人教版2024-2025学年九年级数学上册第二十二章22.1.3y=a（x-h）2k的图象与性质同步练习【培优版】（含答案解析）

22.1.3y=a（x-h）2 k的图象与性质同步练习【培优版】
学校:___________ 姓名：___________ 班级：__________
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．关于二次函数的最值，下列叙述正确的是（　　）
A．当时，y有最大值
B．当时，y有最小值
C．当时，y有最小值
D．当时，y有最大值
3．已知二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，则该二次函数的解析是（ ）
A． B． C． D．
4．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（ ）
A．h=m B．k＞n C．k=n D．h＞0，k＞0
5．下列函数中，当时，随的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知A，B两点的坐标分别为，，线段AB上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于点，两点（点P在Q的左侧）．若恒成立，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线（是常数，且）过点如果当时，则；若时，则；则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数 y=x（x≥0）与 y= x（x≥0）的图象于 B，C两点，过点C作y轴的平行线交y=x（x≥0）的图象于点D，直线DE∥AC交 y=x（x≥0）的图象于点E，则=（ ）
A． B．1 C． D．3﹣
9．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（　　）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
10．如图，已知抛物线与轴交于两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，的半径为2，为上一动点，为的中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
二、填空题
11．抛物线的图象可由抛物线向 平移 个单位得到，它的顶点坐标是 ，对称轴是 ．
12．已知抛物线上有两点、，则 （填“＜”或“＞”）．
13．将抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A的左侧，点C在点A的右侧）．线段BC的长为 ．
15．已知函数（为常数）.
（1）该函数的图象与轴公共点的个数是 .
（2）当时，该函数图象的顶点纵坐标的取值范围 .
三、解答题
16．已知二次函数
(1)将二次函数化为一般式；
(2)当时，求y的值．
17．已知把二次函数的图像先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线．
(1)试确定的值；
(2)指出二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．
18．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式．
19．已知点在开口向上的抛物线上，若点也在此抛物线上，将抛物线在点之间的部分记为图象（含点）．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若图象上任意两点纵坐标差的最大值为2，求整数的值．
20．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，且3OC＝4OB，对称轴为直线x＝，点E，连接CE交对称轴于点F，连接AF交抛物线于点G．
（1）求抛物线的解析式和直线CE的解析式；
（2）如图②，过E作EP⊥x轴交抛物线于点P，点Q是线段BC上一动点，当QG+QB最小时，线段MN在线段CE上移动，点M在点N上方，且MN＝，请求出四边形PQMN周长最小时点N的横坐标；
（3）如图③，BC与对称轴交于点R，连接BD，点S是线段BD上一动点，将△DRS沿直线RS折叠至△D′RS，是否存在点S使得△D′RS与△BRS重叠部分的图形是直角三角形？若存在，请求出BS的长，若不存在，请说明理由．（参考数据：tan∠DBC＝）
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1．B
【分析】已知抛物线的解析式满足顶点坐标式的形式，直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线，
抛物线的顶点坐标是，
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，对称轴为，此题基础题，比较简单．
2．B
【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【详解】解：二次函数，
抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
当时，有最小值；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
3．D
【分析】根据二次函数的解析式得到开口方向及顶点坐标，即可判断．
【详解】解：A、开口向上，顶点坐标为，故不符合题意；
B、开口向上，顶点坐标为，故不符合题意；
C、开口向上，顶点坐标为，故不符合题意；
D、开口向上，顶点坐标为，故符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的图象及性质，正确理解二次函数的图象及性质是解题的关键．
4．C
【详解】试题分析：由解析式可知y=（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）；y=（x﹣m）2+n的顶点坐标为（m，n）．
A、由于两抛物线有相同的对称轴，可得h=m，命题正确，故本选项错误；
B、由两抛物线顶点位置可知，k＞n，命题正确，故本选项错误；
C、由两抛物线顶点位置可知，k=n，命题错误，故本选项正确；
D、由y=（x﹣h）2+k的位置可知，h＞0，k＞0，命题正确，故本选项错误；
故选C．
考点：二次函数的图象
5．A
【分析】A、C、D、根据二次函数的图象和性质解答；B、由一次函数的图象和性质解答即可．
【详解】解：A、二次函数，，开口向上，对称轴为y轴，当时，y随x的增大而增大，故此选项符合题意；
B、一次函数，，y随x的增大而减少，故此选项不符合题意；
C、二次函数，，开口向下，对称轴为y轴，当时，y随x的增大而减少，故此选项不符合题意；
D、二次函数的图象，，开口向下，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减少，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数的图象和性质，能够根据解析式判断其增减性是解题的关键．
6．B
【分析】由恒成立，即点M要在线段PQ上，即抛物线在x=1时的函数值要比B的纵坐标大和x=-2时函数值要比A的纵坐标大，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，∵恒成立，即点M要在线段PQ上，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确理解恒成立，即点M要在线段PQ上是解题的关键．
7．C
【分析】根据二次函数的性质即可得到正确的选项．
【详解】解：∵抛物线（是常数，且），当时，则，当时，则，
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴，
∵当时，则，
∴二次函数的最大值为：，
∵抛物线（是常数，且）过点，
∴抛物线的解析式为：，
∵当时，则，
∴抛物线（是常数，且）过点，
∴，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，明确题意是解题的关键．
8．D
【分析】设点A的纵坐标为b, 可得点B的坐标为(,b), 同理可得点C的坐标为(b,b)，
D点坐标（，3b），E点坐标(,3b)，可得的值.
