人教版2024-2025学年九年级数学上册第二十二章22.1.3y=a（x-h）2k的图象与性质同步练习[基础版]（含答案解析）

22.1.3y=a（x-h）2 k的图象与性质同步练习【基础版】
学校:___________ 姓名：___________ 班级：__________
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
2．若二次函数y＝x2+bx+5配方后为y＝（x﹣3）2﹣4，则b的值分别为（　 　）
A．5 B．6 C．﹣6 D．6
3．把二次函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位所得图象的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
4．二次函数y=x2﹣4x+7的最小值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
5．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为2 B．最小值为2 C．最大值为1 D．最小值为1
6．已知点A（－1，y1）、B（－2，y2）、C（3，y3）在函数y＝ax2(a>0)的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　 ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1
7．在平面直角坐标系中，如果把抛物线向右平移3个单位长度得到一条新抛物线，下列关于这两条抛物线的描述不正确的是（ ）
A．开口方向相同 B．对称轴不同
C．顶点的横坐标相同 D．顶点的纵坐标相同
8．抛物线，函数顶点横坐标与纵坐标之和是（ ）
A．1 B．2 C．0 D．1
9．规定表示不大于的最大整数，例如，，．那么函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
10．小明研究二次函数（m为常数）性质时，得出如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝x－1上；②存在两个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，若，，则；④当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为．其中错误结论的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题
11．二次函数的最小值是 ．
12．先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做 ．
13．已知二次函数的图象经过点．当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
14．已知关于x的一次函数y＝kx＋4k－2(k≠0)．若x＝1，y＝8，则k＝ ．
15．如图，将已知抛物线向右平移2个单位得到抛物线的图象，则阴影部分（抛物线向右平移时在x轴下方扫过的部分）的面积为 ．
三、解答题
16．已知二次函数的图象经过点．
(1)求a的值．
(2)求抛物线与直线的交点坐标，并直接写出时，对应的自变量x的取值范围．
17．某校项目化学习小组研究“自制弹簧测力计”的课题，需先了解在弹性限度内，弹簧长度与所挂物体质量的关系，并后根据实验数据制作弹簧测力计．经过测量，他们得到一组数据如下表：
物体 1 2 3 4 5
弹簧长度 16 17 18 19 20
(1)在直角坐标系中画出以表中各对x与y的对应值为坐标的各点，观察这些点是否在同一直线上．
(2)求出y关于x的函数表达式．
(3)在弹性限度内，当弹簧长度是时，所挂物体质量是多少kg？
18．已知二次函数．
(1)将写成的形式，并写出它的顶点坐标；
(2)当时，直接写出函数值y的取值范围；
(3)该二次函数的图象与直线有两个交点，，若，直接写出n的取值范围．
19．某商店销售一种产品，该产品成本价为元/件，售价为元/件，销售人员对该产品一个月（天）销售情况记录绘成图象．图中的折线表示日销量（件）与销售时间（天）之间的函数关系，若线段表示的函数关系中，时间每增加天，日销量减少件．
(1)第天的日销量是______件，这天销售利润是______元；
(2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)日销售利润不低于元的天数共有多少天？销售期间日销售最大利润是多少元？
20．已知函数（其中、为常数）．
(1)当，且函数图象经过点时，求函数的表达式及顶点坐标．
(2)若该函数图象的顶点坐标为，且经过另一点，求的值．
(3)若该函数图象经过，，三个不同点，记，，求证：．
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1．A
【详解】试题分析：当二次函数为顶点式时，可直接写出顶点为，故题中的顶点坐标为.
考点：二次函数的顶点式及顶点坐标.
