人教版2024-2025学年九年级数学上册第二十二章22.3实际问题与二次函数同步练习【培优版】（含答案解析）

22.3实际问题与二次函数同步练习【培优版】
学校:___________ 姓名：___________ 班级：__________
一、单选题
1．将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．一个跳水运动员从10m高台上跳水，他每一时刻所在高度（单位：m）与所用时间（单位：s）的关系是：h＝﹣5（t﹣2）（t+1），则运动员起跳到入水所用的时间是（　　）
A．﹣5s B．2s C．﹣1s D．1s
3．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h =﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（ ）
A．2米 B．5米 C．6米 D．14米
4．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为（　　）
A． B． C． D．
5．据安徽省统计局公布的数据，初步核算2023年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2025年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
6．小明晚饭后出门散步，从家点O出发，最后回到家里，行走的路线如图所示．则小明离家的距离h与散步时间t之间的函数关系可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，小强在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮筐底的距离是（ ）
A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m
8．如图，当某运动员以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．下列结论不正确的是（ ）
A．小球从飞出到落地要用
B．小球飞行的最大高度为
C．当小球飞出时间从到时，飞行的高度随时间的增大而减小
D．当小球飞出时间从到时，飞行的高度随时间的增大而减小
9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额（元）与降价（元）的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，，于点G，点D为BC边上一动点，交射线CA于点E，作关于DE的轴对称图形得到，设CD的长为x，与重合部分的面积为y．下列图象中，能反映点D从点C向点B运动过程中，y与x的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．二次函数的顶点坐标 ．
12．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元（20≤x≤40，且x为整数）出售，可卖出（40﹣x）件，若要使利润最大，则每件商品的售价应为 元．
13．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为 ．
14．根据牛顿发现的有关自由落体运动的规律，我们知道竖直向上抛出的物体，上升的高度h（m）与时间t（s）的关系式为，一般情况下，g=9.8m/s2．如果=9.8m/s，那么经过 s竖直向上抛出的小球的上升高度为4.9m．
15．如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA为，拱桥的最高点B到水面OA的距离为．则抛物线的解析式为 ．
三、解答题
16．如图，从某建筑物的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），点A离地面的高度为6米，抛物线的最高点P到墙的垂直距离为2米，到地面的垂直距离为8米，如图建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求水落地离墙的最远距离OB．
17．商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．
（1）若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？
（2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？
18．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为．
(1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？
(2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积．
19．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发出的乒乓球的运动路线是固定不变的，在乒乓球运行时，设乒乓球与发球机的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下数据：
x（米） … 0 0.4 0.8 1 2 3.2 …
y（米） … 1 1.08 1.12 1.125 1 0.52 …
（1）把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数解析式，并求出函数关系式；
（2）乒乓球经发球机发出后，最高点离地面多少米？
（3）当球拍触球时，球离地面的高度为米．
①此时发球机与球的水平距离；
②现将发球机向后平移了0.4米，为确保球拍在原位置接到，发球机需调高多少米？
20．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为，点B在抛物线上．
(1)点A的坐标为____________，点B的坐标为____________；
(2)抛物线的解析式为____________；
(3)设（2）中抛物线的顶点为D，求的面积；
(4)在抛物线上是否还存在点点B除外)，使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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1．A
【分析】将抛物线化成顶点式，根据“左+右-，上+下-”的平移法则平移即可．
【详解】解：，
将抛物线向上平移2个单位长度，可得，
故选：A．
【点睛】本题考查函数平移，掌握函数平移法则，并准确将抛物线一般式化成顶点式是解决问题的关键．
2．B
【分析】根据每一时刻所在高度（单位：m）与所用时间（单位：s）的关系是：h＝ 5（t 2）（t＋1），把h＝0代入列出一元二次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设运动员起跳到入水所用的时间是xs，
根据题意可知：﹣5（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x1＝﹣1（不合题意舍去），x2＝2，
那么运动员起跳到入水所用的时间是2s．
故选B．
【点睛】本题考查解一元二次方程，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
3．C