【详解】解:设点A的纵坐标为b, 因为点B在的图象上, 所以其横坐标满足=b, 根据图象可知点B的坐标为(,b), 同理可得点C的坐标为(,b),
所以点D的横坐标为,因为点D在的图象上, 故可得
y==3b，所以点E的纵坐标为3b,
因为点E在的图象上, =3b，
因为点E在第一象限, 可得E点坐标为(,3b),
故DE==,AB=
所以=
故选D.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质.
9．C
【详解】A、v=，是反比例函数，错误；B、y=m（1+1%）x，不是二次函数，错误；C、S=-x2+cx，是二次函数，正确；D、C=2πr，是正比例函数，错误，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，根据语句列出函数关系式，并能根据二次函数的定义进行判断是解题的关键.
10．C
【分析】如图，连接BG，由抛物线解析式分别得出点A、B、C的坐标，即可得出BD、CD的长度，由D、P分别是AB、AG的中点可得：DP是的中位线，要求DP的最大值，即要求BG的最大值，当G、C、B三点共线时，BG最大，求出此时BG的长度，最后计算出DP的长度即可．
【详解】如图，连接BG，
由题意可得：A(1,0)，B(9,0)，D是AB的中点，
AB=8，
BD=4，
=，
C(5,3)，
CD=3，
由D、P分别是AB、AG的中点可得：DP是的中位线，
DP=BG，
要求DP的最大值，即要求BG的最大值，
当G、C、B三点共线时，BG最大，
BC=，
BG=5+2=7，
DP=BG=．
故选：C．
【点睛】本题为动点问题，较为综合，主要考查了二次函数与坐标轴的交点和顶点坐标、三角形的中位线以及圆的性质，本题关键在于构造辅助线，利用中位线的性质，将线段最大的问题转化为圆外一点与圆上的点距离最远问题．
11． 右 2 (2,0) x=2
【分析】比较两个函数图象的顶点坐标，即可知平移方向与距离；可直接写出顶点坐标和对称轴
【详解】的顶点是(0，0)，的顶点是(2，0) ．故可得向右平移2个单位得到，的顶点坐标是(2，0)，对称轴为x=2．
故答案为：①右，②2，③(2,0)，④x=2．
【点睛】此题考查二次函数图象和性质．是基础题型．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的图像与性质，根据方程得到开口方向和对称轴，然后根据随值的增大而增大得到结果，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
【详解】解：根据抛物线，可得开口向上，对称轴为，
当时，随值的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：．
13．y=2（x+2）2﹣2．
【详解】按照“左加右减，上加下减”的规律可得抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到y=2（x﹣1+3）2+2﹣4=2（x+2）2﹣2．
故答案为y=2（x+2）2﹣2．
14．10
【分析】设抛物线y＝a（x+2）2+b-1的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣3）2+b的对称轴与线段BC交于点F，由抛物线的对称性可得BC═2（AE+AF），即可求出结论．
【详解】解：设抛物线y＝a（x+2）2+b-1的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣3）2+b的对称轴与线段BC交于点F，如图所示．
由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，
∵抛物线y＝a（x+2）2+b-1的对称轴为直线x＝﹣2，抛物线y＝a（x﹣3）2+b的对称轴为直线x＝3，
∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[3﹣（﹣2）]＝10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性解决问题是解题的关键．
15． 1或2
【分析】（1）令，则先判断根的判别式的取值范围，确定与轴公共点的个数即可；
(2)把顶点纵坐标看成关于m的二次函数,然后根据二次函数图象性质,在范围内求出顶点坐标纵坐标的最大值和最小值,即可求解．
【详解】（1）令，则
∵
∴函数的图象与轴公共点的个数是1或2，
故答案为：1或2；
（2）∵的顶点坐标为 ,
设函数,
当时,有最小值为0,
当时,随m的增大而减小,当时,k随m的增大而增大,
当时,,当时,,
∴当时,该函数图象的顶点纵坐标的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的关系，二次函数的顶点取值范围，利用数形结合的思想方法是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先按照完全平方公式计算函数右边的乘法运算，再合并同类项即可得到答案；
（2）把代入函数解析式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）当时，．
【点睛】本题考查的是把抛物线化为一般式，计算函数的函数值，熟练的把二次函数化为一般式是解本题的关键．
