×OA OB，
∴OQ＝，
∴OQ＝OM，
在RtOPM和RtOPQ中，
，
∴OPM≌OPQ（HL），
∵MP⊥OB于M，
∴P点纵坐标是，
∵点P在y＝﹣x＋4，
∴将y＝代入y＝﹣x＋4，
得：＝﹣x＋4，
解得：x＝，
∴P（，）；
②如图②，当OB＝BP，OM＝PQ时，
过点P作PF⊥OB于F，过点O作OE⊥AB于E，
∵OB＝BP，
∴∠MOP＝∠QPO，
∴在MOP和QPO中，
，
∴MOP≌QPO（SAS），
∴，
∵OM＝PQ，
∴PF＝OE＝，
∴点P的横坐标为，
∵点P在y＝﹣x＋4，
∴把x＝入y＝﹣x＋4得：y＝，
∴P（，），
综上所述：线段AB上存在两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与OMP全等，符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．
故答案为：（，）或（，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、全等三角形判定与性质以及勾股定理等相关知识，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点，全等三角形的判定与性质，根据题意分情况讨论以及作出正确的辅助线是解题关键．
16．见解析
【分析】根据函数表达式，求出对应方程的，再对的值进行判断即可．
【详解】解：证明：令，
则，
该二次函数图象与轴有两个交点．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，学会用方程解决函数问题是关键．
17．（1），；（2）x＞1．
【分析】（1）将点P的横坐标代入中即可求出a的值；然后将点P的坐标代入中即可求出直线的函数解析式；
（2）结合两直线的图象和交点坐标即可得出答案．
【详解】解：（1）将点代入，解得，
∴．
将代入，得，解得，
∴．
（2）根据图象可知，当时，直线在直线上方，此时x＞1
∴当时，的取值范围是x＞1
【点睛】本题主要考查一次函数，掌握待定系数法和数形结合是解题的关键．
18．（1）；（2）或；．
【分析】（1）根据抛物线与轴的交点问题得到，然后解不等式即可．
（2）把代入函数关系式，将该函数关系式转化为交点式和顶点式方程，根据方程来解题．
【详解】解：（1）二次函数与轴有两个交点．
∴令，则
解得：；
（2）当时，二次函数是，
令，得，
解得：，，
抛物线与轴的公共点、的坐标分别是、，
抛物线的顶点的坐标是．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的解析式的三种形式．三种形式分别为：（1）一般式：（，、、为常数）；（2）顶点式：；（3）交点式（与轴）．同时考查了抛物线与坐标轴的交点求法．
19．(1)1.2
(2)见解析
(3)2.6或3.1
【分析】（1）根据题意得：当x=2时，AD=2，从而得到此时CD为AB边的中线，可得CD=AD=2， ，进而得到CE=2DE，即可求解；
（2）利用描点法画出函数图象即可求解；
（3）当时，即，在（2）中图象画出直线，观察图象，并测量两个函数图象可得，交点的横坐标，即可求解．
【详解】（1）解：当x=2时，AD=2，
∵cm，
∴AD=BD，
∵，
∴CD=AD=2，
∴，
∴CE=2DE，
在中，由勾股定理得：
，解得：，
即表中m的值为1.2；
故答案为：1.2
（2）解：根据已知数据画出图形，如下
（3）解：当时，即，在（2）中图象画出直线，
观察图象，并测量两个函数图象得：交点的横坐标为2.6或3.1，
即AD的长度约为2.6或3.1．
故答案为：2.6或3.1
【点睛】本题以几何动点问题为背景，考查了函数思想和数形结合思想．在（3）中将线段的数量转化为函数问题，设计到了转化的数学思想．
20．(1)；
(2)当时，面积的最大值为， 点的坐标是
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，根据数形结合的思想解题时关键．
（）根据一次函数解析式求出点、的坐标，然后运用待定系数求二次函数解析式即可；
（）设的面积为，，则，列出关于的二次函数，利用二次函数的性质即可得解。
【详解】（1）解：在中，令得，令得
，，
二次函数的图象过、两点，
，
解得
二次函数的表达式为；
（2）解：过点作轴交于点，

设的面积为，，则，
∴
∵，，
∴
∴当时，面积的最大值为，，
点的坐标是
21．（1）m=1，n=4；（2）
【详解】（1）∵点C（4，n）在抛物线上，∴x=4，代入抛物线得，n=4
令y=0，得， 解得 ∴A（2,0）
∵CE∥x轴，∴将y=4代入，得
解得 ∴E（-6,4）， 求得直线EC的解析式为
当x=0时，y=1,∴m=1
（或作EG⊥x轴，得，∴m=1 ）
（2）作FP⊥y轴于P，
设直线CD的解析式为
将C（4,4），D（0,1）代入上式得解得
解得，∴
∵CE∥FP，∴ ∴
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