人教版2024-2025学年九年级数学上册第二十二章22.3实际问题与二次函数同步练习【基础卷】（含答案解析）

22.3实际问题与二次函数同步练习【基础卷】
学校:___________ 姓名：___________ 班级：__________
一、单选题
1．方程x2=x的解是（　　）
A．x1=3，x2=﹣3 B．x1=1，x2=0 C．x1=1，x2=﹣1 D．x1=3，x2=﹣1
2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．小球运动到最高点所需的时间是（　　）
A．2s B．3s C．4s D．5s
3．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，矩形中，，，为矩形边上的一个动点，运动路线是，设点经过的路程为，以，，为顶点的三角形面积为，则选项图象能大致反映与的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
5．某旅行社有100张床位，每张床位每晚收费10元时，客床可全部租出，若每张床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每张床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位的租出；以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每张床每晚应提高( )
A．4元或16元 B．4元 C．6元 D．8元
6．如图，一场篮球比赛中，一名篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知球出手时离地面高2.25米，距篮筐中心的水平距离是4米，篮筐的中心离地面的高度为，该抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图， 等边三角形边长为， 点 D在边上（不与A，B重合），过点D作交于点E．当时，的周长比的周长减少了，面积减少了．当x在一定范围内变化时，和都随x的变化而变化，则与x，与x满足的函数关系分别是（ ）

A．反比例函数关系，一次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
8．在一个不透明的盒子中装有黄、白、红三种颜色的小球，每次摸球前先将球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.5左右，则随机从袋中摸出一个小球，摸到黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．在某次足球训练中，一队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁．若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c（如图）．现有四个结论：①a﹣b＞0；②a＜﹣；③﹣＜a＜0；④0＜b＜﹣12a．其中正确的结论是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
10．多人花样跳绳形式多样、对场地要求低、操作简单、健身效果明显，受到大众的喜爱．如图，绳被甩至最高处时的形状满足抛物线，甩绳的两名同学两手之间的距离，两人甩绳之手距地面的距离均为，则绳的最高点与地面之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．抛物线最高点的坐标是 ．
12．把抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新的抛物线的表达式是 ．
13．某工厂有一种产品现在的年产量是20万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系应表示为 ．
14．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，则水深超过 米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
15．如图（示意图），某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．运动员在空中最高处点A的坐标为运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为，且顶点C距水面5m，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则a的取值范围 ．
三、解答题
16．已知抛物线与x轴交于点，对称轴是直线，且过点，求抛物线的解析式．
17．某果园有棵橙子树，平均每棵树结个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子．假设果园增种棵橙子树，增种后果园橙子的总产量为个，那么请你求出当果园增种多少棵橙子树时，橙子的总产量最多，并求出此时的总产量．
18．用一块边长为60㎝的正方形薄钢片制作一个长方体盒子：如果要做成一个没有盖的长方体盒子,可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，如图(1),然后把四边折合起来，如图(2)
（1）求做成的盒子底面积y(㎝2)与截去小正方形边长x(㎝)之间的函数关系式；
（2）当做成的盒子的底面积为900㎝2时,试求该盒子的容积.
19．国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？
(2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于120万元，则有哪几种购车方案？
20．2024年7月24日以来，某县志愿者团队组织20辆汽车装运土豆，大白菜和黄瓜三种物资共100吨送达“对口支援”湖北省某县，每辆汽车运载每种物品的数量与每吨物品所需的运费如表：
种类 土豆 大白菜 黄瓜
汽车的运载量（吨/辆） 5 6 4
所需运费（元/吨） 120 140 100
已知装运大白菜的车辆数比装运土豆的车辆数的2倍还少4辆．设装运土豆的车x辆，志愿者团队运输物资的总费为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若装用黄瓜的车有9辆，求志愿者团队本次运输的总费用是多少？
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1．B
【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】方程变形得：x2﹣x=0，分解因式得：x（x﹣1）=0，可得：x=0或x﹣1=0，解得：x1=1，x2=0．
故选B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
2．B
【分析】先将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数性质即可求解．
【详解】解： ，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为45．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，将实际问题化为数学问题，并熟知二次函数的性质是解题关键．
3．B
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案．
【详解】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据题意可以分别表示出各段的函数解析式，从而可以明确各段对应的函数图象，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】解：由题意可得：
点到的过程中，、、三点不能够组成三角形，所以；
点到的过程中，；
点到的过程中，；
点到的过程中，，
由以上各段函数解析式可知，选项D正确，
故选：D．
5．C
【分析】首先设为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高x个2元,获得最大利润为y元,然后根据题意可得函数解析式:y=(10+2x)(100-10x),再利用配方法可求得当x取何值时,y最大,因为此题中x取整数,根据二次函数的性质即可求得答案.