17．(1)，，
(2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为
【分析】（1）根据平移的性质，平移改变了函数图像的顶点，二次项系数不变，由此即可求解；
（2）由（1）可求出二次函数的图像，根据系数的特点即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图像的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点的坐标为，
∴原二次函数的解析式为，
∴，，．
（2）解：由（1）可知，二次函数，即，
∴二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数的变换，掌握平移的性质，二次函数顶点式的含义是解题的关键．
18．
【分析】根据平行四边形的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
【详解】解：∵点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，
∴点C的坐标为（5，4），
∵抛物线过点A、C、D，
，解得 ，
故抛物线的解析式为．
【点睛】本题主要考查利用待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法求二次函数的解析式的方法是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
（1）由点在开口向上的抛物线上，得抛物线的对称轴为直线，从而得，进而即可求解；
（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线，且开口向上及得，从而得．进而得，于是有，解得（舍去），进而即可得解．
【详解】（1）解： 点在开口向上的抛物线上，
抛物线的对称轴为直线，
，
．
当时，，
抛物线的顶点坐标为．
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线为，
由（1）知抛物线的对称轴为直线，且开口向上．
，
．
图象上任意两点纵坐标差的最大值为2，
，
，
解得（舍去），
，
∴整数的值为1．
20．（1）y＝﹣2x+4．（2）；（3）BS的值为或．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，作QH⊥AB于H．首先求出直线AF的解析式，利用方程组求出点G坐标，再证明GQ+BQ＝GQ+QH，推出当G、Q、H三点共线时，GQ+BQ的值最小，最小值为，此时Q（，）．如图2中，将点Q沿CE方向平移个单位得到Q′，作点Q′关于直线CE的对称点Q″，连接PQ″交直线CE于M，此时四边形PQNM的周长最小．想办法求出点M的坐标即可解决问题；
（3）分两种情形，①如图3中，当RS⊥BD时，△D′RS与△BRS重叠部分的图形是直角三角形．②如图4中，当RD′⊥BD时，分别求解即可；
【详解】解：（1）由题意C（0，4），
∴OC＝，
∵3OC＝4OB，
∴OB＝3，
∴B（3，0），
∵抛物线的对称轴x＝，
∴A（﹣，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+）（x﹣3），把C（0，4）代入得到a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x2﹣2x﹣9），即y＝﹣+x+4．
设直线CE的解析式为y＝kx+b，则有，解得，
∴直线CE的解析式为y＝﹣2x+4．
（2）如图1中，作QH⊥AB于H．
由（1）可知F（，2），
∴直线AF的解析式为y＝x+，
由，解得或，
∴G（，），
∵QH∥CO，BC＝＝5，
∴，
∴QH＝BQ，
∴GQ+BQ＝GQ+QH，
∴当G、Q、H三点共线时，GQ+BQ的值最小，最小值为，此时Q（，）．
如图2中，将点Q沿CE方向平移个单位得到Q′，作点Q′关于直线CE的对称点Q″，连接PQ″交直线CE于M，此时四边形PQNM的周长最小．
易知Q′（，2），Q″（，），
∵P（2，4），
∴直线PQ″的解析式为y＝x+，
由，解得，
∴M（，），
∵MN＝，可得N（，），
∴点N的横坐标为．
（3）如图3中，①当RS⊥BD时，△D′RS与△BRS重叠部分的图形是直角三角形．
设抛物线的对称轴交x轴于H设抛物线的对称轴交x轴于H．由题意：BH＝2，DH＝，BD＝＝，
∵RH∥CO，
∴，
∴RH＝，DR＝DH﹣RH＝，
∵△DRS∽△DBH，
∴，
∴RS＝，DS＝，
∴BS＝BD﹣DS＝．
②如图4中，当RD′⊥BD时，设垂足为K，作SG⊥DH于G．
∵∠SRD＝∠SRD′，SG⊥RD，SK⊥RD′，
∴SG＝SK，设SG＝SK＝n，
∵D（，），DR＝RH＝，BD＝＝，
在Rt△GSD中，∵DG2+SG2＝SD2，
∴（﹣）2+m2＝（﹣m）2，
解得m＝﹣，
∴SB＝SK+BK＝﹣+＝+
综上所述，满足条件的BS的值为或+．
【点睛】本题属于二次函数综合题、考查了一次函数的应用、待定系数法、垂线段最短、轴对称、翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题．
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