2024-2025学年湖南省名校联盟高二上学期入学考试数学试题（含答案）

2024-2025学年湖南省名校联盟高二上学期入学考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为( )
A. B. C. D.
4.样本数据：，，，，，，，的方差为( )
A. B. C. D.
5.底面圆周长为，母线长为的圆锥内切球的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知函数图象的两个相邻对称中心为，，则( )
A. B. C. D.
7.近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率单位时间内心跳的次数与其自身体重满足的函数模型已知一只恒温动物兔子的体重为、脉搏率为次，若经测量一匹马的脉搏率为次，则这匹马的体重为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若方程在区间上有且仅有个不等的实根，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则( )
A.
B.
C.
D.
10.已知函数，则( )
A. 为偶函数 B. 的值域为
C. 在上单调递减 D.
11.已知正数，满足且，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数在上单调递减，则 ．
13.的取值范围为 ．
14.已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，建立如图所示空间直角坐标系，点在平面内运动，则点到，，，这四点的距离之和的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在空间直角坐标系中，已知点，，．
若，求的值
求的最小值．
16.本小题分
已知为纯虚数．
求
求．
17.本小题分
年西部数学邀请赛于月日至日在上海隆重举行，此次赛事不仅是对中学生数学能力的一次全面考验，更是对数学教育未来发展的深刻实践探索，共有多名学生参赛，引起社会广泛关注，点燃了全社会对数学的热情甲、乙、丙名同学各自独立去做年西部数学邀请赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为．
求乙、丙各自解出该题的概率
求甲、乙、丙人中至少有人解出该题的概率．
18.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点．
证明：平面
求四棱柱被平面截得的截面周长
求直线与平面所成角的正切值．
19.本小题分
已知，，分别为锐角内角，，的对边，，，为外接圆的半径．
证明：
求的最小值．
参考答案
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15.解：由题意可得，，
因为，解得或．
由空间两点间的距离公式，得，
当时，有最小值．
16.解：由题意可得，
因为是纯虚数，所以，
解得．
由得到，又，，，，
则，，，，，
即有，，
故．
17.解：设“甲解出该题”为事件，“乙解出该题”为事件，“丙解出该题”为事件，
则，，相互独立，
由题意得，，所以，
，所以，
所以乙、丙各自解出该题的概率为，．
设“甲、乙、丙人中至少有人解出该题”为事件，
则，
因为，，，
所以，，，
因为、、相互独立，
所以．
所以甲、乙、丙人中至少有人解出该题的概率为．
18.证明：因为四边形是菱形，，为的中点，所以，
在直四棱柱中，平面平面，
因为平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是矩形，，，，分别为，的中点，
所以，
所以，
因为，所以，所以，所以，
因为，且，平面，所以平面；
因为平面，所以平面与平面的交线与平行，所以交线为，
连接，，，
则四棱柱被平面截得的截面为四边形，
，
，，
因为，所以，
因为，所以，
所以四边形的周长为；
过点作，垂足为，连接，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
所以点在平面上的射影必在上，
所以直线与平面所成角为，
因为，，，，
所以，
所以，
即直线与平面所成角的正切值为．

19.解：由，即，
所以，
即，
又，
因为，所以，
所以，
令与夹角为，
则，即，
即，得证．
因，，则，即，
，
其中，，且为锐角，故，
由可得，
则，
又由解得
因为，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
所以，
则，
于是，
即的最小值为．
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