【分析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h =﹣5t2+20t﹣14的顶点纵坐标即可．
【详解】高度h和飞行时间t 满足函数关系式：h =﹣5t2+20t﹣14，
当时，小球距离地面高度最大，
米，
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的应用，解题关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果．
4．D
【分析】根据二次函数的图象与性质解题．
【详解】解：依题意，令得，
得，
解得（舍去）或，
即小球从飞出到落地所用的时间为，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
5．D
【分析】根据2023年安徽省生产总值=2021年安徽省生产总值×列函数表达式即可．
【详解】解：根据题意，y关于x的函数表达式是，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，找到等量关系是解答的关键．
6．C
【分析】可将小明的运动过程分成三段，O点到A点，A点到B点，B点到O点，然后分析每段运动过程对应的图像，并作出选择．
【详解】解：如图可将小明的运动过程分成三段，O点到A点，A点到B点，B点到O点，
当小明由O点到A点时：h随着t的增加而增加，
当小明由A点到B点时：随着t的增加h不变，
当小明由B点到O点时：h随着t的增加而减小，
所以函数图像变化趋势为，先增加，再不变，最后减小，
故C选项与题意相符，
故选：C．
【点睛】本题考查根据实际问题分析与之对应的函数图像，能够将实际问题进行分段分析，并将每一段对应的函数图像画出是解决本题的关键．
7．D
【分析】由题意得，当时，即，求出，由于篮圈中心在轴的右侧，所以，从而可求出小强与篮筐底的距离．
【详解】解：球的运动路线是抛物线的一部分，篮圈中心在轴的右侧，高度为3.05m，
令，则，
解得：，
篮圈中心在轴的右侧，
，
，
小强与篮筐底的距离为：m，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据求出的值，再根据篮圈中心在轴的右侧确定的具体值是解题的关键，解答本题需采用数形结合的思想．
8．C
【分析】根据解析式，令，解方程，即可判断A，将解析式化为顶点式，进而即可求解．
【详解】解：由题意，，令，即，
解得：，
∴小球从飞出到落地要用，故A正确，不符合题意；
∵，最大值为，故B正确，符合题意；
∴对称轴为直线，开口向下，当时，飞行的高度随着时间的增大而增大，故C错误，不符合题意；
当时，飞行的高度随时间的增大而减小，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
9．B
【分析】根据让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，求得销售量为，根据售价乘以销量得出销售额，据此即可求解．
【详解】解：依题意，每星期的销售额（元）与降价（元）的函数关系为，
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
10．A
【分析】根据等腰三角形的性质可得，由与关于DE对称，即可求出当点F与G重合时x的值，再根据分段函数解题即可．
【详解】解：，，，
与关于DE对称，
．当点F与G重合时，，即，，当点F与点B重合时，，即，，
如图1，当时，，∴B选项错误；
如图2，当时，，∴选项D错误；
如图3，当时，，∴选项C错误．
故选A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象问题，根据几何知识求出函数解析式是解题的关键．
11．
【分析】先把一般式配成顶点式，然后利用二次函数的性质解决问题．
【详解】解：∵二次函数
∴顶点坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，化一般式为顶点式是解题的关键，二次函数顶点式的顶点坐标为．
12．30．
【分析】设商品所获利润为w元，先根据“利润（售价进价）销售量”得出w与x的关系式，再根据二次函数的性质求解即可得．
【详解】设商品所获利润为w元
由题意得：
由二次函数的性质可知，当时，w随x的增大而增大；当时，w随x的增大而减小
则当时，w取得最大值，最大值为100元
故每件商品的售价应为30元
故答案为：30．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，依据题意，正确建立函数关系式是解题关键．
13．2
【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果．
【详解】解：由题意得修改后的花园面积，
∵，
∴当时，修改后的花园面积达到最大，
故答案为：2．
14．1
【分析】把h＝4.9代入关系式，解关于t的一元二次方程求出t的值即可．
【详解】解：当h=4.9时，即，
解得：，
即经过1s竖直向上抛出的小球的上升高度为4.9m，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答时灵活运用一元二次方程的解法是关键．
15．
【分析】根据题意得到顶点B的坐标为(6，6)，设抛物线解析式为y=a（x-6）2+6，将点O（0,0）代入，求出a即可得到函数解析式．
【详解】根据题意可知：顶点B的坐标为(6，6)，
∴设抛物线解析式为y=a（x-6）2+6，将点O（0,0）代入，
36a+6=0，
解得a=，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：．
【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，根据实际问题得到图象上点的坐标，设定函数解析式是解题的关键．
16．(1)
(2)6米
【分析】（1）根据题意可知该抛物线顶点坐标，且经过点A（0，6），即可设抛物线的解析式为，再将A（0，6）代入，求出a即可；
（2）对于该抛物线解析式，令y=0，求出x的值即可．
【详解】（1）由题意可知抛物线的顶点坐标为（2，8），且经过点A（0，6），
∴设抛物线的解析式为，
把A（0，6）代入得，
解得：，
∴．
（2）令，得，
解得：，（舍去），
∴水落地离墙的最远距离为6米．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意，利用待定系数法求出解析式是解答本题的关键．
17．（1）20元；（2）降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利2500元．
【分析】（1）先设未知数：设每件衬衫应降价x元，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，根据“利润＝销售的数量每件的盈利”，列方程可求得；
（2）设利润为w元，列出w的表达式，再利用二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）设每件衬衫应降价x元
由题意得：
整理得：，即
解得：或
因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存
所以
答：每件衬衫应降价20元；
（2）设每件衬衫应降价x元时，平均每天利润为w元，则
由题意得：
由二次函数的性质可知：当时，w随x的增大而增大；当时，w随x的增大而减小
则当时，w有最大值为2500元
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利2500元.
