人教版2024-2025学年九年级数学上册第二十二章22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质同步练习[培优版]（含答案解析）

22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质同步练习【培优版】
学校:___________ 姓名：___________ 班级：__________
一、单选题
1．二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是x轴 D．顶点都是原点
3．若二次函数y＝ax2的图像过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（　　）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（2，﹣4） D．（4，﹣2）
4．对于抛物线，若y的最小值是5，则（ ）
A． B． C．5 D．
5．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到新抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
6．在二次函数：①；②；③中，图像开口大小顺序用序号表示为（ ）
A． B． C． D．
7．关于函数y＝x2，下列说法不正确的是( )
A．当x＜0时，y随x增大而减小 B．当x≠0时，函数值总是正的
C．当x＞0时，y随x增大而增大 D．函数图象有最高点
8．已知函数经过A（m，）、B（m 1，），若．则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．一次函数（k，b为常数）的图像经过点P（－2，－1）且y随着x的增大而减小，则该图像不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．已知函数，若则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有最小值 B．当时，无最大值
C．当时，有最小值 D．当时，有最大值
二、填空题
11．抛物线y=-x2的对称轴是 ，顶点坐标是 ．
12．已知点、是抛物线上相异两点，且，当时，函数值 .
13．已知关于x的二次函数的图象经过原点，则m= ，当x 时，y随x的增大而增大．
14．二次函数的图像以x轴为对称轴翻折，翻折后它的函数解析式是 ．
15．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，求当线段长取最小值时，则的面积为 ．

三、解答题
16．已知二次函数，当时，，时，．
(1)求a，c的值．
(2)当时，求函数y的值．
17．如图是一个二次函数的图象，顶点是原点，且过点．求出二次函数的解析式．

18．函数与直线交于点
(1)求，的值；
(2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？
19．方程x2﹣kx+k﹣2＝0有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜1，2＜x2＜3，求k的取值范围．
20．（1）已知y=（m2+m）+（m﹣3）x+m2是x的二次函数，求出它的解析式．
（2）用配方法求二次函数y=﹣x2+5x﹣7的顶点坐标并求出函数的最大值或最小值．
21．已知关于x的一元二次方程．
（1）请判断该方程实数根的情况；
（2）若原方程的两实数根为，，且满足，求p的值．
22．直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线经过点A、点B．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)根据图象直接写出的解集；
(3)将点B向右平移4个单位长度得到C，若拋物线与线段BC恰好有一个交点，求m的取值范围．
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1．A
【分析】根据二次函数的图像和性质，逐一判断图像即可．
【详解】解：的图像是一条过原点，开口向上的抛物线，
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像与二次函数的系数的关系是解题的关键．
2．D
【分析】根据二次函数的性质，可以分别写出题目中抛物线的开口方向，最值、对称轴和顶点坐标，从而可以解答本题．
【详解】解：抛物线的开口向上，有最小值，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；
抛物线的开口向下，有最大值，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；
抛物线的开口向上，有最小值，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．A
【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
【详解】二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，
若图象经过点P（-2,4）
则该图象必经过点（2,4）．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数．图象的对称轴为y轴是解题的关键
4．A
【分析】本题主要考查了抛物线的性质，确定，问题随之得解．
【详解】∵，且，
∴，
∵y的最小值是5，
∴，
∴，
故选：A．
5．C
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，根据该顶点坐标写出新抛物线解析式即可．
【详解】解：抛物线，它的顶点坐标是．
将其向右平移2个单位，再向下平移1个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是，
所以新抛物线的解析式是：．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．C
【分析】根据二次函数的性质可得，的绝对值越大，开口越小，求解即可．
【详解】解：二次函数：①；②；③中
，，
∵，，，即
∴①的开口小于③的开口小于②的开口，
即，
故选：C
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握的绝对值越大，开口越小．
7．D
【详解】试题分析：分析函数y＝x2的函数图像，a>0，所以开口向上，图像无最高点，有最低点，最低点为（0,0），所以当x≠0时，函数值总是正的；b=0,c=0所以对称轴为y轴，当x＜0时，y随x增大而减小，当x＞0时，y随x增大而增大；故选D.
8．B
【分析】由图像开口向下，对称轴为y=0知，要使，需使A点更靠近对称轴y轴，由此列出关于m的不等式解之即可 ．
【详解】解：∵图像开口向下，对称轴为y=0且
∴，下面解此不等式．
第一种情况，当m＜0时，得，解得m＜0；
第二种情况，当时，得，解得；
第三种情况，当时，得，解得，无解；
综上所述得．
故选：B．
【点睛】此题考查二次函数的图像与性质，比较图像上两点的函数值．其关键是，当二次函数开口向下时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越大；当二次函数开口向上时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越小．
9．A
【分析】根据题意分别求得和，再进行判断即可．
【详解】∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∵一次函数中y随着x的增大而减小，
∴，
∴，
∵，，
∴该图像不经过的象限是第一象限，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了一次函数的问题，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，画出函数图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可．
【详解】解：画出函数图象如图：