2．C
【分析】可将y=（x-3）2-4的右边运用完全平方公式展开，再与y=x2+bx+5比较，即可得出b的值．
【详解】解：∵y=（x-3）2-4=x2-6x+9-4=x2-6x+5，
又∵y=x2+bx+5，
∴b=-6．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，两个多项式相等的条件：它们同类项的系数对应相等．
3．A
【分析】根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，二次函数的图象向右平移2个单位得到，
由“上加下减”的原则可知，将二次函数的图象向上平移3个单位可得到函数，
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的平移，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．
4．C
【详解】∵原式可化为y=x2-4x+4+3=（x-2）2+3，
∴最小值为3．
故选C.
5．D
【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：∵，二次项系数，函数图象开口向上，顶点坐标为，
∴时，函数有最小值，最小值为1．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
6．D
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将A、B、C三点分别代入函数解析式，分别求得y1、y2、y3的值，然后根据不等式的基本性质来比较它们的大小
【详解】解：∵点A（－1，y1）、B（－2，y2）、C（3，y3）在函数y＝ax2(a>0)的图象上∴点A（－1，y1）、B（－2，y2）、C（3，y3）都满足函数解析式y＝ax2(a>0)，
∴y1=a，y2=4a，y3=9a，
∵a>0,
∴a<4a<9a.
即y3＞y2＞y1
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点的坐标，都满足该函数图象的关系式．掌握二次函数象上点的坐标特征是解题的关键.
7．C
【分析】根据二次函数的平移及性质可进行求解．
【详解】解：把抛物线向右平移3个单位得到新的二次函数解析式为，
∴这两条抛物线的开口方向都是向上，故A选项正确；
对称轴一个为直线，一个为直线，故B选项正确；
顶点的横坐标一个为0，一个为3，故C选项错误；
顶点的纵坐标都为0，故D选项正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移及性质，熟练掌握二次函数的平移及性质是解题的关键．
8．B
【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为．
∴顶点横坐标与纵坐标之和是
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．
9．A
【分析】根据定义可将函数进行化简．
【详解】解：由已知得：当0≤x＜1时，y=[x]=0，
当1≤x＜2时，y=[x]=1，
当2≤x＜3时，y=[x]=2，
当-1≤x＜0时，y=[x]=-1，
当-2≤x＜-1时，y=[x]=-2，
……
由以上可得A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解[x]的定义，然后对函数关系式进行化简．
10．B
【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．
【详解】解：二次函数（m为常数）
∴顶点坐标为（m， m-1）
把x=m代入y＝x－1，得：y=m-1，
∴这个函数图象的顶点始终在直线y=x-1上
故结论①正确；
②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
令y=0，得（x-m）2+m-1=0，其中m≤1
解得：，
∵顶点坐标为（m，m-1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
∴|m-1|=|m-（m-）|
解得：m=0或1，
当m=1时，二次函数y=（x-1）2，此时顶点为（1，0），与x轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；
∴存在m=0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
故结论②错误；
③∵x1+x2＞2m
∴＞m
∵二次函数y=（x-m）2+m-1（m为常数）的对称轴为直线x=m
∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离
∵x1＜x2，且a=1>0
∴y1故结论③正确；
④当-1＜x＜3时，y随x的增大而减小，且a=1>0
∴m的取值范围为m≥3．
故结论④正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题．
11．6
【分析】二次函数的顶点式为：y=a（x-h）2+k，其中a的正负确定抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k），据此求解可得．
【详解】解：∵二次函数y=（x-5）2+6中a=1＞0，
∴当x=5时，y取得最小值6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是二次函数的最值，把二次函数化为顶点式，根据顶点式可以知道二次函数的开口方向，对称轴以及顶点坐标．
12．待定系数法
【解析】略
13．增大
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，注意数形结合．首先求得的值，再求得对称轴，根据开口方向及对称轴即可完成．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
14．2
【详解】由题意得：
故答案：2.
