人教版2024-2025学年九年级数学上册第二十二章22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质同步练习[基础版]（含答案解析）

22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质同步练习【基础版】
学校:___________ 姓名：___________ 班级：__________
一、单选题
1．抛物线的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
2．A（﹣2，y1）、B（1，y2）是抛物线y＝x2+2上的两点，则y1，y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y2＞y1 D．无法判断
3．在下列抛物线中，开口最小的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列说法错误的是（ ）
A．抛物线y=﹣x2+x的开口向下
B．两点之间线段最短
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．一次函数y=﹣x+1的函数值随自变量的增大而增大
5．某商场降价销售一批名牌球鞋，已知所获利润y（元）与降价金额x（元）之间满定函数关系式y＝﹣x2＋50x＋600，若降价10元，则获利为（ ）
A．800元 B．600元 C．1200元 D．1000元
6．从﹣2，3，4，5中随机选取一个数作为二次函数中a的值，则抛物线开口向下的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
7．下列关于二次函数，下列说法正确的是（ ）．
A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是
C．当时，随的增大而增大 D．当时，有最小值是3
8．如图，在矩形中，，则D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，点都在函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ）
A．4 B． C．2 D．
二、填空题
11．抛物线的顶点坐标是 ．
12．如果抛物线的开口向上，那么k的取值范围是 ．
13．抛物线 开口 ，顶点坐标是 ，当x 0时，．
14．当 时，函数是关于的二次函数．
15．如图，已知点M（p，q）在抛物线y＝x2－1上，以M为圆心的圆与x轴交于A、B两点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x2－2px＋q＝0的两根，则弦AB的长等于 .
三、解答题
16．已知函数．
（1）当为何值时，这个函数是关于的一次函数；
（2）当为何值时，这个函数是关于的二次函数．
17．画函数的图象．
18．已知抛物线经过点．
(1)求a的值；
(2)当时，求y的值．
19．已知函数是二次函数，求m的值．
20．某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 0 a -2 -3 -2 -1 0 b 2 …
(1)①表中a的值为 ，b的值为 ；
②以每组对应值作为一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出表中的所有点，并按照自变量从小到大的顺序连线，画出该函数的图象，并观察图象，发现函数的最小值为 ；
(2)在函数的图象所在坐标系中，作的图象，交的图象于点A，B（A在B的左侧），并观察图象，直接写出下列结果：
①方程组的解为 ；
②不等式的解集为 ．
21．（1）已知是y关于x的二次函数．求m的值；
（2）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点及点

①求二次函数的解析式及B的坐标
②根据图象，直按写出满足的x的取值范围
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1．A
【分析】根据抛物线的图象和性质，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的图象得对称轴为y轴，顶点坐标为原点，开口向上，
∴抛物线的图象一定经过第一、二象限．
故选：A
【点睛】本题主要查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
2．A
【分析】将点A，点B坐标代入解析式可求解．
【详解】∵，是抛物线上的两点，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是本题的关键．
3．C
【分析】由二次函数中a的绝对值越大，抛物线开口越小求解．
【详解】解：二次函数中a的绝对值越大，抛物线开口越小，
∵
∴的开口最小，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
4．D
【详解】试题分析：根据二次函数的性质，线段的性质，角平分线的性质，一次函数的性质逐一作出判断：
A、由于a=﹣1＜0，则抛物线开口向下，所以A选项的说法正确；
B、两点之间线段最短，所以B选项的说法正确；
C、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以C选项的说法正确；
D、当k=﹣1，y随x的增大而减小，所以D选项的说法错误．
故选D．
考点：1.二次函数的性质；2.线段的性质；3.角平分线的性质；4.一次函数的性质．
5．D
【分析】将代入函数关系式即可得．
【详解】解：将代入得：，
即获利为1000元，
故选：D．
【点睛】本题考查了求函数的函数值，熟练掌握函数值的求法是解题关键．
6．C
【分析】根据二次函数开口方向向下时得到，再根据概率计算公式计算即可；
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∴在﹣2，3，4，5中符合条件的是，
∴概率是．
故选C．
【点睛】本题主要考查了概率公式和二次函数的图像性质，准确计算是解题的关键．
7．D
【分析】根据二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】∵的一次项系数大于0
∴函数开口向上，故选项A错误；
∵的顶点坐标为 ，即最小值为3
∴选项B错误，选项D正确；
的对称轴为
当时，随的增大而减小
∴选项C错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．
8．D
【分析】先根据A、B的坐标求出AB的长，则CD=AB=6，并证明轴，同理可得轴，由此即可得到答案．