由图可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，，
当时，即：，
∴，
∴，当的值越小，越小，无限接近0，但不等于0，即没有最小值，
当时，，
当时，，
当时，，
时，，当，时，的值最大，为，
综上：当时，有最大值，无最小值，
故选项A，B错误；
当时，，
当时，即：，
∴当越小时，的值越大，即没有最大值，
当时，，
当时，；
当时，，
当时，和的函数值相同时，的值最小，
综上：当，有最小值，无最大值；
故选项C正确，D错误．
故选C．
11． y轴 (0，0)
【分析】形如y=ax2的抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为原点．
【详解】解：抛物线y=-x2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．
故答案为：y轴；（0，0）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，对于二次函数，它的对称轴是y轴，顶点是原点．
12．
【分析】函数值相同的相异两点关于对称轴对称，故＝0即为二次函数对称轴．此时，可求函数y的值．
【详解】∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）是抛物线y＝2x2 1上关于对称轴对称的两点，
∴=0，
∴y＝2x2 1＝2×02 1＝ 1．
故答案为 1．
【点睛】本题考查二次函数图象的对称性，解题的关键是利用了二次函数图象的对称性．
13． 1 ＞0
【分析】由二次函数图象经过原点可知＝0，解方程求出m的值，再根据二次项系数不为0可得m＝ 1，二次函数解析式为，再根据解析式确定增减性．
【详解】解：∵二次函数的图象经过原点，
∴＝0，
解得：＝ 1，＝2，
又∵m 2≠0，
∴m≠2，
∴m＝ 1，
∴二次函数解析式为，
∵ 3＜0，
∴抛物线开口向下，
又∵抛物线对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x增大而减小．
故答案为： 1，＞0．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，二次函数的图象和性质，关键是根据已知条件求出m的值，根据二次项系数不为0，舍去不合题意的m的值．
14．
【分析】把抛物线翻折后二次函数图像形状不变，开口相反，则a相反即可求解.
【详解】由题意得二次函数图像形状不变，开口相反，则a相反，故翻折后它的函数解析式为y= 2x2，
故答案为：y=-2x2
【点睛】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数有关性质是解答此题的关键．
15．2
【分析】联立，求得，，根据，根据偶次幂的性质，进行解答，即可．
【详解】解：∵直线与抛物线交于、两点，
∴，
整理得：，
解得：，，
∴，即，
，即，
∵，
当时，即轴时，有最小值，
∴，
∵直线与y轴的交点为，
∴；
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，两点间的距离公式．
16．(1)
(2)21
【分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值；
（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）将代入解析式，求出函数y的值即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，解得：，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，
∴当时，．
17．
【分析】根据顶点是原点，可设二次函数的解析式为，把点代入求出完整解析式即可．
【详解】解：∵二次函数的图象，顶点是原点，
∴设二次函数的解析式为，
∴把点代入得，
解得：，
∴二次函数的解析式为．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，根据顶点是原点，设二次函数的解析式为是解题的关键．
18．(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）把已知点代入直线解析式求得，再代入抛物线解析式即可求得；
（2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，即可求得答案．
【详解】（1）解：把代入可得：
点的坐标为
把代入可得：
，；
（2）解：由（1）可得，
抛物线开口向下，且对称轴为轴，
当时，随的增大而增大．
19．2＜k＜3.5．
【分析】由于方程x2-kx+k-2=0有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜1，2＜x2＜3，根据一元二次方程与二次函数的关系可画出二次函数y=x2-kx+k-2的图象，根据图象得到当x=0，y=k-2＞0；当x=1，y=1-k+k-2＜0；当x=2，y=4-2k+k-2＜0；当x=3，y=9-3k+k-2＞0，求出几个不等式解的公共部分即可得到k的取值范围．
【详解】∵方程x2-kx+k-2=0有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜1，2＜x2＜3，
∴二次函数y=x2-kx+k-2如图所示，
∴x=0，y=k-2＞0；x=1，y=1-k+k-2＜0；x=2，y=4-2k+k-2＜0；x=3，y=9-3k+k-2＞0，
而△=k2-4（k-2）=（k-2）2+4＞0，
∴2＜k＜3.5，
即k的取值范围为2＜k＜3.5．
【点睛】此题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程与二次函数的关系，解题关键在于掌握当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根.
20．（1）（2）顶点坐标为：（， ﹣），有最大值为：﹣．
【分析】（1）直接利用二次函数的定义得出等式求出即可；
（2）利用配方法求出其顶点坐标即可．
【详解】(1)由题意可得：
解①得：
由②得：m≠0且m≠ 1，
∴m=3，
∴
(2)
顶点坐标为：，有最大值为：
【点睛】考查了二次函数的定义以及配方法求二次函数的顶点坐标，熟练应用配方法是解题的关键．
21．（1）总有两个实数根；（2）p＝﹣2或4．
【分析】（1）将一元二次方程转化为一般形式，计算根的判别式，变形，判断符合即可；
（2）根据一元二次方程根与系数关系，得到两根之和，两根之积，代入，解关于p的方程即可．
【详解】（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p＝0．
∵△＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p）
＝25﹣24+4p2+4p＝4p2+4p+1＝（2p+1）2
∵无论p取何值，（2p+1）2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
（2）由一元二次方程根与系数关系知：x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2﹣p
∵x12+x22＝3p2+5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3p2+5，
即52﹣2（6﹣p2﹣p）＝3p2+5，∴p2﹣2p﹣8 =0
解得：p＝﹣2或4．
∴p＝﹣2或4．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．熟记根的判别式符号与方程根的个数关系，根与系数关系是解题关键．
22．(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）求出A、B的坐标，再代入二次函数解析式，即可求解；
（2）将所求表达式变形为，结合函数图象进行求解即可；
（3）求出C点坐标，当时，，解得，当时，，解得，则时抛物线与线段BC有一个交点，利用根的判别式进行求解即可．
【详解】（1）令，则，
∴，
令，则，
∴，
将A、B点代入，
∴，
解得，
∴；
（2）∵，
∴，
∵与的交点为，，
∴当或时，；
（3）∵将点B向右平移4个单位长度，
∴，
∵抛物线与线段BC恰好有一个交点，
∴当时，，即，解得，
当时，，即，解得，
∴；
当时，，即，
此时抛物线与线段BC有一个交点；
综上所述：或时，抛物线与线段BC有一个交点．
【点睛】本题是二次函数的综合题目，涉及一次函数与坐标轴的交点坐标，待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
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