15．6
【分析】连接AB，CD，作BE⊥x轴于E，由题意知：四边形ABCD是平行四边形，且，根据解析式得到BE=3，即可求出．
【详解】如图，连接AB，CD，作BE⊥x轴于E，
由题意知：四边形ABCD是平行四边形，且，
∵，
∴点B坐标为（-1，-3），
∴BE=3，
∵AD=2，
∴，
故答案为：6．
．
【点睛】此题考查抛物线平移的性质，平行四边形的性质，点到坐标轴的距离，将不规则图形转化为规则图形进行计算是解题的关键．
16．(1)
(2)交点坐标为，；当时，
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析，一次函数图象与二次函数图象的交点坐标，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法．
（1）把代入求出即可；
（2）联立两个函数解析式，求出交点坐标，根据函数图象求出时，对应的自变量x的取值范围即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得．
（2）解：联立：，
解得或，
即交点坐标为，，
如图，当时，一次函数图象在二次函数图象的上面，
当时，．
17．(1)图见解析，各点均在同一条直线上
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数综合，涉及描点法作图、待定系数法求函数解析式、已知函数值求自变量等，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键．
（1）根据题中所给的数据，利用描点法作图；
（2）根据图像，设关于的函数表达式为，利用待定系数法求解即可得到答案；
（3）根据（2）中解析式，将时代入，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，各点均在同一条直线上．
（2）解：设y关于x函数表达式为，
把点代入得：
解得：，，
∴y关于x函数表达式为
（3）解：由（2）得：y关于x函数表达式为
当时，解得
18．(1)，顶点坐标为
(2)
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式转化为顶点式，由顶点式写出顶点坐标；
（2）利用二次函数的增减性求出的取值范围；
（3）设二次函数的图象与直线有两个交点，的横坐标为，，根据根与系数的关系可得，，，进而可得，整理后求解即可．
【详解】（1）解：，
则得顶点坐标为．
（2）解：对称轴为直线，开口向上，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
当时，，当时，，
当时，函数的取值范围为．
（3）解：设二次函数的图象与直线有两个交点，的横坐标为，，
则，为的两个解，即
，，
，
即：，
，
解得：．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，抛物线与直线的交点，根与系数的关系等，关键是灵活运用相关知识解决问题．
19．(1)325；650
(2)
(3)日销售利润不低于640元的天数共有18天，日销售利润最大，最大利润为元
【分析】（1）根据题意“线段表示的函数关系中，时间每增加天，日销量减少件”，已知第22天的销售量，可求第25天的销售量；在根据：日利润=单件利润×日销售量，求出当天总利润；
（2）函数图象分为了两段，分别用待定系数法求出正比例函数和一次函数的表达式即可；
（3）已知日销售利润，可求日销售量，根据日销售量确定日期范围，即可知道日销售利润不低于640元的天数；求出点D的坐标，代入即可求出最高销售量，即可求最大利润．
【详解】（1）340-(25-22)×5=325(件)，
元；
故答案为：；．
（2）设直线的函数关系式为，
将代入，
得：，
解得：．
直线的函数关系式为．
设直线的函数关系式为，
将、代入，
，
解得：，
直线的函数关系式为．
联立两函数解析式成方程组，
，
解得：，
点的坐标为．
与之间的函数关系式为．
（3）件，
当时，有或，
解得：或，
天，
日销售利润不低于元的天数共有天．
折线的最高点的坐标为，元．
当时，日销售利润最大，最大利润为元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，熟练的掌握一次函数的图像和性质，会用待定系数法求函数的解析式，根据图像和性质求点的坐标是解题的关键．
20．(1)，
(2)或
(3)见解析
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）该函数图象的顶点坐标为，设抛物线解析式为，将代入，进而解方程即可求解；
（3）分别表示出，根据整式的减法计算，进而即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
解得：，
∴，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）∵中，二次项系数，
该函数图象的顶点坐标为，设抛物线解析式为，
∵的图象经过另一点，
∴
∴
解得：或
（3）解：∵函数图象经过，，三个不同点，
∴，，
，
∴
，
∴
∴
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，二次函数值的大小比较，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
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