【详解】设每床每晚收费应提高x个2元,获得利润为y元,
根据题意得:
y=(10+2x)(100-10x)
=-20x2+100x+1000
=-20(x-)2+1125,
∵x取整数,
∴当x=2或3时,y最大,
当时,每床收费提高6元,床位最少,即投资少,
∴为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元.
所以C选项是正确的.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意找出数量关系，列出二次函数关系式是解答本题的关键.
6．B
【分析】根据题意得抛物线经过点，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：根据题意得抛物线经过点，代入解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为，
故选：B．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定抛物线的解析式，理解题意是解题关键．
7．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．先证明是等边三角形，分别求出和的周长，再证明，
可求出的面积，即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，是一次函数；
如图，过点A作于点F，交于点G，则，

∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，是二次函数．
故选：D
8．A
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，即可解题．
【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.5左右，
∴随机从袋中摸出一个小球，摸到黄球的概率为．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．
9．D
【分析】根据二次函数的性质得出a，b的符号，即可得出①正确性，再利用图上点的坐标得出a，b关系，即可得出答案．
【详解】解：∵a＜0，ab异号，b＞0，
∴a-b＜0，故此选项①错误；
首先可以确定抛物线过点（12，0），（0，2.4）代入得：
144a+12b+c=0，c=2.4
得，b=-12a-，而b=-12a-＞0，
解得：a＜-，故此选项②正确；
∴综上所述，故此选项③错误；
另外，抛物线的对称轴的横坐标小于6 即-＜6，
a＜0 则b＜-12a 另外，
由图象可以看出ax2+bx+c=0有两个根，且满足x1+x2＞0，
则-＞0，而a＜0，所以b＞0，
因此 0＜b＜-12a，故此选项④正确；
故选D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，根据题意得出图象上的点进而得出a，b的关系是解决问题的关键．
10．C
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．先利用待定系数法求出的值，再求出点的坐标，由此即可得．
【详解】解：由题意可知，点的坐标为，
将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为，
当时，，
所以，
因为两人甩绳之手距地面的距离均为，
所以绳的最高点与地面之间的距离为，
故选：C．
11．
【分析】由抛物线开口方向和顶点坐标求解．
【详解】解∶，
抛物线开口向下，顶点坐标为，
抛物线最高点坐标为．
故答案为∶．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
12．y=2（x﹣3）2﹣2．
【分析】抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律，推出新抛物线的顶点坐标，根据顶点式可求新抛物线的解析式．
【详解】∵y=2x2的顶点坐标为（0，0），
∴把抛物线右平移3个单位，再向下平移2个单位，得新抛物线顶点坐标为（3，﹣2），
∵平移不改变抛物线的二次项系数，
∴平移后的抛物线的解析式是y=2（x﹣3）2﹣2．
故答案为y=2（x﹣3）2﹣2．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．
13．y=20(x+1)2
【详解】∵某工厂一种产品的年产量是20件，每一年都比上一年的产品增加x倍，
∴一年后产品是：20（1+x），
∴两年后产品y与x的函数关系是：y=20（1+x）2．
故答案为y=20（x+1）2.
【点睛】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍．
14．2.76
【分析】以拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立平面直角坐标系．根据题中数据求出抛物线解析式．桥下水面的宽度不得小于18米，即求当x=9时y的值，然后根据正常水位进行解答．
【详解】设抛物线解析式为y=ax2，
把点B（10，﹣4）代入解析式得：﹣4=a×102，
解得：a=﹣，
∴y=﹣x2，把x=9代入，得：
y=﹣=﹣3.24，
此时水深=4+2﹣3.24=2.76米．
故答案是：2.76.