【详解】解：∵A（-3，2），B（3，2），
∴AB=6，轴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，轴，
同理可得轴，
∵点C（3，-1），
∴点D的坐标为（-3，-1），
故选D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键．
9．D
【分析】根据抛物线的对称轴为轴，图象开口向上，又由时，则有，三点都在对称轴左边，最后根据随的增大而减小，由此可判断，，的大小关系．
【详解】∵当时，，而抛物线的对称轴为轴，开口向上，
∴三点都在对称轴的左边，随的增大而减小，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，正确理解题意得到是解题的关键．
10．B
【分析】先求出点A、B的坐标由此得到AB的长，由此得到CD的长，点D的坐标，代入解析式即可得到答案．
【详解】解：如图，设直线AB交y轴于点E，
∵直线与二次函数交于A、B，
∴当时， ，得，
∴，
∴,
∵，
∴CD=4，
由二次函数的对称性可得CE=DE=2，
∴D（2，2），
将点D的坐标代入，得8a=2，
解得a=，
故选：B．
【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点，正确掌握二次函数图象的对称性、图象上点的坐标特点是解题的关键．
11．
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【详解】抛物线的顶点坐标是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出顶点式是解题关键．
12．
【分析】由题意根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数进而可得答案．
【详解】解：因为抛物线的开口向上，
所以，即，
故k的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答此题要掌握二次函数图象的特点．
13． 向下
【分析】本题考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性与最值的问题．
根据二次函数的性质即可得出结论．
【详解】解：，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，．
故答案为：向下，，．
14．
【分析】根据二次函数的定义可得且根据上式计算即可得到答案．
【详解】是关于的二次函数
且
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的知识，熟练掌握二次函数的二次项系数不为零是解题关键
15．2
【详解】M（p，q）在抛物线y=x2-1上，
故有q=p2-1，即p2-q=1；
设A，B两点的横坐标为m、n；
则有m+n=2p，mn=q；
而弦AB的长的等于|m-n|
故|m-n|2=（m+n）2-4mn=4p2-4q=4（p2-q）=4．
∴|m-n|=2
故答案为2．
16．（1）；（2）且．
【分析】（1）根据一次函数的定义列出不等式组，然后求解即可；
（2）根据一次函数的定义列出不等式，然后求解即可．
【详解】解：（1）∵函数是一次函数，
∴，解得：．
即当时，这个函数是关于的一次函数．
（2）函数是二次函数，
∴，解得：且．
即当且时，这个函数是关于的二次函数．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解答本题的关键．
17．答案见详解．
【分析】利用列表、描点、连线的方法作出函数的图象即可．
【详解】解：列表：
描点、连线如下图所示：
【点睛】本题考查了图象的作法，比较简单，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式和求二次函数的函数值：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当时，y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入中得：，
∴；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为，
在中，当时，．
19．
【分析】根据形如函数是二次函数，可得答案．
【详解】解：由题意：，
解得，
∴时，函数 是二次函数．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．
20．(1)①-1，1；②详见解析，-3
(2)①，；②-3＜x＜3
【分析】（1）①根据表格的数值变化解答即可；
②利用描点法画函数图象，根据函数图象得到最值；
（2）①画出图象，方程组的解即为函数图象的交点，根据图象解答即可；
②不等式的解集即为函数的图象在的图象的下方，根据图象直接确定解集．
【详解】（1）①由表格知，当x=-2时与x=0时的函数值都为-2；x=-4与x=2时的函数值都为0，
故x=-3时与x=1时的函数值应相等都为-1，即a=-1，
当x>-1时，当自变量每扩大1时，函数值对应增加1，故b=1，
故答案为：-1，1；
②如图所示，函数的最小值为-3；
故答案为-3；
（2）①由图象知，A（-3，-1），B（3，1），
∴方程组的解为，；
故答案为：，；
②由图象知，不等式的解集为-3＜x＜3．
故答案为：-3＜x＜3．
【点睛】此题考查了画函数图象，列表法表示函数关系，二元一次方程组与一次函数图象交点问题，一元一次不等式与函数图象的关系，正确理解表格得到函数图象是解题的关键．
21．（1）；（2）①二次函数的解析式是，点B的坐标是（4，3）；②
【分析】（1）根据二次函数的定义可得，进一步即可求出结果；
（2）①把点代入即可求出m，进而可得二次函数的解析式，把点B坐标代入抛物线的解析式可得关于n的方程，解方程即可求出n，进一步可得点B坐标；
②所求结果即为直线比抛物线高的部分图象对应的x的取值范围，据此解答即可．
【详解】解：（1）由题意得：，解得：；
（2）①把点代入，得，解得：，
∴二次函数的解析式是，
当y=3时，，解得：n=0（舍去）或n=4，
∴点B的坐标是（4，3）；
②由图象可得：满足的x的取值范围是：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义、二次函数图象上点的坐标特征、两个函数的交点、一元二次方程的解法和二次函数与不等式的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
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