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的实际应用、二次函数的性质，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键.
18．(1)AB的长为
(2)AB为时，花圃面积最大，花圃的最大面积为
【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题．
（1）根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）根据题意得到，根据函数的性质以及自变量的取值范围求函数最值．
【详解】（1）解：根据题意得，，
解得，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去，
∴当的长为时，花圃的面积为；
（2）解：花圃的面积，
而由题意：，
即，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时面积最大，最大面积为．
19．（1）y＝﹣x2+x+1；（2）米；（3）①3米；②0.22米
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）运用对称性或配方法计算二次函数的顶点坐标的纵坐标即可；
（3）①球离地面的高度为米时发球机与球的水平距离，就是当y＝时，对应的x的值，代入解方程即可；
②先设发球机需调高m米，发球机向后平移了0.4米，就是相当于将抛物线向左平移了0.4米，表示出新的抛物线的解析式，将（3，）代入即可求出m的值．
【详解】解：（1）描点如下：
观察图形发现是二次函数，设y＝ax2+bx+c，
把（0，1）、（1，1.125）、（2，1）代入得：，
解得：，
则解析式为：y＝﹣x2+x+1；
（2）由图表得：当x＝0或2时，y＝1，
对称轴为：直线x＝＝1，
当x＝1时，y＝，
∵a＝﹣＜0，y有最大值，是，
∴乒乓球经发球机发出后，最高点离地面米；
（3）①当y＝时，﹣（x﹣1）2+＝，
（x﹣1）2﹣9＝﹣5，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
x1＝3，x2＝﹣1（舍去），
则此时发球机与球的水平距离为3米；
②设发球机需调高m米，
y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣1）2+，
平移后得：y＝﹣（x﹣1+0.4）2++m，
由题意得（3，）仍在平移后的抛物线上，
所以把（3，）代入得：﹣（3﹣1+0.4）2++m＝，
解得m＝0.22，
答：发球机需调高0.22米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，求出函数解析式是解题关键．
20．(1)；
(2)
(3)
(4)点的坐标为与
【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，即可得出点的坐标，再求出、的长即可求出的坐标；
（2）把点的坐标代入抛物线的解析式，求出的值，即可求出抛物线的解析式；
（3）先求出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，然后求出的长，再根据进行计算即可；
（4）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：
①若以点为直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，过点作轴，由全等三角形的判定定理可得，再由全等三角形的对应边相等可得出点点的坐标；
②若以点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，过点作轴，同理可证，由全等三角形的性质可得出点的坐标；点、的坐标代入抛物线的解析式进行检验即可．
【详解】（1）解： ，，
，
；
过点作轴，垂足为，
，，，
在与中，
，
，
，，
，
的坐标为，
故答案为：；；
（2）把代入得：
，
解得，
抛物线解析式为：．
故答案为：；
（3）由（2）中抛物线的解析式可知，抛物线的顶点，
设直线的关系式为，将点、的坐标代入得：
，
解得．
的关系式为．
设直线和轴交点为，则点，．
；
（4）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：
①若以点为直角顶点；
则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，
过点作轴，
，，，
△．
，，
；
②若以点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，
过点作轴，同理可证，
，，
，
经检验，点与点都在抛物线上，
故点的坐标为与．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到全等三角形的判定定理、用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
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