【点睛】考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
15．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．依据题意，先求其解析式，再根据条件即可求出的取值范围．
【详解】解：，，
点的坐标为．
点，的坐标分别为，．
，
可设运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为．
又此时抛物线过，
．
．
运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为．
令，
．
或（舍去）．
．
该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，
当抛物线过点时，顶点为．
此时，把代入，得．
同理，当抛物线过点时，，
由点在之间得的取值范围为．
故答案为：．
16．．
【分析】根据已知条件求出与x轴的两个交点，设出交点式进行求解即可；
【详解】∵抛物线与x轴交于点，对称轴是直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为．
设抛物线的解析式为．
将点代入，得，解得．
∴抛物线的解析式为，即．
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的求解，准确计算是解题的关键．
17．当果园增种棵橙子树时，橙子的总产量最多，此时的总产量为个
【分析】平均每棵树结个橙子，假设果园增种棵橙子树，假设果园增种棵橙子树，平均每棵树结个橙子，可知现在有棵树，平均每颗产量为，由此即可求解．
【详解】解：有棵橙子树，平均每棵树结个橙子，假设果园增种棵橙子树，假设果园增种棵橙子树，增种后果园橙子的总产量为个，
∴，
∴当时，总产量为有最大值，其最大值为，
∴当果园增种棵橙子树时，橙子的总产量最多，此时的总产量为个．
【点睛】本题主要考查二次函数与实际问题的综合，分析题目意思，找出数量关系，列方程，掌握二次函数图像的性质特征是解题的关键．
18．（1）y=4x2-240x+3600；（2）该盒子的容积为13500cm3.
【分析】（1）先表示出盒子的正方形底面的边长，然后根据正方形的面积公式即可得出x，y的函数关系式；
（2）可将底面积代入（1）的式子中，求出高，然后根据底面积×高=容积，即可得出容积是多少．
【详解】（1）由题意可得y=(60-2x)2=4x2-240x+3600；
（2）当y=900时(60-2x)2 =900
∴60-2 x=±30
∴x1=15 x2=45
∵x2=45不符合题意∴x=15，
∴该盒子的容积为900×15=13500 （cm3），
答：该盒子的容积为13500cm3.
故答案为（1）y=4x2-240x+3600；（2）该盒子的容积为13500cm3.
【点睛】本题考查正方形的面积公式的运用，一元二次方程的解法，长方体容器的容积的运用，解答时求出容器的高是解题的关键．
19．(1)每辆A型车的售价为18万元，B型车的售价为26万元
(2)共有3种购车方案，方案1：购进2辆A型车，4辆B型车；方案2：购进3辆A型车，3辆B型车；方案3：购进4辆A型车，2辆B型车．
【分析】（1）设每辆A型车的售价为x万元，B型车的售价为y万元，根据题意列二元一次方程组进行求解即可；
（2）设购进m辆A型车，则购进 辆B型车，根据题意列不等式组进行求解即可．
【详解】（1）解：设每辆A型车的售价为x万元，B型车的售价为y万元，
依题意得：，
解得：．
答：每辆A型车的售价为18万元，B型车的售价为26万元．
（2）设购进m辆A型车，则购进 辆B型车，
依题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为2，3，4，
∴共有3种购车方案，
方案1：购进2辆A型车，4辆B型车；
方案2：购进3辆A型车，3辆B型车；
方案3：购进4辆A型车，2辆B型车．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用．解题的关键是正确地列出方程组和不等式组．
20．（1）y＝6240+1080x；（2）志愿者团队本次运输的总费用是11640元．
【分析】（1）装运黄瓜的车为[20﹣x﹣（2x﹣4）]辆，根据三种救灾物资共100吨列出关系式；
（2）先求出x的值，代入函数关系式中可求解．
【详解】解：（1）由题意可得：装运土豆的车x辆，装运土豆的车为（2x﹣4）辆，则装运黄瓜的车辆数为[20﹣x﹣（2x﹣4）]辆，
∴y＝120×5x+140×6×（2x﹣4）+100×4×[20﹣x﹣（2x﹣4）]＝6240+1080x；
（2）∵[20﹣x﹣（2x﹣4）]＝9，
∴x＝5，
∴y＝6240+1080×5＝11640（元），
答：志愿者团队本次运输的总费用是11640元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是关键．
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